praca domowa nr 4

probabilistyka
matematyka, II stopień
zadania domowe 3, 16 grudnia 2015
1. Znaleźć rozkład warunkowy X pod warunkiem X +Y = t, jeśli X i Y są niezależnymi zmiennymi
losowymi o tym samym rozkładzie
a) wykładniczym z parametrem λ;
b) Poissona z parametrem λ.
2. Układ zmiennych losowych (X, Y ) ma rozkład jednostajny wewnątrz kwadratu o boku 4. Przekątne kwadratu pokrywają się z osiami współrzędnych. Wyznaczyć:
a) gęstość prawdopodobieństwa układu (X, Y );
b) gęstości warunkowe;
c) E(X|Y = 2);
d) E(Y |X).
3. Zmienne losowe X i Y mają łączny rozkład prawdopodobieństwa o gęstości:
−x(y−x)
xe
dla y > x, 0 ≤ x ≤ 1
f (x, y) =
0
poza tym.
Jeżeli µ(X) = E(Y |X), to P (Y > µ(X)) wynosi:
1
2
, E) 1+e
.
A) 21 , B) e−1 , C) 1, D) 1+e
4. Podać przykład zmiennych losowych określonych na tej samej przestrzeni Ω, zbieżnego według
rozkładu, który nie jest zbieżny według prawdopodobieństwa.
uwaga:
• za każde zadanie można otrzymać maksymalnie 1 punkt;
• przewidziana jest punktacja: 0, 21 lub 1pkt;
• zadania można rozwiązywać w podzespołach dwuosobowych;
termin oddania pracy domowej: 14 stycznia 2016;