grupa 1 - Lubsko

Wydział Matematyki, Informatyki i Ekonometrii
Uniwersytet Zielonogórski
V REGIONALNE MISTRZOSTWA MATEMATYCZNE
LUBSKO 2013
GRUPA 1
Zad. 1 Długości krawędzi prostopadłościanu, wyrażone w centymetrach, są liczbami całkowitymi
dodatnimi. Oblicz, jaką objętość może mieć ten prostopadłościan, jeżeli jedna ze ścian ma pole
18 cm2 , a druga 45 cm2 .
Zad. 2 Dany jest kwadrat ABCD. Wewnątrz tego kwadratu zaznaczamy punkt E, który jest
wierzchołkiem trójkąta równobocznego CDE. Oblicz miarę kąta AEB.
Zad. 3 W pudełku jest 7 kart z cyframi od 1 do 7, każda na innej karcie. Adam wybiera losowo
trzy karty z pudełka. Piotrek z pozostałych wybiera losowa dwie. Adam mówi: „Wiem, że suma
liczb na Twoich kartach jest parzysta”. Ile jest równa suma liczb na kartach Adama? Odpowiedź
uzasadnij.
Zad. 4 Na dwóch stacjach kolejowych było 135 wagonów. W tym samym czasie, gdy z pierwszej
stacji przetoczono 45 wagonów na drugą, to z drugiej przetoczono 36 wagonów na pierwszą. Wtedy
na pierwszej stacji było 1,5 raza więcej wagonów niż na drugiej. Oblicz, ile wagonów było na każdej
stacji na początku.
Zad. 5 Oblicz wartość wyrażenia
q √
3
( a)3 · a ·
√
a dla a = 2013.
Wydział Matematyki, Informatyki i Ekonometrii
Uniwersytet Zielonogórski
V REGIONALNE MISTRZOSTWA MATEMATYCZNE
LUBSKO 2013
GRUPA 2
Zad. 1 Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny o przyprostokątnej długości 4 cm. Na bokach
tego trójkąta na zewnątrz niego zbudowano kwadraty. Oblicz odległości między środkami tych
kwadratów.
Zad. 2 W trójkącie ABC bok AB jest dłuższy od boku AC. Na boku AB obrano punkt D taki,
że |AD| = |AC|. Wiadomo, że dwusieczna kąta BDC jest równoległa do prostej AC. Udowodnij,
że trójkąt ACD jest równoboczny.
Zad. 3 Na wycieczkę wybrało się 48 chłopców. Sześciu z nich pojechało dokładnie z jednym
bratem, dziewięciu – dokładnie z dwoma braćmi, a czterech – dokładnie z trzema braćmi. Pozostali
chłopcy pojechali bez rodzeństwa. Oblicz, z ilu rodzin było tych 48 chłopców.
Zad. 4 W skrzynce było tyle jabłek, że można było je zapakować do pięciu siatek po 8 jabłek
i kilka jabłek zostało, ale nie na tyle, żeby zapakować szóstą siatkę. Natomiast w sześciu skrzynkach
było tyle jabłek, że można było je zapakować do 33 siatek po 8 jabłek i kilka jabłek zostało, ale nie
na tyle, żeby zapełnić trzydziestą czwartą siatkę. Ile jabłek było w jednej skrzynce? Uzasadnij.
Zad. 5 Wiedząc, że a =
√
2013, znajdź liczbę odwrotną do liczby:
a
a
− 1) · (1 +
) · (1 +
1+(
2013
2013
r
r
a
).
2013
Wydział Matematyki, Informatyki i Ekonometrii
Uniwersytet Zielonogórski
V REGIONALNE MISTRZOSTWA MATEMATYCZNE
LUBSKO 2013
GRUPA 3
Zad. 1 Kulę metalową o promieniu R przetopiono na 2013 małych kulek o promieniu r. Oblicz
stosunek sumy pól powierzchni 2013 małych kulek do pola powierzchni dużej kuli.
Zad. 2 W trójkącie prostokątnym ABC kąt przy wierzchołku A ma miarę 30◦ . Przez środek
D przeciwprostokątnej AB prowadzimy prostą prostopadłą, która przecina przyprostokątną AC
w punkcie E. Udowodnij, że |DE| = |EC|.
Zad. 3 W klasie jest 27 uczniów. Każdy uczeń uprawia przynajmniej jedną z trzech dyscyplin
sportowych: piłkę nożną, pływanie lub tenis. Największa liczba uczniów uprawia pływanie, a najmniejsza tenis. W piłkę nożną gra 15 uczniów. Dwoje uprawia tenis i piłkę nożną; czworo uprawia
pływanie i piłkę nożną; troje uprawia tenis i pływanie; tylko jeden uczeń spośród nich uprawia jednocześnie trzy wymienione dyscypliny sportowe. Ilu uczniów uprawia tylko jedną dyscyplinę sportu
– pływanie? Uzasadnij.
Zad. 4 Znajdź wszystkie liczby trzycyfrowe, podzielne przez 45, których cyfry są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.
Zad. 5 Rozwiąż nierówność:
1
x
√
x2 + 2x + 1 6 1.