Algebra Liniowa

Algebra Liniowa
Twierdzenie. Każdą funkcję wymierną właściwą
Zestaw 3 Rozkład na ułamki proste
można przedstawić jako sumę ułamków prostych
i rozkład ten jest jednoznaczny.
3.1 Rozłożyć wielomian na czynniki nierozkładalne:
Jeśli mianownik zawiera czynnik (x−a)k to w poszukiwanym rozkładzie odpowiada mu suma skład-
a) w(z) = z 6 − 64 w C i w R,
ników:
b) w(z) = z 4 + 6z 2 + 25 w C i w R,
c) w(z) = z 4 − 5z 3 + 5z 2 + 5z − 6 w C i w R,
d) w(z) = z 4 + 7 − 24j w C.
A2
A1
Ak
+
+ .. +
.
2
(x − a) (x − a)
(x − a)k
Jeśli w mianowniku występuje czynnik (x2 + px +
3.2 Rozłożyć funkcję wymierną na ułamki proste q)k to w poszukiwanym rozkładzie odpowiada mu
nad R
suma składników:
3x2 −6x−4
a) f (x) =
x3 −3x2 −4x+12
b) f (x) =
x3 +x2 +6x+6
x4 +5x3 +7x2 +5x+6
c) f (x) =
x5 +5x4 +4x3 −9x2 −3x+10
(x+2)6
d) f (x) =
3x5 −3x2 +2x−1
e) f (x) =
x5 +7x4 +20x3 +18x2 −11x−25
(x2 +2x+2)(x2 +4x+5)2
f) f (x) =
x3 +10x2 +9x−46
B2 x + C2
B1 x + C1
Bk x + Ck
+ 2
+..+ 2
.
2
2
(x + px + q) (x + px + q)
(x + px + q)k
Metoda współczynników nieoznaczonych:
1. Piszemy rozkład na sumę ułamków prostych
(x2 +x+1)3
przy czym liczniki ułamków są nieoznaczone (nieznane współczynnki, niewiadome).
(x+5)2 (x2 +2x+2)
3.3 Rozłożyć funkcję wymierną na ułamki proste 2. Sprowadzamy wszystkie ułamki do wspólnego
nad C
mianownika i dodajemy je.
a) f (x) =
2x
x2 +1
c) f (x) =
2x3
b) f (x) =
2
x2 +1
3. Licznik powstałego w ten sposób ułamka (z niewiadomymi współczynnikami) przyrównujemy do
x4 −1
Odpowiedzi 3.2.
licznika rozkładanego ułamka ⇒ współczynniki
1
a) x−2
przy odpowiednich potęgach muszą być równe.
+
1
x+2
b) f (x) =
c)
1
x+2
−
1
x−3
+
1
x2 +1
5
(x+2)2
−
2
x+2
+
4
(x+2)3
d) f (x) =
3x−6
x2 +x+1
e) f (x) =
x−1
x2 +2x+2
f) f (x) =
2
(x+5)2
3.3 a) f (x) =
b) f (x) =
−j
x−j
c) f (x) =
1
x−j
+
+
1
x−j
+
+
3
x+3
+
4. Rozwiązujemy powstały układ.
7
(x+2)4
3x+6
(x2 +x+1)2
+
+
1
(x+2)5
2x−1
(x2 +x+1)3
2x
(x2 +4x+5)2
−
4
(x+2)6
W szczególnym przypadku, gdy mamy rozkład
f (x)
A1
A2
Ak
=
+
+
..
+
.
g(x)
(x − a1 ) (x − a2 )2
(x − ak )k
x−2
x2 +2x+2
to f (x) = A1 (x − a2 )..(x − ak ) + .. + Ak (x −
1
x+j
a1 )..(x − ak−1 ). Wstawiając do f (x) kolejne war-
+
+
j
x+j
+
1
x+j
tości ai otrzymujemy A1 , .., Ak .
+
1
x−1
+
1
x+1