A`” a”=p` - Wydział Architektury

Grafika inżynierska – geometria wykreślna
4. Wielościany.
Budowa. Przekroje.
dr inż. arch. Anna Wancław
Politechnika Gdańska, Wydział Architektury
Studia inżynierskie, kierunek Gospodarka przestrzenna, semestr I
4. Wielościany.
Budowa. Przekroje.
•
•
•
•
•
Wielościany – definicje, klasyfikacja
Transformacja celowa – powtórzenie
Budowa wielościanów - zadania
Przekroje wielościanów płaszczyzną rzutującą
Związki kolineacji i powinowactwa
Wielościany
wokół nas
Wielościany - definicja
Wielościan – bryła geometryczna, ograniczona powierzchnią
utworzoną ze skończonej ilości wielokątów spełniających
następujące warunki:
1) Każde dwa wielokąty mają bok, bądź wierzchołek wspólny,
albo nie mają żadnego punktu wspólnego,
2) Każdy bok wielokąta jest bokiem wspólnym tylko dla dwóch
wielokątów
3) Każdy wierzchołek wielokąta jest wspólny dla co najmniej
trzech wielokątów
Każdy wielościan utworzony jest ze ścian, krawędzi i
wierzchołków.
„Grzech pierworodny teorii wielościanów popełniony został już w czasach Euklidesa,
i był popełniany przez Keplera, Poinsota, Cauchy'ego i wielu innych. Nigdy nie udało
im się określić, czym są wielościany.”
Branko Grünbaum
Wielościany - klasyfikacja
•Wielościany foremne (umiarowe, platońskie)
•Wielościany półforemne (archimedejskie)
•Ostrosłupy
•Graniastosłupy
•inne
Wielościany foremne
- czworościan
- sześcian
- ośmiościan
- dwunastościan
- dwudziestościan
Wielościany
półforemne
Istnieje 13 (15) wielościanów półforemnych
oraz dwie nieskończone serie.
Ostrosłupy
wysokość
prosty
prawidłowy
spodek
wysokości
Graniastosłupy
prostopadłościan
wysokość
prawidłowy
prosty
P”
R”
R’
P’
x12
TRANSFORMACJA
- przyjęcie rzutni
równolegle
i prostopadle
do prostej.
Rzeczywista
wielkość odcinka.
P”
R”
x12
R’
x13
TRANSFORMACJA
- przyjęcie rzutni
równolegle do
prostej.
R’”
P’
Rzeczywista wielkość odcinka.
P’”
P”
R”
x12
R’
x13
R’”
TRANSFORMACJA
- przyjęcie rzutni
równolegle
i prostopadle
do prostej.
P’
P’”
PIV=RIV
x34
Położenie rzutujące odcinka.
Q”
TRANSFORMACJA - przyjęcie rzutni
prostopadle i równolegle do płaszczyzny.
Położenie rzutujące i rzeczywiste
wielkości na płaszczyźnie.
P”
R”
P’
R’
Q’
x12
Q”
TRANSFORMACJA - przyjęcie rzutni
prostopadle do płaszczyzny.
1”
P”
m”
R”
x12
P’
m’
1’
R’
Q’
Chcąc przyjąć trzecią rzutnię prostopadle
do płaszczyzny PQR przyjmujemy na niej
pomocniczą poziomą prostą m.
Wyznaczamy rzut poziomy prostej m.
Q”
TRANSFORMACJA - przyjęcie rzutni
prostopadle do płaszczyzny.
1”
P”
m”
R”
x12
P’
m’
R’
1’
Przyjmujemy rzutnię
trzecią prostopadle do
płaszczyzny trójkąta PQR
(oś rzutów x12 jest
prostopadła do rzutu
poziomego prostej m).
R”’
P”’=m’”=1’”
Q’
Położenie rzutujące
trójkąta.
x13
Q”’
Q”
TRANSFORMACJA - przyjęcie rzutni
prostopadle i równolegle do płaszczyzny.
Rzeczywiste wielkości na płaszczyźnie
1”
P”
PIV
m”
R”
x12
P’
1IV
R’
m’ 1’
Rzeczywista wielkość
trójkąta.
mIV
RIV
R”’
P”’=m’”=1’”
Q’
QIV
x13
Q”’
x34
Budowa wielościanów
W
Zadanie
W”
A”
A
p
p”
p’
Skonstruować rzuty
ostrosłupa prawidłowego
czworościennego,
którego krawędzią boczną
jest odcinek AW,
a przekątną podstawy
prosta p.
w’
A’
Budowa wielościanów
W
Zadanie
a
D
A
C
S
B
Skonstruować rzuty
ostrosłupa prawidłowego
czworościennego,
którego krawędzią boczną
jest odcinek AW,
a przekątną podstawy
prosta p.
p
PLAN ROZWIAZANIA:
1. Ponieważ proste a i b określają
płaszczyznę przekroju ostrosłupa,
możliwe jest wyznaczenie trójkąta
przekroju AWC (prostopadle do p
prowadzimy wysokość ostrosłupa,
spodek wysokości S określi nam
środek podstawy i połowę
przekątnej.
2. Na prostej prostopadłej do AWC, w
odległości równej połowie
przekątnej będą leżały pozostałe
naroża podstawy – B i D.
Sprowadzając płaszczyznę przekroju
AWC do położenia rzeczywistych
wielkości (za pomocą transformacji),
będziemy mogli powyższy plan
wykonać w rzutach prostokątnych.
Budowa wielościanów
Zadanie
Ze względu na miejsce do
konstrukcji, transformację
prostopadle do płaszczyzny a=a,p
przyjmiemy w stosunku do rzutni
pionowej.
W tym przypadku do wyznaczenia
rzutni trzeciaej przyjmiemy
pomocniczą prostą czołową n.
W”
a”
A”
n”
1”
p”
p”
x12
p’
1’
A’
n’
a’
w’
Budowa wielościanów
Zadanie
Prostopadle do n”
przyjmujemy oś rzutów x23.
W”
x23
a”
A”
n”
1”
p”
x12
p’
1’
A’
n’
a’
w’
Budowa wielościanów
Zadanie
x23
W”
Wyznaczamy rzut trzeci
danych elementów,
płaszczyzna a będzie w
tym rzucie rzutująca.
a”
A”
n”
1”
2”
A’”
p”
x12
W”’=m’”=1’”
a”’=a”’=p’”
2’
2’”
1’
A’
p’
n’
a’
w’
Budowa wielościanów
Zadanie
x23
W”
Równolegle do płaszczyzny a
przyjmujemy rzutnię czwartą. Można
przyjąć rzutnię w tym samym miejscu
co płaszczyzna (a’”=x34).
A’”
aIV
n”
1”
2”
p”
x12
2’
2’”
p’
1IV
1’
nIV
A’
pIV
WIV
A”
W”’=n’”=1’”
a’”=a”=p’”=x34
AIV
a”
2IV
n’
a’
w’
Budowa wielościanów
Zadanie
x23
W”
Ponieważ w rzucie czwartym wielkości
są rzeczywiste, konstruujemy trójkąt
przekroju AWC. Z rzutem spodka
wysokości S pokryją się rzuty
prostopadłej przekątnej BD.
A’”
AIV
A”
n”
1”
2”
W”’=n’”=1’”
a”=p’”=x34
2’
2’”
1’
SIV=BIV=DIV
A’
pIV
p”
x12
aIV
WIV
a”
2IV
CIV
p’
n’
a’
w’
Budowa wielościanów
Zadanie
x23
W”
Wyznaczamy w rzucie trzecim punkt C
(leżący na p) oraz przekątną BD, która
jest w tym rzucie w rzeczywistej B’”
wielkości.
A’”
W”’=n’”=1’”
S’”
a”=p’”=x34
SIV=BIV=DIV
A”
1”
2”
2’
2’” C’”
1’
D’”
A’
pIV
WIV
n”
p”
x12
AIV
aIV
a”
2IV
CIV
p’
n’
a’
w’
Budowa wielościanów
Zadanie
x23
W”
Wyznaczamy w rzucie trzecim
krawędzie ostrosłupa.
a”
A”
B’”
n”
1”
2”
A’”
W”’=n’”=1’”
S’”
aIV
SIVBIV=DIV
x12
a”=p’”=x34
AIV
2’
2’” C’”
1’
D’”
A’
pIV
WIV
p”
2IV
CIV
p’
n’
a’
w’
Budowa wielościanów
Zadanie
x23
W”
B”
Wyznaczamy w rzucie drugim
(pionowym) punkty B, C i D .
a”
A”
B’”
n”
1”
2”
A’”
C”
W”’=n’”=1’”
S’”
a”=p’”=x34
D”
AIV
aIV
SIVBIV=DIV
2’
2’” C’”
1’
D’”
A’
pIV
WIV
2IV
CIV
x12
p’
n’
a’
p”
w’
Budowa wielościanów
Zadanie
x23
Wyznaczamy w rzucie drugim
(pionowym) krawędzie
ostrosłupa, określamy
widoczność.
A’”
a”
A”
B’”
aIV
BIV=DIV
n”
D”
2’
2’” C’”
1’
D’”
pIV
C” p”
x12
W”’=n’”=1’”
A’
WIV
1”
2”
a”=p’”=x34
AIV
W”
B”
2IV
CIV
p’
n’
a’
w’
Budowa wielościanów
Zadanie
x23
a”
Wyznaczamy w rzucie pierwszym
(poziomym) punkty B, C i D .
A”
B’”
A’”
n”
W”’=n’”=1’”
C” p”
x12
B’
D”
2’
2’” C’”
C’
p’
aIV
BIV=DIV
1’
D’”
A’
pIV
WIV
1”
2”
a”=p’”=x34
AIV
W”
B”
2IV
CIV
n’
w’
a’
D’
Budowa wielościanów
Zadanie
x23
a”
Wyznaczamy w rzucie pierwszym
(poziomym) krawędzie
ostrosłupa, określamy
B’”
widoczność.
A’”
W”
B”
A”
n”
1”
2”
W”’=n’”=1’”
D”
B’
a”=p’”=x34
AIV
C” p”
x12
2’
C’
2’” C’”
p’
aiV
BIV=DIV
1’
D’”
A’
pIV
WIV
2IV
CIV
n’
a’
w’
D’
Przekroje wielościanów płaszczyzną rzutującą
W”
g”
e”
P”
S”
Q”
A”
E”
R”
S”
R’
C”
D”
D’
P”
B”
Q’
E’
A’=C’
B’
W’
Przekroje wielościanów płaszczyzną rzutującą
W”
g”
e”
P”
S”
Q”
A”
E”
R”
S”
R’
C”
D”
D’
P”
B”
Q’
E’
A’=C’
B’
W’
Przekroje wielościanów płaszczyzną rzutującą
W”
g”
e”
P”
S”
Q”
S”
A”
B”
E”
R”
R’
C”
D”
D’
Q’
E’
A’=C’
P”
B’
W’
Związki kolineacji i powinowactwa
33
Związki kolineacji i powinowactwa w przekrojach
W”
p”
g”=k”
e”
P”
S”
Q”
A”
B”
E”
R”
a”
S”
R’
k’=b’
Q’
C”
D”
D’
E’
P”
A’=C’
B’
p’
W’
Osią powinowactwa (p) lub kolineacji (k) jest
krawędź przecięcia się płaszczyzn podstawy i przekroju (a i e oraz b i g).
Związki kolineacji i powinowactwa w przekrojach
W”
p”
P1”
P”
S1”
Q1”
g”=k”
e”
R1 ”
S”
Q”
D1 ”
C”
E1” 1
B1”
A1”
B”
R”
E”
a”
S”
R’
Q’
p’
C”
D”
D’
k’=b’
S1’
R1 ’
P”
P1’
A”
Q1’
D1 ’
E’
A’=C’
E1’
C1 ’
A1’
B1’
W’
Konsekwentny system oznaczeń punktów
podstawy i przekroju ułatwi sprawdzenie związków kolineacji lub powinowactwa.
B’
Związki kolineacji i powinowactwa w przekrojach
W”
p”=I”=II”
P”
P1”
S1”
Q1”
g”=k”
e”
R1 ”
S”
Q”
D1 ”
C1 ”
E1”
R”
B1”
A1”
B”
E”
a”
I”
S”
R’
Q’
p’
P1’
C”
D”
D’
k’=b’
S1’
R1 ’
P”
II”
A”
Q1’
D1 ’
E’
A’=C’
E1’
C1 ’
A1’
B1’
B’
W’
Proste na których położone są odpowiednie boki wielokąta
podstawy i przekroju przecinają się na osi powinowactwa . Punkty przecięcia opisujemy cyframi rzymskimi.
Związki kolineacji i powinowactwa w przekrojach
W”
p”=I”=II”
P”
P1”
S1”
Q1”
g”=k”
e”
B1”
R1 ”
S”
Q”
D1 ”
A1”
C1 ”
E1” III”
R”
B”
E”
a”
I’
S”
R’
Q’
p’
P1’
C”
D”
D’
k’=b’
S1’
R1 ’
P”
II’
A”
D1 ’
E’III’
A’=C’
E1’
C1 ’
Q1’
W’
A1’
B1’
B’
Związki kolineacji i powinowactwa w przekrojach
W”
p”=I”=II”
P”
P1”
S1”
Q1”
g”=k”
e”
B1”
R1 ”
S”
Q”
D1 ”
A1”
C1 ”
E1” III”
R”
B”
E”
a”
I’
S”
R’
Q’
p’
P1’
C”
D”
D’
k’=b’
S1’
R1 ’
P”
II’
A”
Q1’
D1 ’
E’III’
A’=C’
E1’
C1 ’
A1’
B1’
W’
Rzuty punktu przecięcia się przedłużeń boków
podstawy i przekroju z osią kolineacji muszą leżeć na jednej odnoszącej (III’ i III”).
B’
Związki kolineacji i powinowactwa w przekrojach
W”
p”=I”=II”
P”
P1”
S1”
Q1”
e”
B1”
R1 ”
S”
Q”
D1 ”
C1 ”
E1” III”
g”=k”
R”
A1” IV”
B”
E”
a”
I’
S”
R’
Q’
p’
P1’
D’
k’=b’
R1 ’
P”
II’
C”
D”
S1’
D1 ’
E’ III’
W’
IV’
E1’
C1 ’
Q1’
A”
A1’
B1’
Rzuty punktu przecięcia się przedłużeń boków podstawy
i przekroju z osią kolineacji muszą leżeć na jednej odnoszącej (III’ , IV’ i III”, IV”).
A’=C’
B’
Skonstruować rzuty ostrosłupa
prawidłowego czworościennego,
którego krawędzią boczną jest
odcinek AW, a przekątną podstawy
prosta p.
W”
A”
a”
p”
p’
A’
a’
w’
x23
W”
a”
A”
n”
1”
2”
A’”
AIV
W”’=m’”=1’”
x12
a”=p’”=x34
2’
2’”
1’
A’
pIV
WIV
p”
2IV
p’
n’
a’
w’
Przekroje wielościanów płaszczyzną rzutującą
W”
g”
e”
P”
S”
Q”
A”
E”
R”
S”
R’
C”
D”
D’
P”
B”
Q’
E’
A’=C’
B’
W’