09_Metody sieciowe _algorytmiczne_ analizy obwodów liniowych

Transkrypt

OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 9 : Metody sieciowe (algorytmiczne) analizy obwodów liniowych
9. METODY SIECIOWE (ALGORYTMICZNE) ANALIZY
OBWODÓW LINIOWYCH
9.1. WPROWADZENIE
ANALIZA OBWODÓW
Jeżeli przy badaniu obwodu elektrycznego dane są parametry elementów i schemat obwodu, a poszukiwane są napięcia i prądy w różnych częściach obwodu, to takie zagadnienie jest przedmiotem analizy obwodów.
ELEMENTY TEORII GRAFÓW
Grafem sieci (strukturą topologiczną obwodu) nazywamy zbiór punktów reprezentujący węzły obwodu i zbiór linii ciągłych
obrazujących gałęzie obwodu.
Drzewem grafu nazywamy podgraf danego grafu złożony z minimalnej
liczby dowolnie wybranych gałęzi grafu łączących
wszystkie węzły.
b
c
a
b
gałęzie
dopełniające
c
a
drzewo
grafu
d
Sieć elektryczna
d
Graf sieci
Gałęzie
grafu
tworzące
drzewo
grafu
nazywamy
konarami
(gałęziami drzewa).
Pozostałe gałęzie
grafu
nazywamy
gałęziami dopełniającymi (łączącymi, zamykającymi, cięciwami, strunami).
Każdy graf składający się z w węzłów i g gałęzi zawiera:
gd konarów gdzie: gd = w – 1
gZ gałęzi dopełniających gdzie: gZ = g – gd = g – w + 1
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
1 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
Mówimy, że gałąź jest incydentna z węzłem, jeżeli węzeł jest jednym
z punktów końcowych gałęzi.
Dla dowolnej sieci można podać graf, w którym zachowana zostaje
wyłącznie struktura geometryczna sieci (każdej gałęzi grafu przypisuje się
numer lub symbol identyfikujący ją z gałęzią sieci). Tak otrzymany graf
jest grafem niezorientowanym.
Jeśli każdej gałęzi przypiszemy dodatkowo orientację – orientacja gałęzi jest wybierana dowolnie i odpowiada dodatniej polaryzacji napięcia
gałęziowego lub kierunkowi przepływu prądu – to otrzymujemy graf zorientowany (skierowany).
b
b
a
2
1
2
1
c
a
c
5
5
4
3
3
4
d
6
Graf niezorientowany
d
6
Graf zorientowany
Z każdą gałęzią związana jest para (u, i) napięcia i prądu, zatem dla g
gałęzi
liczba zmiennych sieci = 2g
Ponieważ dla każdej pary (u, i) istnieją proste związki pozwalające na
określenie jednej wielkości przy znajomości drugiej, to
liczba poszukiwanych zmiennych sieci = g
2 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
Dysponując układem g równań, wiążących prądy gałęziowe lub wiążących napięcia gałęziowe możemy dokonać analizy sieci.
Pytanie: Czy wszystkie równania są niezależne?
¾ Przyjmując za niewiadome w procesie analizy sieci
g prądów gałęziowych
Wszystkie prądy dzielimy na dwie grupy: prądy w konarach (gałęziach drzewa) i prądy w gałęziach dopełniających. Usuwając z grafu gałęzie dopełniające powodujemy rozwarcie wszystkich oczek – w rezultacie
uniemożliwiony zostaje przepływ prądu w sieci. Prądy we wszystkich gałęziach stają się równe zeru. A zatem sprowadzenie do zera prądów w gałęziach dopełniających powoduje zerowanie wszystkich pozostałych prądów. Stąd wniosek, że prądy gałęzi drzewa są funkcjami (są zależne od)
prądów gałęzi dopełniających. Czyli:
1. liczba niezależnych prądów gałęziowych określona jest liczbą
gałęzi dopełniających gZ,
2. liczba gałęzi dopełniających określa liczbę oczek niezależnych n
gZ = g − w + 1 = n
(9.1)
¾ Przyjmując za niewiadome w procesie analizy sieci
g napięć gałęziowych
Przez wybór drzewa dokonuje się podziału na napięcia na konarach
(gałęziach drzewa) i gałęziach dopełniających. Ponieważ konary łączą parami wszystkie węzły, to gdy napięcia na konarach będą zerami, to potencjały wszystkich węzłów staną się jednakowe i równe zeru A zatem sprowadzenie do zera napięć na gałęziach drzewa, zeruje wszystkie napięcia
gałęziowe. Stąd wniosek, że napięcia na gałęziach dopełniających są funkcjami (są zależne od) napięć na gałęziach drzewa. Czyli:
1. liczba niezależnych napięć gałęziowych określona jest liczbą
konarów (gałęzi drzewa) gd,
2. liczba konarów określa liczbę węzłów niezależnych m
gd = w − 1 = m
(9.2)
3 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
METODA PRAW KIRCHHOFFA (KLASYCZNA)
Niech dane będą napięcia
źródłowe i rezystancje, poszukujemy natomiast prądów.
R1
R2
U01
Dane :
U01 =U05 = 5V, U06 = 6V
R1=R2=R5=R6=2Ω;
R3=R4=4Ω.
R5
U05
R4
R3
U06
R6
Należy:
1.
ustalić liczbę gałęzi i węzłów;
liczba gałęzi g = 6 , liczba węzłów w = 4
I1
2. nanieść prądy w gałęziach
R1
den z węzłów obwodu (np.
węzeł d) a dla pozostałych
ułożyć równania na podstawie PPK:
- dla węzła a :
I 6 + I 4 = I1
- dla węzła b :
I1 = I 2 + I 5
- dla węzła c :
I 2 = I3 + I6
R2
U01
(przyjmując ich zwroty zupełnie dowolnie);
3. wyeliminować dowolnie je-
b
a
I2
R5
I4
R4
I6
U05
I3
c
I5
R3
U06
d
R6
4 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
I1
4. określić liczbę n oczek niezależnych w obwodzie;
R1
n = g-w+1 = 6-4+1=3
U01
R5
5. dokonać wyboru oczek nie-
1
zależnych i zaznaczyć dodatni zwrot ich obiegu (kierunek sumowania);
I4
R4
6. dla wybranych oczek ułożyć
równania
NPK:
dla 1 oczka:
U01
na
podstawie
I6
I2
2
I5
U06
U05
R3
I3
3
R6
I1
R1
R5
1
I4
R2
R4
I5
U05
U 01 + U 05 − R1I1 − R5 I 5 − R4 I 4 = 0
dla 2 oczka:
R2
R5
2
U05
R3
I2
I3
U 05 + R2 I 2 − R5 I 5 + R3 I 3 = 0
5 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
dla 3 oczka:
I4
R3
R4
I6
U06
I3
3
R6
U 06 + R4 I 4 + R3 I 3 − R6 I 6 = 0
7.
rozwiązując układ równań wyznaczyć poszukiwane wielkości
dla węzła a :
dla węzła b :
dla węzła c :
dla 1 oczka :
dla 2 oczka :
dla 3 oczka :
I 6 + I 4 = I1
I1 = I 2 + I 5
I 2 = I3 + I6
10 = 2 I1 + 2 I 5 + 4 I 4
5 = −2 I 2 + 2 I 5 − 4 I 3
6 = −4 I 4 − 4 I 3 + 2 I 6
6 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
9.2. METODA PRĄDÓW OCZKOWYCH (OCZKOWA)
Metoda ta należy do grupy metod algorytmicznych, tzn. poddaje się
pewnemu „przepisowi” postępowania. W metodzie oczkowej poszukujemy prądów gałęziowych.
Przebieg postępowania przy rozwiązywaniu obwodu prądu harmonicznego metodą oczkową jest następujący, należy:
1)
zamienić wszystkie rzeczywiste źródła prądu występujące w obwodzie na równoważne źródła napięcia;
2)
określić liczbę n oczek niezależnych w obwodzie:
n=p-q+1 {p-gałęzie, q-węzły};
3)
dokonać wyboru i oznaczenia oczek niezależnych;
4)
ustalić zwroty prądów oczkowych;
5)
dla każdego oczka niezależnego ułożyć równanie bilansu napięć;
n
∑Zkl
l =1
I l ' = Ekk
gdzie:
Z k l l =k = Z k k Z k l l ≠ k = Z l k k ≠l
impedancja własna oczka k, równa sumie impedancji
wszystkich gałęzi występujących wzdłuż oczka k;
- impedancja wzajemna, równa impedancji gałęzi
wspólnej dla oczek k i l , wzięta ze znakiem minus
jeżeli prądy oczkowe w tej gałęzi mają zwroty przeciwne;
I l ' - prąd oczkowy w oczku l;
E k k - napięcie źródłowe w postaci symbolicznej, oczka k określone sumą algebraiczną wszystkich symbolicznych napięć źródłowych w
gałęziach należących do oczka k; napięcie źródłowe gałęziowe
przyjmuje się ze znakiem plus, jeżeli zwrot tego napięcia źródłowego jest zgodny ze zwrotem prądu oczkowego, natomiast ze
znakiem minus, jeżeli zwrot napięcia źródłowego i zwrot prądu
oczkowego są przeciwne.
6)
dokonać rozwiązania układu równań, stosując jedną ze znanych metod, np. rugowania zmiennych, wyznaczników lub macierzową;
7)
ustalić zwroty prądów gałęziowych a następnie obliczyć ich wartości.
7 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
PRZYKŁAD 9.1
Procedurę postępowania w
metodzie oczkowej (dla obwodu
prądu sinusoidalnego) zilustrujemy dla przykładowej sieci.
1)
Z1
U01
Z5
U05
Z4
nie dotyczy
2)
Z2
Z3
U06
Z6
określić liczbę n oczek niezależnych w obwodzie;
z zależności (9.1): n = g-w+1 = 6-4+1=3 {g-gałęzie, w-węzły};
3)
4)
ustalić zwroty prądów
oczkowych;
Przyjmujemy w wybranych
oczkach istnienie umownych
prądów oczkowych o dowolnych zwrotach.
5)
II
I II
I III
dla każdego niezależnego oczka ułożyć równanie bilansu napięć
(NPK) uwzględniając tylko prądy oczkowe;
8 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
Z1
U01
Z2
Z5
I II
II
U05
Z4
Z3
U06
6)
Z6
I III
Dla I oczka:
(Z 1 + Z 5 + Z 4 )I I − Z 5 I II − Z 4 I III
Dla II oczka:
− Z 5 I I + (Z 2 + Z 3 + Z 5 )I II − Z 3 I III = −U 05
Dla III oczka:
− Z 4 I I − Z 3 I II + (Z 3 + Z 6 + Z 4 )I III = U 06
= U 01 + U 05
dokonać rozwiązania układu równań, stosując jedną ze znanych
metod, np. rugowania zmiennych, wyznaczników lub macierzową;
Rozwiązując powyższy układ równań metodą macierzową, możemy
napisać:
⎡Z 1 + Z 5 + Z 4
⎢
− Z5
⎢
⎢⎣
− Z4
− Z5
Z2 + Z3 + Z5
− Z3
− Z4
⎤ ⎡ I I ⎤ ⎡U 01 + U 05 ⎤
⎥ ⎢ I ⎥ = ⎢ −U
⎥
− Z3
II
05
⎥⎢
⎥ ⎢
⎥
Z 3 + Z 6 + Z 4 ⎥⎦ ⎢⎣ I III ⎥⎦ ⎢⎣ U 06 ⎥⎦
Ogólnie, postać macierzy jest następująca:
Z IX = U0
(9.3)
Macierz impedancji oczkowych Z jest macierzą kwadratową, symetryczną i nieosobliwą (det ≠0).
9 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
Zkk = (def.) impedancja własna oczka „k” – jest to suma impedancji
występujących w danym oczku (ze znakiem plus).
Z kk > 0
Zkl = (def.) impedancja wzajemna, równa sumie impedancji występujących gałęzi wspólnej dla oczek „k” i „l” , wzięta ze znakiem minus jeżeli prądy oczkowe w tej gałęzi mają zwroty
przeciwne;
Z kl = Z lk
Macierz IX jest macierzą kolumnową prądów oczkowych.
Macierz U0 jest macierzą kolumnową napięć źródłowych w kolejnych
oczkach, napięcie źródłowe oczka „k” określone jest sumą algebraiczną
wszystkich symbolicznych napięć źródłowych w gałęziach należących do
oczka „k”; napięcie źródłowe gałęziowe przyjmuje się ze znakiem plus,
jeżeli zwrot tego napięcia źródłowego jest zgodny ze zwrotem prądu
oczkowego, natomiast ze znakiem minus, jeżeli zwrot napięcia źródłowego i zwrot prądu oczkowego są przeciwne.
Rozwiązanie układu równań:
Mnożymy lewostronnie równanie 9.3 przez macierz odwrotną Z-1
Z-1 U0 = Z-1Z IX
(9.4)
ponieważ Z-1Z =1, otrzymujemy ostatecznie
IX = Z-1 U0
(9.5)
znajdując tym samym prądy oczkowe.
10 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
7)
ustalić zwroty prądów gałęziowych i obliczyć ich wartości.
Do tego celu pomocny jest graf (skierowany) obwodu, na którym
DOPIERO TERAZ nanosimy (w sposób dowolny) zwroty prądów gałęziowych.
Sposób 1
Prądy w gałęziach zewnętrznych
oczek określone są przez prądy
oczkowe (obwodowe) tych oczek z
odpowiednim znakiem.
2
I1
I2
5
1
II
I5
I4
6
I6
I 1 = II
I2 = III
I6 = IIII
I II
3
I3
4
W naszym przykładzie
I III
Prądy w gałęziach wspólnych dla
dwóch lub więcej oczek są sumą
algebraiczną prądów tych oczek,
czyli:
I3 = III - IIII
I4 = II - IIII
I5 = II - III
Sposób 2
Prądy gałęziowe możemy obliczyć również wykorzystując metodą incydencji prądowej. Macierz prądów gałęziowych Ig wyznaczamy w oparciu o macierz prądów oczkowych IX korzystając z macierzy łączącej prądowej α :
Ig = α IX
(9.6)
11 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
Elementy macierzy łączącej prądowej α przyjmują wartość +1, -1 lub 0
αgk
= 1 jeśli gałąź „g” jest incydentna z oczkiem „k” (tzn. należy do
oczka „k”) oraz zgodnie z nim skierowana
-1 j.w., lecz skierowana przeciwnie
0 jeśli gałąź „g” nie jest incydentna z oczkiem „k”
W naszym przykładzie α
2
I2
5
1
II
I5
I4
3
I3
4
6
I II
I6
numer gałęzi
I1
1
2
3
4
5
6
numer oczka
I II III
⎡1 0 0 ⎤
⎢0 1 0 ⎥
⎢
⎥
⎢0 1 − 1⎥
⎥
⎢
1
0
1
−
⎢
⎥
⎢1 − 1 0 ⎥
⎢
⎥
⎣0 0 1 ⎦
I III
12 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
PRZYKŁAD 9.2
Obliczyć
wartości
prądów w gałęziach obwodu – dane: E = j100V
R1= 150Ω, R2= 100Ω
E
X1= ωL1= 400Ω,
X2= ωL2= 250Ω,
X3= 1/ωC3 = 250Ω,
I1
R1
L1
I2
R2
I3
I’1
C3
I’2
L2
Ad.5) układamy równanie bilansu napięć dla każdego oczka niezależnego
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
⎧
⎨
⎩
[R1 + j ( X 1 − X 3 )] I 1 ' − (− jX 3 ) I 2 ' = E
− (− jX 3 ) I 1 ' + [R2 + j ( X 2 − X 3 )] I 2 ' = 0
(150 + j150) I 1 ' + j 250 I 2 ' =
j100
j 250 I 1 ' + 100 I 2 ' = 0
Ad.6) dokonujemy rozwiązania układu równań metodą wyznaczników
WG =
W1 =
W2 =
150 + j150
j 250
j100
j 250
0
100
150 + j150
j 250
j 250
100
= 77500 + j15000
= j10000
j100
= 25000
0
13 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
I 1 '=
j10000
j100
W1
=
=
WG
77500 + j15000 775 + j150
=
j100 (775 − j150 ) j 77500 + 15000
=
623125
7752 + 150 2
= 0,0241 + j 0,124 = 0,126 e j 79
I 2 '=
o
25000
250
W2
=
=
77500 + j15000 775 + j150
WG
=
250 (775 − j150 ) 193750 − j 37500
=
2
2
623125
775 + 150
o
= 0,311 − j 0,0602 = 0,317 e − j11
Ad.7) mając ustalone zwroty prądów gałęziowych - obliczamy ich wartości
I1
R1
L1
I2
R2
I3
E
I’1
I’2
C3
L2
I 1 = I 1' ; I 2 = I 2 ' ; I 3 = I 1' − I 2 '
I 3 = (0,0241 + j 0,124 ) − (0,311 − j 0,0602) = −0,2869 + j 0,1842
=
0,1842 ⎞
⎛
j ⎜ π − arctg
⎟
0, 2869 ⎠
0,341 e ⎝
o
= 0,341 e j147,3
14 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
PRZYKŁAD 9.3
Procedurę postępowania w
metodzie oczkowej (dla obwodu
prądu stałego) zilustrujemy dla
przykładowej sieci.
1)
Dane : U01 =U05 = 5V, U06 = 6V
R1=R2=R5=R6=2Ω; R3=R4=4Ω.
R1
R2
U01
R5
U05
nie dotyczy
R4
R3
U06
2)
R6
określić liczbę n oczek niezależnych w obwodzie;
z zależności (5.1): n = g-w+1 = 6-4+1=3 {g-gałęzie, w-węzły};
3)
4)
ustalić zwroty prądów
oczkowych;
Przyjmujemy w wybranych
oczkach istnienie umownych
prądów oczkowych o dowolnych zwrotach.
5)
II
I II
I III
dla każdego niezależnego oczka ułożyć równanie bilansu napięć
(NPK) uwzględniając tylko prądy oczkowe;
15 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
R1
R2
U01
R5
I II
II
U05
R4
R3
U06
6)
R6
I III
Dla I oczka:
(R1 + R5 + R4 )I I − R5 I II − R4 I III
Dla II oczka:
− R5 I I + (R2 + R3 + R5 )I II − R3 I III = −U 05
Dla III oczka:
− R4 I I − R3 I II + (R3 + R6 + R4 )I III = U 06
= U 01 + U 05
Rozwiązując powyższy układ równań metodą macierzową, możemy
napisać:
⎡ R1 + R5 + R4
⎢
− R5
⎢
⎢⎣
− R4
⎤ ⎡ I I ⎤ ⎡U 01 + U 05 ⎤
⎥ ⎢ I ⎥ = ⎢ −U
⎥
− R3
05 ⎥
⎥ ⎢ II ⎥ ⎢
R3 + R6 + R4 ⎥⎦ ⎢⎣ I III ⎥⎦ ⎢⎣ U 06 ⎥⎦
− R4
− R5
R2 + R3 + R5
− R3
R IX = U0
Rozwiązanie układu równań:
IX = R-1 U0
16 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
⎡ 8 − 2 − 4⎤
Macierz rezystancji oczkowych R = ⎢− 2 8 − 4⎥
⎢
⎥
⎢⎣− 4 − 4 10 ⎥⎦
⎡0,229 0,129 0,143 ⎤
stąd R-1 = ⎢ 0,129 0,229 0,143 ⎥
⎢
⎥
⎢⎣ 0,143 0,143 0,214⎥⎦
⎡ 10 ⎤
natomiast U0 = ⎢− 5⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ 6 ⎥⎦
Zatem
macierz prądów oczkowych:
⎡2,5⎤
IX = ⎢ 1 ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ 2 ⎥⎦
czyli prądy oczkowe:
II = 2,5A, III = 1A, IIII = 2A
7)
ustalić zwroty prądów gałęziowych i obliczyć ich wartości.
Do tego celu pomocny jest graf (skierowany) obwodu, na którym
DOPIERO TERAZ nanosimy (w sposób dowolny) zwroty prądów gałęziowych.
17 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
2
I1
I2
5
1
II
I5
I4
3
I3
4
6
I II
I6
I III
Sposób 1
Sposób 2
Prądy w gałęziach zewnętrznych
oczek określone są przez prądy
oczkowe (obwodowe) tych oczek z
odpowiednim znakiem:
Macierz prądów gałęziowych Ig
wyznaczamy w oparciu o macierz
prądów oczkowych IX korzystając
z macierzy łączącej prądowej α :
I1 = II = 2,5
I2 = III = 1
I6 = IIII = 2
Prądy w gałęziach wspólnych dla
dwóch lub więcej oczek są sumą
algebraiczną prądów tych oczek:
I3 = III - IIII = -1
Ig = α IX
⎡2,5⎤
⎡1 0 0 ⎤
⎢0 1 0 ⎥
⎢1⎥
⎢
⎥ ⎡2,5⎤ ⎢ ⎥
⎢0 1 − 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − 1⎥
=⎢
⎥ ⎢ 1 ⎥=⎢ ⎥
1
0
−
1
⎢
⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢0,5⎥
⎢1 − 1 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎢1,5 ⎥
⎢
⎢ ⎥
⎥
⎣2⎦
⎣0 0 1 ⎦
I4 = II - IIII = 0,5
I5 = II - III = 1,5
18 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
9.3. METODA NAPIĘĆ WĘZŁOWYCH (WĘZŁOWA)
Metoda ta także należy do grupy metod algorytmicznych. W metodzie
węzłowej poszukujemy napięć gałęziowych.
Przebieg postępowania przy rozwiązywaniu obwodu prądu harmonicznego metodą węzłową jest następujący, należy:
1)
zamienić wszystkie rzeczywiste źródła napięcia występujące w obwodzie na równoważne źródła prądu;
2)
określić liczbę m niezależnych węzłów w obwodzie:
m = w- 1 {w-węzły};
3)
dokonać wyboru i oznaczenia węzłów niezależnych;
4)
ustalić zwroty napięć węzłowych;
5)
dla każdego węzła niezależnego ułożyć równanie bilansu prądów;
m
∑Y k l U l' = I z k
l =1
gdzie:
Y k l l =k = Y k k -
admitancja własna węzła k, równa sumie admitancji
gałęzi dołączonych do węzła k;
Y kl
= Y lk
l ≠k
k ≠l
- admitancja wzajemna węzłów k i l , równa sumie
admitancji wszystkich gałęzi łączących k-ty węzeł z
l-tym, wzięta ze znakiem minus;
U l ' - napięcie zespolone węzła l, określone względem węzła odniesienia;
I z k - wypadkowy prąd źródłowy węzła k w postaci symbolicznej, równy sumie algebraicznej wszystkich symbolicznych prądów źródłowych w gałęziach należących do k-tego węzła; prąd źródłowy
gałęziowy przyjmuje się ze znakiem plus, jeżeli zwrot tego prądu
źródłowego jest do węzła k, a ze znakiem minus w przypadku
przeciwnym.
6)
dokonać rozwiązania układu równań, stosując jedną ze znanych metod, np. rugowania zmiennych, wyznaczników lub macierzową;
7)
ustalić zwroty prądów gałęziowych a następnie obliczyć ich wartości.
19 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
Procedurę postępowania w metodzie węzłowej (dla obwodu prądu sinusoidalnego) zilustrujemy dla przykładowej sieci.
I
I
Z2
Y2
I
Z1
Y1
Z3
Y3
Y5
Y4
I
Z4
Należy:
1)
zamienić wszystkie źródła napięcia występujące w obwodzie na
równoważne źródła prądu;
nie dotyczy
2)
określić liczbę m niezależnych węzłów w obwodzie;
z zależności (8.2): m = w- 1 = 4 - 1=3 {w-węzły};
20 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
3)
dokonać wyboru i oznaczenia węzłów niezależnych;
m niezależnymi węzłami są węzły a, b, c – natomiast w-ty węzeł
oznaczony jako d jest węzłem odniesienia;
I
I
Z2
Z3
b
c
a
Y2
I
Z1
Y1
Y3
Y4
Y5
I
Z4
d
4)
ustalić zwroty napięć węzłowych;
Przyjmujemy istnienie napięć międzywęzłowych (pomiędzy węzłami
niezależnymi a, b ,c a uziemionym węzłem odniesienia d) o zwrotach
do węzłów niezależnych.
a
c
b
Ub
Ua
Uc
d
21 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
5)
dla każdego niezależnego węzła ułożyć równanie bilansu prądów
(PPK) uwzględniając tylko napięcia węzłowe;
I z2
b
a
Ua
6)
I z1
I z3
c
Y2
Y1
Ub
Y3
Y5
Y4
Uc
I z4
Dla węzła a:
(Y 1 + Y 2 ) U a − Y 2 U b − 0 U c = I z1 − I z 2
Dla węzła b:
− Y 2 U a + (Y 2 + Y 3 + Y 5 ) U b − Y 3 U c = I z 2 + I z 3
Dla węzła c:
0 U a − Y 3 U b + (Y 3 + Y 4 ) U c = I z 4 − I z 3
Rozwiązując powyższy układ równań metodą macierzową, piszemy:
0 ⎤ ⎡U a ⎤ ⎡ I z1 − I z 2 ⎤
−Y 2
⎡Y 1 + Y 2
⎢ −Y
Y2 +Y3 +Y5
− Y 3 ⎥ ⎢U b ⎥ = ⎢ I z 2 + I z 3 ⎥
2
⎥
⎥⎢ ⎥ ⎢
⎢
Y 3 + Y 4 ⎥⎦ ⎢⎣U c ⎥⎦ ⎢⎣ I z 4 − I z 3 ⎥⎦
⎢⎣ 0
−Y3
po przekształceniach
Y U X = IZ
(9.7)
UX = Y -1 IZ
(9.8)
22 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
7)
ustalić zwroty napięć gałęziowych i obliczyć ich wartości.
I z2
U2
a
Ua
I z1
I z3
b
U3
Y2
Y1
Ub
c
Y3
Y5
U5
U1
I z4
Y4
Uc
U4
Sposób 1
Jeżeli gałąź łączy węzeł odniesienia z węzłem niezależnym,
wówczas napięcie gałęziowe równe jest liczbowo napięciu węzłowemu (z odpowiednim znakiem). Czyli:
U1 = Ua
U4 = Uc
U5 = Ub
Natomiast napięcie na gałęzi łączącej węzły niezależne jest
równe algebraicznej sumie napięć węzłowych tych węzłów. Otrzymamy więc:
U2 = Ua - Ub
U3 = Ub - Uc
23 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
Sposób 2
Napięcia gałęziowe możemy obliczyć również wykorzystując metodą
incydencji napięciowej. Macierz napięć gałęziowych Ug wyznaczamy w
oparciu o macierz napięć węzłowych UX korzystając z macierzy łączącej
napięciowej β :
Ug = β UX
(9.9)
Elementy macierzy łączącej napięciowej β przyjmują wartość +1, -1 lub 0
βgk
= 1 jeśli gałąź „g” jest incydentna z węzłem „k” (tzn. węzeł „k”
jest końcówką gałęzi „g”) oraz grot napięcia w gałęzi „g” jest
zwrócony do węzła „k”.
-1 j.w., lecz napięcie ma zwrot przeciwny
0 jeśli gałąź „g” nie jest incydentna z węzłem „k”
U2
U3
c
numer gałęzi
a
b
U1
U5
U4
1
2
3
4
5
węzeł
a b c
⎡1 0 0 ⎤
⎢1 − 1 0 ⎥
⎢
⎥
⎢0 1 − 1⎥
⎢
⎥
0
0
1
⎢
⎥
⎢⎣0 1 0 ⎥⎦
UWAGA: Znajomość napięć gałęziowych pozwala na wyznaczenie
prądów gałęziowych
24 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
Przykład 9.4: Stosując metodę węzłową, obliczyć wartości prądów w gałęziach obwodu.
L
C
Dane:
R
E1 = j100V, E2 = 60e j 60 V,
f = 50 Hz,
R= 200Ω, L = 0,796 H, C = 9,55 μF
E2
E1
ROZWIĄZANIE:
1)
zamiana wszystkich rzeczywistych źródeł napięcia występujące w obwodzie
na równoważne źródła prądu;
Z1
Z3
E1
Z2
I Z1
E2
Z 1 = jX L = jωL = j 250
= 250 e j 90 [Ω ]
E1 = j100 = 100 e j90 [V ]
Z 2 = R = 200 [Ω ]
E 2 = 60 e j 60 [V ]
Z 3 = − jX C = − j
= 333 e
Y1
− j 90
I Z2
Y2
1
1
=−j
=
250
ωL
= − j 0,004 = 0,004 e − j 90 [S ]
E
I z1 = 1 = E1Y 1 = 0,4 = 0,4 e j 0 [ A]
Z1
Y 2 = 1 / Z 2 = 1 / R = 0,005 [S ]
I z2
E 2 60 e j 60
= E 2Y 2 =
=
=
R
200
= 0,3 e j 60 = 0,15 + j 0,26 [ A]
1
−j
=
ωC 0,003
[Ω ]
Y 1 = − jBL = − j
Y3
Y 3 = jBC = jωC = j 0,003 =
= 0,003 e j 90 [S ]
25 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
2)
określenie liczby m niezależnych węzłów w obwodzie;
z zależności 9.2: m = w- 1 = 2 – 1 = 1 {w-węzły};
3)
wybór i oznaczenie węzła niezależnego;
niezależnym węzłem jest
węzeł V – natomiast węzeł oznaczony jako O jest
węzłem odniesienia;
V
Y1
UV
Y3
I Z1
Y2
I Z2
4)
ustalenie zwrotu napięcia węzłowego;
5)
ułożenie dla niezależnego węzła równania bilansu prądów (PPK) uwzględniającego tylko napięcie węzłowe
O
(Y 1 + Y 2 + Y 3 ) U V
6)
rozwiązanie równania (wyznaczenie UV)
UV =
=
7)
= I z1 + I z 2
I z1 + I z 2
0,4 + (0,15 + j 0,26 )
0,55 + j 0,26
=
=
=
Y 1 + Y 2 + Y 3 − j 0,004 + 0,005 + j 0,003 0,005 − j 0,001
0,608 e j 25,3
0,00509 e − j11,3
= 119,4 e j 36,6 = 95,8 + j 71,7 [V ]
ustalenie zwrotów napięć gałęziowych i obliczenie ich wartości.
U1
Y1
V
U3
Y3
I Z1
U2
UV
I Z2
Y2
U 1 =U V
U
2
=U V
U 3 =U V
26 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
8) ustalenie zwrotów prądów gałęziowych i obliczenie ich wartości;
UWAGA: rozpatruje się sieć zawierającą źródła napięciowe!
I1
Z1
E1
I3=
UV
Z3
I2
I3
UV
Z3
Z2
E2
= U V Y 3 = 119,4 e j 36,6 0,003 e j 90 =
= 0,358 e j126,6 = −0,214 + j 0,288 [ A]
I1
UL
Z1
UV
E1
I1=
E1 − U L − U V = 0 ⇒ U L = E 1 − U V
U = I1Z1
1444444L424
444444
3
czyli:
I 1 Z 1 = E1 − U V stąd:
E1 − U V
= (E1 − U V )Y 1 = 0,115 + j 0,383 [ A]
Z1
I 2 =I1−I3 =
= 0,115 + j 0,383 − (− 0,214 + j 0,288) =
= 0,329 + j 0,095 [ A]
27 /27

09_Metody sieciowe _algorytmiczne_ analizy obwodów liniowych

Transkrypt

Podobne dokumenty

Dla obwodu jak na poniższym schemacie obliczyć rozpływ prądów

U c H WAt E Nr XXX/ 20s12009 U c HW At E Nr

Wzór wrabiany na mitenki lub jak kto woli rękawiczki z palcami

17. SCHEMATY BLOKOWE 17.1. ELEMENTY SCHEMATÓW

10. METODY NIEALGORYTMICZNE ANALIZY OBWODÓW

w roku szkolnym 2015/16

Instrukcja WEL-WIFI-FG Linux