ZESTAW 3

ZESTAW 3
1. Obliczyć prawdopodobieństwo, że sztuka wybrana na chybił-trafił z partii
wyprodukowanych przedmiotów jest pierwszego gatunku, jeśli wiadomo, że
4% całej produkcji to sztuki wykonane wadliwie, a wśród niewadliwych jest
75% sztuk pierwszego gatunku.
2. Mamy 3 krążki zachowujące się przy rzucaniu jak symetryczna moneta. Jeden jest z obu stron biały, drugi z obu stron czarny, a trzeci z jednej strony
biały, a z drugiej czarny. Wylosowano krążek i nie zdradzając, jakiego jest
typu, rzucono nim. Widoczna strona jest czarna. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że strona, na której leży krążek jest też czarna?
3. Mamy 4 przedmioty z defektami: jeden jest niewłaściwie pomalowany, na
drugim jest wgniecenie, na trzecim szczerba, a czwarty ma wszystkie 3 wspomniane defekty. Rozważamy zdarzenia: A=”losowo wybrany przedmiot jest
źle pomalowany”, B=”losowo wybrany przedmiot ma wgniecenie”, C=”losowo
wybrany przedmiot ma szczerbę”. Czy te zdarzenia są a) parami niezależne?
b)wzajemnie niezależne?
4. W szufladzie jest 15 piłek tenisowych, w tym 9 nowych. Do pierwszej gry
wzięto losowo 3 piłki i po grze odłożono je z powrotem do szuflady. Do
drugiej gry także wzięto losowo 3 piłki. Znaleźć prawdopodobieństwo tego,
że wszystkie piłki wzięte do drugiej gry były nowe.
5. Wiadomo, że urna zawiera tylko kule białe i czarne i że łącznie są w urnie
cztery kule. Losując 4 razy ze zwracaniem po jednej kuli raz wylosowano kulę
czarną i 3 razy kulę białą. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w następnym
losowaniu zostanie wylosowana kula czarna.
6. Są 3 urny: A, B, C. W urnie A jest 5 kul białych i 1 czarna. W każdej z urn B
i C jest 1 kula biała i 1 kula czarna. Z losowo wybranej urny wyciągamy kulę
i okazuje się, że jest ona biała. Jakie jest prawdopodobieństwo, że została
wybrana z urny A?
7. Spośród 18 strzelców pięciu trafia do celu z prawdopodobieństwem 0,8; siedmiu: 0,7; czterech 0,6; dwóch 0,5. Wybrany losowo strzelec strzelił do celu,
ale nie trafił. Do której grupy najprawdopodobniej należy strzelec?
8. W urnie są 3 kule: białe lub czarne. Losujemy 4 razy ze zwracaniem i za
każdym razem wyciągamy kulę białą. Obliczyć najbardziej prawdopodobną
liczbę kul czarnych w urnie.
9. W każdej z 3 urn znajduje się 20 kul. Liczby kul białych w urnach wynoszą
odpowiednio: 20, 15, 10. Z losowo wybranej urny wyjęto kulę, która okazała
się biała. Po zwróceniu kuli do urny, z której ją wyjęto, ponownie wylosowano
z tej urny kulę, która też okazała się biała. Znaleźć prawdopodobieństwo
tego, że kule były wyciągane z trzeciej urny.
10. Informacje przekazuje się za pomocą telegrafu, nadając sygnały: kropka i
kreska. Statystyczne właściwości przeszkód są takie, że średnio 25 sygnałów
kropka i 13 sygnałów kreska zostaje zniekształconych. Wiadomo, że wśród
przekazywanych sygnałów kropka i kreska występują w stosunku 5 : 3. Obliczyć, że odebrane sygnały kropka i kreska były też nadane odpowiednio jako
kropka i kreska.
11. Wiadomo, że 96% produkcji jest zgodne z normą. Uproszczony schemat
kontroli przepuszcza przedmioty dobre z prawdopodobieństwem 0,98; a wa1
dliwe z prawdopodobieństwem 0,05. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że
przedmiot, który uproszczona kontrola przepuściła, jest zgodny z normą.
12. W partii 8 przedmiotów każda liczba przedmiotów dobrych jest jednakowo
prawdopodobna. Losujemy kolejno 4 przedmioty:
a) Okazało się, że 2 pierwsze są dobre, a 2 kolejne wadliwe. Następnie spośród 4 pozostałych losujemy kolejno 3 następne. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w drugim losowaniu uzyskamy najpierw jeden dobry, a
potem 2 wadliwe wyroby?
b) Okazało się, że 3 pierwsze są dobre, a ostatni wadliwy. Następnie spośród
4 pozostałych losujemy kolejno 3 następne. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w drugim losowaniu uzyskamy najpier 2 dobre, a następnie 1
wadliwy wyrób?
13. Wykazać, że P (A|B) > P (A) ⇔ P (B|A) > P (B)
14. Rzucamy trzema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na żadnej
kostce nie wypadła szóstka, jeśli na każdej kostce wypadła inna liczba oczek?
15. Z talii 8 kart - 4 króli i 4 asów - wybieramy losowo 2 karty. Jakie jest
prawdopodobieństwo wybrania 2 króli, jeśli wiemy, że:
— wybrano co najmniej jednego króla?
— wśród wybranych kart jest czarny król?
— wśród wybranych kart jest król pik?
16. Naczelnik więzienia postanowił uwolnić jednego z 3 więźniów, o czym dowiedzieli się zainteresowani, ale nie dowiedzieli się, który z nich będzie wolny.
Więzień A ma wśród strażników znajomego, który to wie. Chce go zapytać,
ale krępuje się pytać o siebie. Pyta więc o imię jednego z więźnów (różnego
od siebie), który ma pozostać w więzieniu. Przed zadaniem pytania ocenia,
że każdy z nich ma szansę wyjścia równą 13 . Myśli, że jeśli strażnik powie na
przykład, że zostaje B, to jego szanse rosną do 12 (bo zostanie uwolniony A
lub C). Czy popełnia błąd?
17. W loterii fantowej szansa wygrania jest równa p, przegranej q, a z prawdopodobieństwem r wyciągamy los „graj dalej”. Los „graj dalej” wrzucamy z
powrotem do urny i dokonujemy ponownego losowania. Jakie jest prawdopodobieństwo wygranej?
18. Podczas klasówki z historii Jan i Paweł siedzieli obok siebie. Między innymi
mieli napisać dwie daty. Jan je pamiętał, ale nie wiedział, jak przyporządkować. Zapytał Pawła wiedząc, że w 3 przypadkach na 4 Paweł zna prawidłową
odpowiedź, choć Paweł uważa, że zawsze wie dobrze. Jednak Paweł w 1
przypadku na 4 oszukuje Jana. Co jest lepsze dla Jana: posłuchać Pawła,
czy odpowiedzieć losowo?
19. W mieście działają 2 przedsiębiorstwa taksówkowe: Zielone Taxi (85%) samochodów i Niebieskie Taxi (15%). Świadek nocnego wypadku zakończonego
ucieczką kierowcy twierdzi, że samochód był niebieski. Eksperymenty wykazały, że świadek rozpoznaje kolor poprawnie w 80% przypadków, a myli się
w 20%. Jaka jest szansa, że w wypadku uczestniczyła niebieska taksówka?
20. Test na rzadką chorobę, którą dotknięta jest średnio jedna osoba na tysiąc,
daje fałszywą pozytywną odpowiedź w 5% przypadków (u osoby chorej zawsze daje odpowiedź pozytywną). Jaka jest szansa, że osoba u której test dał
odpowiedź pozytywną, jest faktycznie chora? Zakładamy, że nic nie wiemy
o innych możliwych objawach u badanej osoby.
2