Równanie soczewki (i zwierciadła)

Sławomir Jemielity
Równanie soczewki (i zwierciadła)
Równanie soczewki to wzór wiążący trzy wielkości: odległość przedmiotu od soczewki,
odległość obrazu tego przedmiotu od soczewki i ogniskową soczewki.
Musimy przypomnieć sobie parę pojęć. Po pierwsze, co to jest ogniskowa.
oś optyczna
ognisko
f
ogniskowa
Jeśli przepuścimy równoległą wiązkę światła równolegle do osi symetrii soczewki (nazywamy tę prostą osią optyczną), to promienie świetlne skupią się w jednym punkcie, który
nazywamy ogniskiem soczewki. Jest tak, gdy soczewka jest cienka. Jeżeli jest gruba, to
nie jest dokładnie punkt. Odległość ogniska od soczewki nazywamy ogniskową soczewki.
Do wyprowadzenia równania soczewki będzie nam potrzebna umiejętność konstruowania
obrazów w soczewkach.
Każdy punkt ciała wysyłającego światło promieniuje we wszystkich kierunkach. Część tych
promieni trafia na soczewkę, przechodzi przez nią i skupia w jednym punkcie. Tak powstaje obraz punktu ciała w soczewce. Obraz innego punktu powstaje w nieco innym miejscu,
z promieni, które dzięki soczewce skupiły się w jednym punkcie – obrazie tego innego
punktu ciała. Z takich obrazów poszczególnych punktów powstaje obraz całego ciała.
By skonstruować obraz punktu, wystarczy spośród emitowanych wybrać dwa promienie.
Jakie? Takie, które łatwo skonstruować. Są trzy łatwe do konstrukcji promienie (tzn. takie,
które łatwo się rysuje po przejściu przez soczewkę):
a) Promień równoległy do osi optycznej przejdzie przez ognisko (w przypadku soczewki
rozpraszającej to jego przedłużenie trafi w ognisko).
ognisko
b) Promień przechodzący przez ognisko po przejściu przez soczewkę będzie równoległy
do osi optycznej.
ognisko
c) Promień, który przechodzi przez środek soczewki, nie zmienia swego kierunku (to tak,
jak przejście przez cienką płytkę równoległościenną)
B
D
h
y
f
A
C
E
F
przedmiot
x
obraz
Na poniższym rysunku mamy konstrukcję obrazu w soczewce skupiającej za pomocą
promieni a) i c).
H
G
Widać trójkąty podobne.
∆ABC ~ ∆CEG
∆CDF ~ ∆EFG
Można więc napisać odpowiednie proporcje:
AB AC
h
x
=
=
czyli
1)
H y
EG CE
oraz
DC CF
=
EG FE
czyli
h
f
=
2)
H y −f
Porównajmy prawe strony proporcji 1) i 2).
x
f
=
y y −f
x (y − f ) = yf
xy − xf = yf
xy = xf + yf
Podzielmy obie strony ostatniej równości przez x ⋅ y ⋅ f .
1 1 1
= +
f
y x
I to jest właśnie równanie soczewki. Wyprowadziliśmy je dla szczególnego przypadku, ale
można podobnie sprawdzić, że jest słuszne również dla innych. Musimy tylko przyjąć, że
dla obrazów pozornych y < 0, a dla soczewki rozpraszającej f < 0. Dokładnie takie samo
równanie obowiązuje dla zwierciadeł kulistych.