Rozkład pola electro- magnetycznego (e

Technika światłowodowa
Rozkład pola electromagnetycznego (e-m) w
światłowodzie
Równanie falowe
Równanie Maxwella
∂ µH
∂t
∂ εE
∇ H=
∂t
∇ • εE =
∇ • µH =
∇ E=−
Operatory matematyczne
E – wektor pola elektrycznego,
H – wektor pola magnetycznego, ∇ A - curl (rotacja)
∇ • A - div (dywergencja)
Stałe materiałowe:
∇•A =
∇ A≠
– przenikalność magnetyczna ∇ A =
przenikalność elektryczna
Równania Maxwella dla pola oscylującego z częstością
kołową
Ert =
Es r
jωt
Hrt =
Hs r
jωt
∇ E s = − jωµH s ∇ • εE s =
∇ H s = jωεE s
∇ • µH s =
– rozkład oscylującego pola e-m
– równania Maxwella dla
oscylującego pola e-m
TS-EM 2
Równanie falowe
Założenia: ośrodek o stałym
współczynniku załamania n,
Równania Maxwella dla
oscylującego pola
wektorowego e-m
E = iE x + jE y + kE z
n=const.
r=n
2=const
Równanie falowe dla elektrycznego oscylującego pola wektorowego
Operatory matematyczne
∇ E+k E=
∇ =
∂
∂
∂
+
+
- Laplasjan
∂ x ∂ y ∂ z
Równanie falowe dla falowodu (światłowodu)
X
! Pole e-m nie zanika podczas propagacji w
kierunku z tylko wtedy gdy jest niezmienne
Z
E=E x y
− jβ z
∂E
= const = − jβ
∂z
MOD: pole e-m niezmienne podczas propagacji
TS-EM 3
Równanie falowe: Równanie falowe dla falowodu (światłowodu) cd.
λ =
λ
n
E=E x y
1<
λ
n
E=E x y
πjz
λ
−
Rozkład pola e-m dla falowodu (światłowodu)
E=E x y
c
c =
n
n2
X
β=
n1
πjz
−
λ
Z
k
c
n
– stała propagacji
– efektywny
współczynnik załamania
dla światłowodu
Z
π
n
λ eff
β
neff =
c =
− jβ z
Równanie falowe dla falowodu (światłowodu):
∇ ⊥E + k
ε r − neff E =
ε r - przenikalność elektryczna
(oddzielnie dla rdzenia i płaszcza)
Dla światłowodu: n1
neff
n2
λ =
Operatory matematyczne
∇⊥ =
∂
∂
+
∂ x ∂ y
- Laplasjan
Wniosek: W światłowodzie rozchodzą się tylko mody okerślone przez
efektywny wspólczynnik załamania światłowodu neff
MOD: Pole e-m rozchodzące się z daną stałą propagacji (efektywnym
współczynnikiem załamania)
TS-EM 4
Opis modów światłowodu o skokowym rozkładzie współczynnika załamania
r
z
∇ ⊥E⊥ + k
n2-płaszcz
ε r − neff E⊥ =
(1)
Operator matematyczny dla współrzędnych
biegunowych
a
∇ = ∇⊥ +
n1-rdzeń
Wiemy, że:
∂
∂
∂
∂
∂
=
+
+
+
r ∂r r ∂θ
∂z
∂r
∂z
E=E r θ
Dlatego interesuje nas
− jβ z
E rθ =R r Θθ
(2)
Zakładamy taką postać pola
Podstawiając (2) do (1) otrzymujemy równanie:
∂ R r
∂R r

+
R r  ∂r
r ∂r

∂ Θθ
 +
+ k ε r − neff
 r Θ θ ∂θ
=
TS-EM 5
Opis modów światłowodu o skokowym rozkładzie współczynnika załamania
Dlatego:
r ∂ R r
∂R r 
+

 + r k ε r − neff
R r  ∂r
r ∂r 
=−
∂Θθ
Θ θ ∂θ
Obydwie strony są funkcją jednej zmiennej dlatego obie strony muszą być stałe:
Stąd otrzymujemy dwa równania:
∂ Θθ
+l Θ θ =
∂θ
i
∂ Rr
∂R r 
+
+  k ε r − neff
r ∂r
∂r

l
−
r

 R r =

Przypomnijmy: y’’+w2y=0
cdn.
Rozwiązaniem tego równania jest
funkcja oscylująca o pojedynczej
częstości:
Θθ =
lθ + φ
TS-EM-6
∂ Rr
∂R r 
l 
+
+  k ε r − neff −  R r =
r ∂r
∂r
r 

Równanie to należy rozważyć w dwu przypadkach:
Przypadek (1): ε r ≥ neff
Przypadek (2):
ε r ≤ neff
Co po
wprowadzeniu
parametrów
u =k
ε r − neff
>
w =k
neff − ε r
>
Daje równania:
Przypadek (1): ε r ≥ neff
Przypadek (2): ε r ≤ neff
∂ Rr
∂R r 
l 

+
+  u −  R r = (1)
r ∂r
∂r
r 

∂ Rr
∂R r 
l 
+
−  w +  R r =
r ∂r
∂r
r 

(2)
Równ. Bessela
i
zmodyfikowane
równ. Bessela
Ponieważ:
1 w całym światłowodzie fala w kierunku z porusza się zgodnie z eff. wsp.załam. neff
2 dla wielomodowego neff przyjmuje różne wartości dla różnych modów
3 ponieważ w światłowodzie εr1 > εr2 εr=n2
więc:
ε r ≥ neff ≥ ε r
i
n ≥ neff ≥ n
Stąd też: równania (1, 2 ) dotyczą: (1) – rdzeń, (2) - płaszcz
TS-EM-7
Rozwiązanie równań:
ur
ur

(1) - rdzeń
+
dla
r
<
a
AJ
BY
l
l

a
a
R r =
CK l wr + DI l wr dla r > a (2) - płaszcz

a
a
Gdzie:
Gdzie:
J i Y funkcje Bessela 1-go i 2-go
rodzaju stopnia l
K i D zmodyfikowane funkcje Bessela
pierwszego i drugiego rodzaju stopnia l
u = u a = k a ε r − neff
w = w a = k a neff − ε r
Sumując
u2
i
w2 otrzymujemy
Yl=1,2,3
bardzo ważny parametr:
0.1
V =u +w
V=
πa
εr − εr
λ
- Częstość znormalizowana
(mówiąca o ilości modów
dozwolonych w światłowodzie )
Przypomnijmy (apertura numeryczna): NA =
n −n
→V =
πa
NA
λ
0.2
0.3
0.4
0.5
-20
-40
-60
-80
-100
Ponieważ funkcje: Y – funkcja rozbieżna dla argumentu r
i funkcja I rozbieżna dla r = ∞
Il=1,2,3
100
80
60
Dlatego współczynniki B D muszą być równe zero i rozwiązanie
równania opisującego poprzeczny rozkład modów upraszcza się:
ur

AJ
dla r < a
 l a
R r =
CK l wr dla r > a

a
40
20
2
4
6
8
TS-EM-8
Równanie charakterystyczne:
Warunki brzegowe równania opisującego poprzeczny rozkład modów:
1. Ciągłość pola R na granicy ośrodków r a
R a−
=R a+
2. Ciągłość pochodnej pola R na granicy ośrodków r a
∂R r
∂R r
=
∂r a −
∂r a +
Równania opisujące warunki brzegowe mogą zostać zapisane
AJ l u − CK l w =
AuJ l u − CwK l w =
Powyższe równanie zapisane w postaci macierzowej
 J l u − Kl w
 A 


 uJ u − wK w  C  =
 l

l
Którego wyznacznik musi być równy 0 dając równanie charakterystyczne
uJ l u wK l w
=
Jl u
Kl w
u w są funkcją neff dlatego równanie charakterystyczne jest
funkcją neff; rozwiązaniem równania charakterystycznego są
liniowo spolaryzowane mody LP
MOD: pole e-m będące rozwiązaniem równania charakterystycznego
TS-EM-9
Równanie charakterystyczne: dokładna forma równania charakterystycznego
Pochodne funkcji Bessela są równe:
ν
ν
J v z = J v − z − Jν z i K v z = − K v − z − Kν z
z
z
Stąd dokładna postać równania charakterystycznego przyjmuje postać
uJ l − u wK l − w (1)
=
Jl u
Kl w
Częstość graniczna Vc
(minimalna wart. neff)
neff → n
Jeżeli w>>1 można udowodnić, że
wK l − w
→∞
Kl w
w→
więc także lewa strona równania (1)
uJ l − u
=
Jl u
u=
LP01
LPlm
uJ l − u
→∞
Jl u
Jl− u =
Vc =
Vc = jl −
stąd otrzymujemy warunek J l u →
mod LP01 zawsze
się propaguje
dając
u ≈ jl m
m
Podsumowując:
Mod LP01
Mod LP0m
Mod LPlm
≤u< j
j− m− ≤ u < j
jl −
m
m
≤ u < jl m
Warunek podany
bez
wyprowadzenia TS-EM-10
Dyskusja: liczba modów
3
4
5
6
3.83
2.40
3.83
5.14
6.40
7.60
8.77
9.94
7.01
5.52
7.01
8.40
9.70
11.00
12.30
13.60
13.00
14.40
15.70
17.00
8.65
13.30
11.80
13.30
14.80
16.20
17.60
19.00
20.30
16.50
14.90
16.50
18.00
19.40
20.80
22.20
23.60
LP01 – istnieje zawsze (v>0) – światłowód jedno modowy dla v < 2.4
LP11: v >= 2.40;
LP21: v >= 3.83;
LP52: v>= 11.00
LP02: v >= 3.83;
LP03: v >= 7.01;
Przypomnijmy:
Mod LP01
Mod LP0m
Mod LPlm
Przykład: Rozkłady modowe dla światłowodu a=4.5um,
V =
j−
≤ u < j
m− ≤ u < j
jl −
m
≤ u < jl
m
m
um, n1=1.4645, n2=1.45
W takim światłowodzie jest prowadzonych jest 13 modów:
LP0,1;0,2;0,3, LP1,1;1,2;1,3, LP2,1;2,2, LP3,1;3,2, LP4,1, LP5,1, LP6,1
Mod LP01 odpowiada modowi TM00
TS-EM-11
Rys. 1
Dyskusja: rozkład pola modów
wK l− w
Kl w
Jaka jest wartość neff
uJ l − u wK l − w
=
Przypomnijmy:
Jl u
Kl w
uJ l − u
Jl u
LP11
w
Rys. 1 Graficzne rozwiązanie równania
charakterystycznego V=4,
Rys. 2 Przykładowe rozkłady polaKawano V=20
Kawano K., Kitoh T. Introduction to optical waveguide
analysis (Wiley, 2001)
u
LP5,2
Rys. 2
MOD: pole e-m opisane przez przez stałą
propagacji (effekt. wsp. załamania) będącą
rozwiązaniem równania charakterystycznego
LP01
LP2,2
TS-EM-12
Dyskusja: duże wartości V
Liczba modów (poszukujemy liczbę pierwiastków funkcji Jl-1 u
Dla x>>1 funkcja Bessela Jl może być aproksymowana przez
π
 

Jl x ≈  
x
−
l
+
x >>


 πx 


Stąd rozkład pierwiastków modu l w przybliżeniu jest opisany przez
xlm − l − +
π
=
m+
π
dając
xlm = l + m
π
Dla danej liczby l liczba modów Ml jest opisana równaniem
V l
π
dając
Ml = −
l + Ml
=V
π
Stąd stosując graficzne rozwiązanie:
(1)* l
Ml =
Min. l. modów Ml
(2)*
V
π
0
M l= =
(1)* Dla modu l
(2)* Dla modu l
V
π
V
π
− m
Co daje:
l=
l=
m
Max. l. modów Ml
Przykład (typowy światłowód):
n1 =1.452; n2= 1.43748
l. polaryz. l>0 i l<0
M≈
⋅
M≈
V
π
V
π
V/π 1-sze miejsce zerowe jest tak oddalone, e nie wyst puje ju
występuje największa liczba modów
NA =
V≈
aden mod tego rz du
TS-EM-13
Dyskusja: duże wartości V
Stała propagacji:
Można udowodnić że dla V>>1, stałą propagacji opisuje równanie


+ m
β lm = n k  −
∆
M
 Przypomnijmy: dla analizowanej

liczby modów
V
π
≤l+ m≤
= M
l + Ml
=V
∆=
n −n
n
π
stąd n k ≤ β lm ≤ n k
Efektywny współczynnik załamania Przypomnijmy: neff =
stąd
stąd
neff
lm
n ≤ neff

=n  −

lm
β
k

+ m
∆
M

≤n
Możemy udowodnić, że prędkość grupowa


dϖ
l+ m
gdzie c1 jest prędkością fazową w rdzeniu
≈c  −
∆
υl m =
dβlm
M


stąd c ≤ υlm ≤ c − ∆
MOD: pole e-m poruszające się z określoną dla danego modu prędkością fazową
TS-EM-14
Przykład analizy światłowodu wielomodowego wykorzystując komercyjne oprog. FEMLAB
Kolejne kroki :
1 Rysowanie światłowodu wraz z
oznaczeniem materiału
2 Ustawienie długości fali
Światłowód: a=4um,
n2=1.43748
Options and Settings
• In the Application Scalar Variables dialog
box,
ω0=c0*k0=2*pi/sqrt(epsilon0*mu0)/0.6328e-6
3 Inicjalizacja siatki obliczeniowej
Mesh Mode
• Initialize the mesh.
• Refine the mesh once.
3 Ustawienia szukanych stałych propagacji
nk =
<β < n k =
• Open the Solver Parameters dialog box.
• On the Eigenvalue page, set the Search strategy to All
prop. constants in search
range, and set the search range to
[1.427751061549875e7 1.442172789444318e7].
This serach interval will make sure we find the eigenmodes
in the upper part of the possible interval.
TS-EM-15
Analiza wyników
Rozkład pola elektrycznego (Ex) dla
Otrzymane stałe propagacji i
beta(2)=14407249.7973, electric field (Ex)
βlm
1
1,44073E+07
1,45101
2
1,43922E+07
1,44949
3
1,43723E+07
1,44748
4
1,43655E+07
1,44680
5
1,43482E+07
1,44505
6
1,43349E+07
1,44371
7
1,43202E+07
1,44223
8
1,43005E+07
1,44025
9
1,42950E+07
1,43970
10
1,42886E+07
1,43905
Ex
Numer
modu
Rozkład pola elektrycznego (Ex) dla
Ex
beta(32)=14288550.8013, electric field (Ex)
TS-EM-16
Analiza światłowodu jednomodowego
Przypomnijmy, rozkad modu podstawowego LP0,1 (HE11) jest dany:
 ur
dla r < a
 J a
E r θ ∝
 K wr dla r > a

a
Jako że w światłowodzie propagują się obie polaryzacje to rozkłady pola e-m są
opisane:
 ur
 J a
Z
Ex =
Hy ∝ 
n
 K wr

a
Gdzie stała
Z =
dla r < a
dla r > a
i
 ur
J

Z

a
Ey =
Hx ∝ 
n
 K wr

a
dla r < a
dla r > a
ε
µ
Przypomnijmy energia pola e-m jest równa 0.5 części rzeczywistej wektora Pointinga:
P=


 E×H 


TS-EM-17
Analiza światłowodu jednomodowego
Dlatego, moc pola e-m niesiona w kierunku z przez mod podstawowy
∞ 2π
Pt = ∫ ∫ E x H*y r dr dϕ
0 0
Aby obliczyć moc Pt najpierw należy rozwiązać równanie charakterystyczne a
następnie należy podstawić równania opisujące rozkłady pola e-m
Otrzymane równanie można rozwiązać numerycznie bądź zastosować przybliżenie
za pomocą funkcji Gaussa
TS-EM-18
Aproksymacja funkcją Gaussa
Przypomnijmy:
V=
πa
εr − εr
λ
Porównanie rozkładów natężenia pola modu podstawowego obliczonych wg
dokładnych wzorów dla trzech długości fali – linia ciągła, wg funkcji Gaussa – linia
przerywana.
Z porównania przebiegu funkcji na rysunku zauważymy zbieżność rozkładu
natężenia pola dla V = 2,4 otrzymaną z rozwiązania i przybliżenia funkcją
Gaussa. Ogólnie przybliżenie funkcją Gaussa jest poprawne dla
≥
TS-EM-19
Moc prowadzona w rdzeniu światłowodu jednomodowego
Wykres stosunku mocy optycznej
w rdzeniu (P) i w płaszczu (Pc)
światłowodu w zależności od długości
fali λ (wg L.Jeunhomme’a).
V>2.4
Dla długości fali λ = λc około 90% mocy rozchodzi się w rdzeniu światłowodu.
TS-EM-20
Przykład analizy światłowodu jednomodowego wykorzystując komercyjne oprog. FEMLAB
Przeanalizujmy światłowód jednomodowy zaprojektowany dla 0.55um i
wykorzystany dla 0.450um i 0.650um
Przypomnijmy
V=
Dane światłowodu
πa
NA
λ
V=2.3
n =
NA = n − n
∆=
n −n
n
[β
β
λ
[nm]
n1
n2
k
550
1.452
1.43748
1.142e+7
650
1.452
1.43748
450
1.452
1.43748
]
V
NA
a
[1.642e+7 1.659e+7]
2.3
0.20483
0.98e-06
9.666e+6
[1.390e+7 1.404e+7]
1.95
0.20483
0.98e-06
1.396e+7
[2.007e+7 2.027e+7]
2.81
0.20483
0.98e-06
DANE SWIATLOWODU JEDNOMODOWEGO DO SYMULACJI
TS-EM-21
Przykład analizy światłowodu jednomodowego wykorzystując komercyjne oprog.
FEMLAB
Pr
w rdzeniu
Pp
w płaszczu
Pr/PC
P(550)
7.23
1.73
0.81
P(650)
7.24
2.79
0.72
P(450)
7
0.97
0.88
Moc prowadzona przez mod podstawowy LP01 w światłowodzie o 2.3 zaprojektowanym dla dł.
fali 0.55 um i wykorzystanym dla dł. Fali 0.45 i 0.65 um
TS-EM-22
Światłowody gradientowe
Dlaczego?
Światłowody gradientowe pozwalają na zmniejszenie rozszerzenia impulsu
podczas propagacji w światłowodzie wielomodowym.
Dla światłowodu gradientowego zmniejszona jest prędkość grupowa
odpowiadająca za modowe rozszerzanie się impulsu w zastosowaniach
telekomunikacyjnych
Rozkład współczynnika załamania
światłowodu gradientowego
p

r 
n r = n  −   ∆ r < a
 a  

n −n
∆=
n
n −n
≈
n
Rys. Rozkład współczynnika załamania w
światłowodzie wielomodowym dla różnych wartości p*
* B. Saleh, M. Teich „Fundamentals of Photonics”
TS-EM-23
Porównanie światłowodu skokowego i gradientowego
Liczba modów
Światłowód gradientowy
Światłowód skokowy
p→∞
p V
M≈
p+
M≈
V
Przypomnijmy:
Poprzednia
przybliżona zależność
M≈
Stała propagacji
Światłowód gradientowy
p


p+
q


Bq ≈ n k  −   ∆ 

 M 


π
V
Światłowód skokowy
p→∞
β lm
Zależność ta jest
q  identyczna z

≈ n k  − ∆  zależnością otrzymaną
 M 
poprzednio
Rys. Stała propagacji dla światłowodu skokowego i optymalnego gradientowego (p=2)
* B. Saleh, M. Teich „Fundamentals of Photonics” TS-EM-24
Prędkość grupowa
światłowód w telekomunikacji
minimalny zakres prędkości grupowych
Prędkość grupowa
Światłowód gradientowy
Światłowód skokowy
p


p→∞
q 

p
+
−
dϖ
p
q


q=
M
υ
≈
c
−
∆

q
≈c  −
υq =
  ∆  (1)
 M 
 p+ M 

dβ q


Jaka wartość p aby dla optymalnego światłowodu gradientowego dla zastosowań w
telekomunikacji?
Podstawiając p=2 w przybliżonym równaniu (1) otrzymamy stałą prędkość grupową c1
dla wszystkich modów
Prowadząc dokładniejsze obliczenia otrzymujemy dokładniejszą zależność na
prędkość grupową υq dla optymalnego profilu światłowodu gradientowego p=2

q ∆ 


υq ≈ c  −
 M
TS-EM-25
Prędkość grupowa
Przypomnijmy

q ∆ 


υq = c  −
 M
Rys. Prędkość grupowa dla światłowodu skokowego i optymalnego gradientowego (p=2)
Zakres prędkości grupowych
Optymalny światłowód gradientowy (p=2)
 ∆
c  −


 ÷ c

Światłowód skokowy
c
(
− ∆) ÷ c
W porównaniu z światłowodem o profilu skokowym różnica prędkości grupowych
zmniejsza się dla światłowodu gradientowego o profilu
∆
Dla p=2 liczba modów światłowodu gradientowego zmniejsza się 2 krotnie
porównaniu z światłowodem skokowym
* B. Saleh, M. Teich „Fundamentals of Photonics” TS-EM-26
Polaryzacyjne właściwości światłowodów
Przypomnijmy
Światłowód jednomodowy tak naprawdę nie jest jednomodowy ponieważ propagują się
w nim dwa wzajemnie ortogonalne mody LP01X i LP01Y, mające wzajemnie prostopadłe
polaryzacje. Oba te mody są wzajemnie nierozróżnialne.
Motywacja
-Coraz dłuższe linie światłowodowe osiągalne przez światłowody jednomodowe
(coraz to większa liczba elementów dla jednej gałęzi światłowodowej –
wzmacniacze światłowodowe, złącza…)
-Coraz to większa szybkość transmisji nawet dla krótkich połączeń
światłowodowych,
-Coraz ważniejsza staje się koherentna optyczna telekomunikacja wykorzystująca
techniki interferencyjne
Dlatego stają się ważne:
- straty związane z polaryzacyjnymi właściwościami światłowodu
- zmiana stanu polaryzacji wiązki podczas propagacji
TS-EM-27
Efekty polaryzacyjne w rzeczywistym światłowodzie
(LP01X)
(LP01Y)
I. P. Kaminow, t. L. Koch: Optical fiber telecommunications TS-EM-28
Efekty polaryzacyjne w rzeczywistym światłowodzie
W rzeczywistym światłowodzie współczynniki załamania dla obu modów LP01X i LP01Ysą
różne dla obu spolaryzowanych. Dlatego też definiuje się efektywną dwójłomność
światłowodu:
∆neff = nx − n y
Dla danej wartości parametru oba mody wymieniają się mocą na drodze LB zwanej
drogą dudnień:
λ
LB =
∆neff
Rys. Ilustracja drogi zdudnień
I. P. Kaminow, t. L. Koch: Optical fiber telecommunications
TS-EM-29
Efekty polaryzacyjne w rzeczywistym światłowodzie dla długich połączeń
światłowodowych
I. P. Kaminow, t. L. Koch: Optical fiber telecommunications
TS-EM-30
Światłowód utrzymujący stan polaryzacji
Aby utrzymać stan polaryzacji stosujemy światłowody o efektywnej dwójłomności
znacznie przewyższającej polaryzacyjne efekty przypadkowe w światłowodzie. Wtedy
otrzymujemy światłowód o dwóch stałych propagacji znacznie się różniących, które
niwelują przypadkowe efekty dwójłomności.
Światłowody typu „panda” (bow-tie) w procesie wyciągania
światłowodu wprowadza się do szkło borokrzemiankowe (borosilicate)
- materiał o innycch parametrach fizycznych
Rys. Wprowadzanie dwójłomności w światowidach *
Otrzymywanie dwójłomności w światłowodach:
-stosowanie eliptycznych rdzeni: otrzymywana dwójłomność rzędu 10-6,
-celowe wprowadzenie naprężeń: otrzymywana dwójłomność rzędu 10-4,
*P. L. Kelley, i. P. Kaminow g. P. AGRAWAL: Nonlinear fiber optics TS-EM-31
Światłowód utrzymujący stan polaryzacji
Dla światłowodu typu „bow tie” („panda”)
typowa droga dudnień wynosi 1 m, a dla silnie
dwójłomnych nawet 1 cm ( ∆neff rzędu 10-4)
W celu utrzymania stanu polaryzacji do
światłowodu wprowadzamy wiązkę
spolaryzowaną zgodnie z szybką albo wolną
osią światłowodu
Rys. Efektywna dwujłomność dla różnych światłowodów
utrzymujących stan polaryzacyjnych w funkcji szerokości
materiału wprowadzającego dwójłomność d *
*P. L. Kelley, i. P. Kaminow g. P. AGRAWAL: Nonlinear fiber optics
TS-EM-32
Pytania na kolokwium zaliczające
1. Światłowody gradientowe
2. Światłowody polaryzacyjne
3. Znając równanie falowe dla światłowodu dla współrzędnych
biegunowych wyprowadzić równanie charakterystyczne i równanie
opisujące rozkład modów poprzecznych światłowodu
∂ R r
∂R r 
∂ Θθ

 +
+
+ k ε r − neff =
R r  ∂r
r ∂r  r Θ θ ∂θ
4. Znając równanie charakterystyczne wyprowadzić warunek aby w
światłowodzie był propagowany jedynie mod podstawowy LP01 (TM00)
uJ l u wK l w
=
Jl u
Kl w
5. Omówić pojęcia: mod światłowodu, efektywny współczynnik
załamania