Wstęp Metoda dziel i zwyciężaj Sortowanie przez - lukasz

Transkrypt

Plik pobrano z www.lukasz-socha.pl
Ostatnia aktualizacja: 2.09.2011
Wstęp
W drugiej części cyklu artykułów o algorytmach sortowania przedstawię dwa nieco bardziej
zaawansowane algorytmy: sortowanie przez scalanie i sortowanie szybkie oparte na metodzie
dziel i zwyciężaj.
Metoda dziel i zwyciężaj
Metoda ta polega na rekurencyjnym podzieleniu problemu na mniejsze instancje (dwie lub więcej)
tego samego lub podobnego problemu. Następnie rozwiązujemy problem dla mniejszych instancji.
Na koniec scalamy wyniki poszczególnych fragmentów otrzymując rozwiązanie wyjściowego
problemu.
Sortowanie przez scalanie
Sortowanie przez scalanie (ang. merge sort), to rekurencyjny algorytm sortowania danych, mający
zastosowanie przy danych dostępnych sekwencyjnie, na przykład w postaci listy jednokierunkowej
(tj. łączonej jednostronnie). Opracowanie algorytmu przypisuje się Johnowi von Neumannowi.
Idea
Algorytm merge sort dzielimy na trzy części:
1. dzielenie tablicy na dwa wycinki
2. wywołanie rekurencyjne algorytmu sortującego na tych wycinkach
3. scalenie dwóch posortowanych wycinków
Dzielenie tablicy odbywa się dopóki wycinek zawiera więcej niż jeden element. W rezultacie
otrzymamy n wycinków jednoelementowych.
Posortujemy tablicę 8-elementową: 6 9 4 8 7 1 2 3
Materiał przeznaczony tylko do własnego użytku. Publikacja na innych stronach wyłącznie za zgodą autora.
[email protected]
1/7
Etap 1 - dzielenie n-elementowej tablicy na jednoelementowe części.
Etap 2 – sortowanie i scalanie dwóch fragmentów.
[email protected]
2/7
Kroki
0
1
Sortowana
tablica
6
9
4
8
6
9
4
8
4
6
2
9
8
4
6
9
3
8
4
6 8
9
4
4
6 8 9
Implementacja
<?php
/**
* Funkcja scalajaca 2 fragmenty
*
* @param int start indeks poczatkowy
* @param int av indeks srodkowego elementu w tablicy
* @param int end indeks ostatniego elementu
* @param int t sortowana tablica
* @return void
*/
function merge($start, $av, $end, &$t) {
for($i=$start;$i<=$end;$i++) {
$temp[$i]=$t[$i]; // kopiuje sortowana tablice do tablicy
pomocniczej
[email protected]
3/7
}
$i=$start;
$j=$av+1;
$k=$start;
while($i<=$av && $j<=$end) { // w petli przenoszone sa
elementy z tablicy pomocniczej do tablicy z wynikami z
uwzglednieniem sortowania
if($temp[$i]<$temp[$j]) {
$t[$k]=$temp[$i];
$i++;
} else {
$t[$k]=$temp[$j];
$j++;
}
$k++;
}
while($i<=$av) { // przenosi elementy z nieskopiowanego
podzbioru do tablicy z wynikami, w przypadku, gdy drugi podzbior
jest juz pusty
$t[$k]=$temp[$i];
$i++;
$k++;
}
}
/**
* Funkcja sortowania przez scalanie
*
* @param int start indeks poczatkowy
* @param int end indeks ostatniego elementu
* @return void
[email protected]
4/7
*/
function mergeSort($start, $end, &$t) {
if($start<$end) {
$av=($start+$end)/2; // wyznaczamy srodek tablicy
$av=(int)$av;
mergeSort($start, $av, $t); // wywolanie sortowania dla
lewego kawalka
mergeSort($av+1, $end, $t); // wywolanie sortowania dla
prawego kawalka
merge($start, $av, $end, $t); // laczenie 2 czesci
}
}
?>
Złożoność czasowa
Kolejne wywołania funkcji mergeSort można zobrazować za pomocą drzewa (patrz schematy),
które ma wysokość log2n. Na poszczególnych poziomach algorytm wykonuje scalanie fragmentów,
co kosztuje łącznie O(n). Sumując, złożoność określamy na O(n log n).
Sortowanie szybkie
Sortowanie szybkie (ang. Quicksort) jest kolejnym przykładem algorytmu sortowania opartym na
metodzie dziel i zwyciężaj. Algorytm ten został opracowany przez Charles Antony Richard Hoare'a
w 1960 roku. W przypadku typowym algorytm ten jest najszybszym algorytmem sortującym z
klasy złożoności obliczeniowej O(n log n). Z tego też powodu znajduję się w standardowej
bibliotece PHP. Warto zaznaczyć, że dla pewnych zestawów danych poziom wywołań
rekurencyjnych może spowodować przepełnienie stosu i zablokowanie komputera.
Idea
Wybieramy dowolny element e z listy i dzielimy listę na dwie podlisty: A – elementów mniejszych
lub równych od e i B – elementów większych od e. Następnie sortujemy oddzielnie listy A i B. Na
koniec listę A, element e i listę B składamy w całość otrzymując posortowaną listę.
Przykład działania pokazany za pomocą kard: http://www.youtube.com/watch?v=cNB5JCG3vts
[email protected]
5/7
Implementacja
<?php
/**
* Algorytm szybkiego sortowania
*
* @param int left indeks lewego elementu
* @param int right indeks prawego elementu
* @return void
*/
function quickSort($left, $right, &$t) {
if($left<$right) {
$e=$left; // element wzgledem ktore wystepuje podzial
for($i=$left+1;$i<=$right;$i++) {
if($t[$i]<$t[$left]) { // jezeli el. na prawo jest
mniejszy od el. z indeksem 'left' zamnien je
$e++;
$temp=$t[$i];
$t[$i]=$t[$e];
$t[$e]=$temp;
}
}
$temp=$t[$left]; // zamiana el. e z el. o indeksie 'left'
$t[$left]=$t[$e];
$t[$e]=$temp;
quickSort($left, $e-1, $t); // wywoalanie funkcji dla
tablicy na lewo od 'e'
quickSort($e+1, $right, $t); // wywoalanie funkcji dla
tablicy na prawo od 'e'
}
}
?>
[email protected]
6/7
Złożoność czasowa
Na każdym poziomie rekurencji lista dzielona jest na dwie części. Przy pierwszym wywołaniu
następuje porównanie n-1 elementów. Zatem średnia złożoność obliczeniowa wynosi O(n log n).
Pesymistyczna zaś – O(n2).
Zakończenie
W tym artykule zaprezentowałem dwa najczęściej używane algorytmy sortowania oparte na
metodzie dziel i zwyciężaj. Są one dość proste w implementacji, a ich złożoność czasowa pozwala
na sortowanie dużych tablic. W kolejnej części cyklu zaprezentuję metody sortowania w czasie
liniowym.
[email protected]
7/7

Wstęp Metoda dziel i zwyciężaj Sortowanie przez - lukasz

Transkrypt

Podobne dokumenty

Zadanie 6. Napisać program o następującym działaniu:

Wstęp Sortowanie bąbelkowe - lukasz

ogłoszenie

Wpływ promieniowania cieplnego na organizm człowieka

Samoregulująca się taśma grzewcza 60TTS-2-BOT

Zadania powtórzeniowe do ćwiczenia przed kolokwium (niezbyt łatwe)

Laboratorium 3