Ciekawostki matematyczne reguªa Titiusa

Ciekawostki matematyczne reguªa Titiusa-Bodego
Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska
Empirical Academy
www.EmpiricalAcademy.pl
6 lutego 2012
Empirical Academy ciekawostki matematyczne reguªa Titiusa-Bodego
W 1766 roku astronom Daniel Titius przedstawiª hipotez¦, wedªug której ±rednie odlegªo±ci planet od
Sªo«ca mo»na wyrazi¢ za pomoc¡ prostej formuªy arytmetycznej. Reguªa zostaªa opublikowana w 1772
roku przez Johanna Bodego, dyrektora obserwatorium astronomicznego w Berlinie.
Okazuje si¦, »e rzeczywiste odlegªo±ci planet od Sªo«ca, a odlegªo±ci wyliczone na podstawie reguªy
Titiusa-Bodego, s¡ sobie wyj¡tkowo bliskie. Przyjmijmy skal¦, wedªug której odlegªo±¢ Ziemii od Sªo«ca
wynosi 10 jednostek astronomicznych. Porównanie odlegªo±ci planet od Sªo«ca znajduje si¦ w tabeli
poni»ej.
Planeta
Rzeczywista odlegªo±¢
Odlegªo±¢ Titiusa-Bodego
Merkury
3,9
0+4=4
Wenus
7,2
3+4=7
Ziemia
10
6 + 4 = 10
Mars
15,2
12 + 4 = 16
24 + 4 = 28
Jowisz
52
48 + 4 = 52
Saturn
95,4
96 + 4 = 100
Sformuªuj reguª¦ Titiusa-Bodego.
‘rednia odlegªo±¢ planety od Sªo«ca wynosi:
‘redni¡ odlegªo±¢ planety od Sªo«ca mo»na zapisa¢ w postaci formuªy d = n+4, gdzie n = 0, 3, 6, 12, . . .
(ka»da nast¦pna liczba jest podwojeniem poprzedniej). Alternatywnie: d = 3·m+4, gdzie m = 0, 1, 2, 4, . . .
(kolejne pot¦gi dwójki).
Oblicz ±rednie odlegªo±ci planet od Sªo«ca korzystaj¡c z reguªy Titiusa-Bodego
Planeta
Rzeczywista odlegªo±¢
Uran
192
Neptun
301
Pluton
395
Odlegªo±¢ Titiusa-Bodego
Uwaga: od 1930 do 2006 roku Pluton byª uwa»any za planet¦, obecnie jest klasykowany jako planeta
karªowata.
Z pomiarów astronomiczych wynika, »e Neptun znajduje si¦ znacznie bli»ej od Sªo«ca, ni» wynika to
z reguªy Titiusa-Bodego. Ten fakt byª jednym z powodów, dla których rozpocz¦to poszukiwania dziewi¡tej
planety (do 2006 roku uwa»ano, »e jest to Pluton).
Czy wiesz czym jest brakuj¡cy wpis w tabeli?
1
Empirical Academy ciekawostki matematyczne reguªa Titiusa-Bodego
W czasach, gdy sformuªowano omawian¡ reguª¦, znanych byªo tylko sze±¢ planet. Reguªa TitiusaBodego pozostawiaªa puste miejsce pomi¦dzy Marsem a Jowiszem. Gdy 13 marca 1781 roku William
Herschel odkryª Urana (planet¦ o wi¦kszej odlegªo±ci od Sªo«ca ni» Saturn), dla którego zachodziªa reguªa Titiusa-Bodego, wzmocniªo si¦ przekonanie astronomów, »e pomi¦dzy Marsem a Jowiszem znajduje
si¦ jaka± nieznana planeta. Intuicja badaczy potwierdziªa si¦, gdy w 1801 roku Giuseppe Piazzi odkryª
planetoid¦ znajduj¡c¡ si¦ w tym obszarze. Ta planetoida jest obecnie znana pod nazw¡ Ceres, a jej orbita
wynosi 27,7 jednostek, co doskonale pasuje do przewidywa« reguªy Titiusa-Bodego (28 jednostek). Odkrycie dokonane przez Piazziego zapocz¡tkowaªo dalsze badania w nieznanym dot¡d obszarze i ostatecznie
doprowadziªo do odkrycia w nim wielu ciaª, okre±lanych obecnie wspólnym mianem Pasa planetoid, których ±rednie odlegªo±ci od Sªo«ca mieszcz¡ si¦ w przedziale od 21,7 do 36,4 jednostek. Obecny stan wiedzy
astronomicznej pozwoliª na wykazanie, »e z powodu wpªywu grawitacyjnego Jowisza, w Pasie planetoid
nie mo»e istnie¢ »adna planeta.
Warto zauwa»y¢, »e reguªa Titiusa-Bodego uwzgl¦dnia Pas planetoid, natomiast nie uwzgl¦dnia Pasa
Kuipera, który rozci¡ga si¦ za orbit¡ Neptuna od 300 do 550 jednostek od Sªo«ca (ten obszar jest podobny
do Pasa planetoid, ale jest od niego o wiele wi¦kszy: 20 razy szerszy i 20-200 razy bardziej masywny).
W tym pasie kr¡»¡ planety karªowate, a w±ród nich Pluton.
Czy wiesz dlaczego satelity Sªo«ca speªniaj¡ reguª¦ Titiusa-Bodego?
Nie ma pewno±ci co do przyczyny, dla której speªniona jest reguªa Titiusa-Bodego. Prawdopodobn¡
hipotez¡ jest powstawanie w przestrzeni kosmicznej obszarów "zabronionych", w których nie wyst¦puj¡
orbity o dªugich okresach stabilno±ci. Podejrzewa si¦, »e obszary te powstaj¡ na skutek rezonansu orbitalnego. Ta teoria potwierdzana jest przez symulacje procesów planetotwórczych, które zdaj¡ si¦ sugerowa¢,
»e reguªa Titiusa-Bodego jest naturaln¡ konsekwencj¡ tych procesów.
Czy reguªa Titiusa-Bodego obowi¡zuje tak»e w innych systemach planetarnych?
Zebrany dotychczas materiaª obserwacyjny jest zbyt ubogi, aby mo»na byªo stwierdzi¢ jednoznacznie,
czy reguªa Titiusa-Bodego (lub reguªa analogiczna do niej) ma zastosowanie do innych systemów planetarnych. Analiza ukªadu planetarnego wokóª gwiazdy HD 10180 wykazaªa, »e istnieje w nim co najmniej
pi¦¢ planet i »e wskazuj¡ one na istnienie reguªy podobnej do tej, sformuªowanej przez Titiusa-Bodego,
ale jest to jak na razie zbyt sªaby dowód.
Oblicz bª¦dy procentowe oblicze« dokonanych na podstawie reguªy Titiusa-Bodego
Bª¡d procentowy to inaczej bª¡d wzgl¦dny wyra»ony w procentach. Aby obliczy¢ bª¡d procentowy,
nale»y skorzysta¢ z nast¦puj¡cego wzoru:
w − w
∆w b δ = ·
100%
=
w · 100%,
w gdzie w 6= 0, a w
b jest przybli»eniem warto±ci w.
2
Empirical Academy ciekawostki matematyczne reguªa Titiusa-Bodego
Planeta
Rzeczywista odlegªo±¢
Odlegªo±¢ Titiusa-Bodego
Merkury
3,9
4
Wenus
7,2
7
Ziemia
10
10
Mars
15,2
16
Pas planetoid
27
28
Jowisz
52
52
Saturn
95,4
100
Uran
192
196
Neptun
301
388
Pluton
395
772
3
Bª¡d procentowy
δ
3,9−4 3,9 · 100% ≈ 2, 56%