Estymacja Przedziałowa

Estymacja Przedziałowa
Wzory
Szacujemy parametry w populacji generalnej na podstawie
parametrów próbki
I.
Szacowanie średniej m w populacji generalnej
I.1. Populacja generalna ma rozkład normalny i znamy jej odchylenie standardowe  .

Z tablic rozkładu normalnego odczytujemy kwantyl z taki, że
P   z  Z  z   1   ( 1   to poziom ufności) – rysując przybliżony wykres

Stosujemy statystykę Z 
X m

 n i mamy przedział ufności:


X m
P   z 
n  z   1   , z której wyznaczamy m




Mamy przedział ufności: P ...  m  ...  1  

Interpretujemy wynik
I.2.a Populacja generalna ma rozkład normalny, nie znamy jej odchylenia
standardowego  , liczebność próbki n jest mała.

Z tablic rozkładu t-Studenta odczytujemy kwantyl t ;n 1 – nie rysując wykresu,
tylko wprost z tablic ( 1   to poziom ufności)
X m
n  1 i mamy przedział ufności:
S


X m
P  t ;n1 
n  1  t ;n1   1   , z której wyznaczamy m
S



Stosujemy statystykę t 

Mamy przedział ufności: P ...  m  ...  1  

Interpretujemy wynik
www.etrapez.pl Krystian Karczyński
Strona 1
I.2.b Populacja generalna ma rozkład normalny, nie znamy jej odchylenia
standardowego  , liczebność próbki n jest duża.

Z tablic rozkładu normalnego odczytujemy kwantyl z taki, że
P   z  Z  z   1   ( 1   to poziom ufności) – rysując przybliżony wykres

Stosujemy statystykę Z 
X m
n i mamy przedział ufności:
S


X m
P   z 
n  z   1   , z której wyznaczamy m
S



Mamy przedział ufności: P ...  m  ...  1  

Interpretujemy wynik
I.3 Nie znamy rozkładu populacji generalnej, liczebność próbki n jest duża.

Z tablic rozkładu normalnego odczytujemy kwantyl z taki, że
P   z  Z  z   1   ( 1   to poziom ufności) – rysując przybliżony wykres

Stosujemy statystykę Z 
X m
n i mamy przedział ufności:
S


X m
P   z 
n  z   1   , z której wyznaczamy m
S



Mamy przedział ufności: P ...  m  ...  1  

Interpretujemy wynik
www.etrapez.pl Krystian Karczyński
Strona 2
II.
Szacowanie wariancji i odchylenia standardowego w populacji
generalnej
II.a Populacja generalna ma rozkład normalny, nie znamy jej odchylenia
standardowego  , liczebność próbki n jest mała.

Z tablic chi-kwadrat odczytujemy dwa kwantyle   ;n 1 , 1  ;n 1 – (możemy
2
2
narysować wykres, 1   to poziom ufności)

Stosujemy statystykę  
2
nS 2
2
i mamy przedział ufności:


nS 2
P  12  ;n1  2   2;n1   1   , z której wyznaczamy 
2

 2


Mamy przedział ufności: P ...    ...  1  

Interpretujemy wynik
II.b Populacja generalna ma rozkład normalny, nie znamy jej odchylenia
standardowego  , liczebność próbki n jest duża.

Z tablic rozkładu normalnego odczytujemy kwantyl z taki, że
P   z  Z  z   1   ( 1   to poziom ufności) – rysując przybliżony wykres
S 

Stosujemy statystykę Z 

S
S 

P  S  z 
   S  z 
  1 
2n
2n 

Interpretujemy wynik

2n i mamy przedział ufności:
www.etrapez.pl Krystian Karczyński
Strona 3
III.
Szacowanie prawdopodobieństwa (odsetka, frakcji) w populacji
generalnej
Liczebność próbki n jest duża.
p - prawdopodobieństwo (odsetek, frakcja) w populacji generalnej
m - liczba jednostek w próbie mających daną cechę
m
- odsetek jednostek w próbie mających daną cechę
n

Z tablic rozkładu normalnego odczytujemy kwantyl z taki, że
P   z  Z  z   1   ( 1   to poziom ufności) – rysując przybliżony wykres
m
p
n
i mamy przedział ufności:
p 1  p 
n

Stosujemy statystykę Z 


m m

1  
m
m
n
n

P   z
 p   z
n
n
n


Interpretujemy wynik
m m 
1   
n
n
 1 

n


www.etrapez.pl Krystian Karczyński
Strona 4
Minimalna liczebność próby
d - dopuszczalny poziom błędu
1. Szacujemy średnią m w rozkładzie normalnym przy znanym odchyleniu
standardowym  .
 Z tablic rozkładu normalnego odczytujemy kwantyl z taki, że:
P   z  Z  z   1   ( 1   to poziom ufności) – rysując przybliżony wykres

n
z2 2
d2
2. Szacujemy średnią m w rozkładzie normalnym przy nieznanym odchyleniu
standardowym  .
 x  X 
n



Wyznaczamy Sˆ 
i 1
2
i
z wstępnej próbki
n 1
Z tablic rozkładu t-Studenta odczytujemy kwantyl t ;n 1 – nie rysując wykresu,
tylko wprost z tablic ( 1   to poziom ufności)
t 2  Sˆ 2
n   ;n 12
d
3. Szacujemy prawdopodobieństwo p .

Z tablic rozkładu normalnego odczytujemy kwantyl z taki, że:
P   z  Z  z   1   ( 1   to poziom ufności) – rysując przybliżony wykres

n
z2 
m m
1  
n
n
2
d
www.etrapez.pl Krystian Karczyński
Strona 5