Zapisz jako PDF

Bryła sztywna
Bryła sztywna
Układ wielu ciał
Układ wielu ciał
Rozważaliśmy już poprzenio zagadnienie ruchu układu wielu ciał (w inercjalnym układzie
odniesienia).
Zdefiniowaliśmy
masę układu
położenie środka masy:
Do opisu ruchu układu jako całości możemy wprowadzić
pęd układu
energię kinetyczną układu jako całości
gdzie
oznacza energię "wewnętrzna" (energię kinetyczną związaną z ruchem elementów układu
względem siebie)
moment pędu układu
gdzie
oznacza "wewnętrzny" moment pędu
W oparciu o te pojęcia możemy opisać ruch układu jako całości stosując równania ruchu punktu
materialnego:
Natomiast ruch względny ciał układu może być (w ogólnym przypadku) bardzo skomplikowany...
Definicja
Bryła sztywna
Szczególnym przypadkiem układu wielu ciał jest układ, w którym względne odległości między
poszczególnymi elementami układu są stałe:
Układ taki możemy nazywać bryłą sztywną.
Na ogół ciałem sztywnym nazywamy ciało makroskopowe, które nie podlega deformacjom (lub
występujące deformacje są pomijalnie małe). Zakładamy, że wszystkie punkty mają względem siebie
stałe odległości.
Położenie
Aby jednoznacznie określić położenie bryły sztywnej w przestrzeni nie wystarczy (w ogólnym
przypadku) podać wektor położenia jej środka masy.
Spróbujmy określić ile parametrów potrzebnych jest do opisania jej położenia. Aby "unieruchomić"
bryłę sztywną musimy podać:
położenie wybranego punktu tego ciała np. środka masy
opisują je 3 parametry (stopnie swobody), np. współrzędne x,y,z
położenie drugiego wybranego punktu tego ciała
ponieważ odległość między dwoma punktami jest ustalona wystarczą do tego 2 parametry
(położenie na sferze)
położenie trzeciego punktu, niewspółliniowego z poprzednimi
przy ustalonej pozycji pierwszych dwóch punktów bryła może jedynie obracać się wokół
przechodzącej przez nie osi - położenie określa 1 parametr (położenie na okręgu)
Po ustaleniu położenia trzech niewspółliniowych punktów bryły wszystkie kolejne będą już miały
ustaloną pozycję (zadaną przez wzajemne odległości).
Położenie bryły sztywnej opisuje wiec 6 parametrów (mamy 6 stopni swobody): 3 współrzędne i 3
kąty.
Opis ruchu
Złóżenie ruchów
Ogólny ruch (zmianę położenia) można przedstawić jako złożenie ruchu postępowego oraz ruchu
obrotowego.
W ruchu postępowym wektory prędkości są takie same dla wszystkich punktów ciała.
W ruchu obrotowym wszystkie punkty poruszają się po okręgach wokół wybranej osi obrotu
(najczęściej jest nią środek masy ciała).
Prędkość każdego punktu bryły można zapisać w postaci
gdzie
jest prędkością środka masy, a
prędkościa kątową w ruchu obrotowym wokół środka masy.
Chwilowa oś obrotu
Chwilowa oś obrotu
Czasami złożenie ruchu postepowego i obrotowego można przedstawić jako ruch obrotowy
względem chwilowej osi obrotu.
Jeśli
wtedy możemy zapisać:
gdzie
określa położenie chwilowej osi obrotu (zmienne w czasie!)
Więzy
Ruch bryły sztywnej w ogólnycm przypadku także opisuje 6 parametrów (np. prędkość środka masy i
prędkość kątowa w układzie środka masy)
W wielu zagadnieniach ruch bryły sztywnej jest jednak ogranicznony przez więzy, które redukują
liczbę stopni swobody.
Przykładowo:
koło obracające się na nieruchomej osi ⇒ jeden stopień swobody (kąt obrotu)
walec toczący się bez poślizgu ⇒ jeden st. swobody (kąt obrotu lub przesunięcie)
walec toczący się z poślizgiem ⇒ dwa stopnie swobody (kąt obrotu i przesunięcie)
kulka toczące się bez poślizgu ⇒ trzy stopnie swobody (trzy składowe )
W rozwiązywaniu zagadnień kluczowe jest zrozumienie jakie są stopnie swobody Obecność więzów
oznacza też obecność sił reakcji więzów...
Statyka
Warunek równowagi
Bryła sztywna pozostaje nieruchoma, wtedy i tylko wtedy, gdy działające na nią siły i momenty sił
równoważą się:
Przy czym jeśli wypadkowa sił zewnętrznych znika,
każdej osi jest taki sam:
, to wypadkowy moment sił względem
Wystarczy sprawdzić warunek równowagi względem jednej osi
Siłami z którymi naogół bedziemy mieli do czynienia w zagadnieniach równowagi bryły sztywnej są
siła ciężkości i siły reakcji więzów.
Rodzaje równowagi
Nawet jeśli warunek
jest spełniony, równowaga może być:
Nieznaczne (infintezymalne) wychylenie bryły z położenia równowagi powoduje w przypadku
równowagi
trwałej
pojawienie się siły wypadkowej (momentu siły) przywracającej równowagę
obojętnej
zmianę położenia równowagi
chwiejnej
pojawienie się siły wypadkowej zwiększającej wychylenie
Przykład I
Warunkiem równowagi trwałej dla wielościanu (ustawionego na poziomej powierzchni, pod
działaniem siły ciężkości) jest aby pion wypuszczony ze środka ciężkości przechodził przez podstawę.
Gdy pion przechodzi przez podstawę mamy równowagę trwałą
Moment siły ciężkości "dociska" bryłę do powierzchni.
Gdy pion wychodzi poza obrys podstawy mamy do czynienia z brakiem równowagi
Moment siły ciężkości wywraca bryłę
Przykład II
Dwu-stożek położony na nierównoległych szynach:
Gdy szyny są poziome, stożek będzie się poruszał w kierunku szerszego końca.
Szyny stykają się ze stożkiem wzdłuż łuku elipsy z osią stożka (środkiem masy) w jednym z ognisk.
Siła ciężkości i reakcji szyn się równoważą, ale wypadkowy moment sił nie będzie zerowy.
Równowagę obojętną osiągniemy gdy szyny będą pochylone pod odpowiednim kątem (szerszy koniec
wyżej)
Oś stożka pozostaje cały czas na tej samej wysokości (
)
Rodzaje równowagi a energia
Równowagę bryły na którą działa siła ciężkości i siły reakcji można sklasyfikować obserwując
położenie środka masy (czyli zmiany energi potencjalnej).
Nieznaczne (infintezymalne) wychylenie bryły z położenia równowagi powoduje:
równowaga trwała
podniesienie środka masy i wzrost energii potencjalnej
równowaga obojętna
brak zmian położenia środka masy
równowaga chwiejna
obniżenie środka masy i zmniejszenie energii potencjalnej
Zmiana położenia środka masy, przy wychyleniu z położenia równowagi, zależy od kształtu bryły, ale
także od charakteru więzów.
Np: równowaga kuli zależy od kształtu powierzchni na której leży
Typ równowagi zależy od zmiany położenia środka masy (
)
Kryterium zmiany położenia środka masy (zmiany energii potencjalnej) ma zastosowanie także w
bardziej ogólnych przypadkach.
Przykład: sześcian ustawiony na kuli
Położenie środka masy sześcianu (nad środkiem kuli) wyraża się zależnością
Przy wychyleniu punkt podparcia sześcianu przesunie się o
Uzyskujemy więc
W przybliżeniu małych kątów (
,
)
Równowaga będzie trwała jeśli człon kwadratowy w kącie wychylenia będzie dodatni (wzrost
energii), czyli dla
Prawa ruchu
Obrót wokół ustalonej osi
Dla bryły sztywnej obracającej się wokół ustalonej osi mement pędu (skalarnie):
gdzie
jest prędkością kątową, a
opisuje odległość masy od osi obrotu,
jest momentem bezwładności względem wybranej osi.
Ruch jednostajnie przyspieszony
Pod wpływem stałego momentu siły
:
Bryła obraca się ze stałym przyspieszeniem kątowym (
)
Przyjmując, że moment bezwładności jest stały ( =const) bryła będzie się obracać ruchem
jednostajnie przyspieszonym.
Podobnie jak w przypadku ruchu postępowego
przyspieszenie kątowe jest proporcjonalne do przyłożonego momentu siły
zwiększenie siły lub zwiększenie jej ramienia powoduje wzrost przyspieszenia
przyspieszenie kątowe jest odwrotnie proporcjonalne do momentu bezwładności
zwiekszenie masy lub zwiększenie jej odległości od osi obrotu powoduje zmniejszenie
przyspieszenia
Ruch harmoniczny
Pokaz
Moment siły zależy od kąta skręcenia pręta :
gdzie
- współczynnik "sprężystości"; moment siły ma znak przeciwny do skręcenia.
Moment siły możemy też wyrazić poprzez przyspieszenie kątowe:
Przyrównując otrzymujemy równanie oscylatora harmonicznego:
Częstość drgań:
W ramach pokazu pokazano, że częstość maleje (okres rośnie) przy wzroście masy lub wzroście
odległości od osi obrotu.
Moment bezwładności
Przyspieszenie kątowe w ruchu bryły sztywnej zależy nie tylko od masy całkowitej, ale także od jej
rozłożenia względem osi obrotu.
Rozkład masy względem wybranej osi obrotu (najczęściej przechodzącej przez środek masy, ale nie
koniecznie) opisuje moment bezwładności
W przypadku ciągłego rozkładu masy sumę zastępujemy całką po objętości:
Dla ciała jednorodnego ( = const =
) można to również zapisać w postaci:
gdzie
jest średnim kwadratem odległości od osi obrotu.
Tymsamym stosunek momentu bezwładności do masy zależy tylko od kształtu i rozmiarów ciała:
Dla wielu brył stosunek ten możemy wyznaczyć z prostych rozważań geometryczntych.
Obręcz (pusta w środku)
obrót wokół osi symetrii
Wszystkie punkty równoodległe od osi:
obrót wokół średnicy
Oznaczmy oś obrotu jako oś X, a średnicę prostopadłą do osi obrotu jako oś Y
Z definicji obręczy i symetrii mamy:
i
Możemy zatem wyznaczyć średni kwadrat odległości od osi
Sfera (powierzchnia kuli)
obrót wokół osi symetrii
i
Uzyskujemy:
Koło (krążek)
obrót wokół osi symetrii
Koło można traktować jako sumę wielu obręczy ⇒ musimy wyznaczyć śrenią po powierzchni koła z
:
Ostatecznie uzyskujemy
Podobnie można wyznaczyć
Prostokąt
dla innych brył:
Obrót wokół osi prostopadłej, przechodzącej przez środek
Pręt
Obrót wokół osi prostopadłej, przechodzącej przez środek
Kula (jednorodna)
Twierdzenie o osiach równoległych
Zazwyczaj liczymy moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek ciężkości S
(wszystkie podane dotychczas przykłady)
Bryła może jednak wirować wokół dowolnej osi...
Niech układ wspórzędnych XY będzie układem środka masy. Moment bezwładności względem osi
równoległej , odległej o od osi S można wyznaczyć rozpisując odległości elementów masy od osi O
Moment bezwładności wyraża się przez sumę:
Z definicji środka masy drugi człon znika
Otrzymujemy wzór nazywany twierdzeniem o osiach równoległych lub Twierdzeniem Steinera
Prawa ruchu
Równia pochyła
W przypadku staczania po równi pochyłej bez poślizgu symetrycznej bryły (obręczy, waleca, kuli...)
mamy jeden stopień swobody. Przsunięcie związane jest z kątem obrotu:
i podobna zależność wiąże przyspieszenie liniowe i kątowe
Wzdłuż równi działa siła tarcia i równoległa składowa siły ciężkości. Równanie dla ruchu
postępowego możemy zapisać w postaci
Natomiast dla ruchu obrotowego (jedynie siła tarcia daje moment siły względem środka masy):
Eliminując siłę tarcia z pierwszego równania:
Z czego możemy wyznaczyć przyspieszenie liniowe:
Im większy moment bezwładności, tym wolniej stacza się ciało...
Dla przykładu: pełny walec (
) stacza się szybciej niż rura (
), a wolniej niż kula (
).
Zagadnienie staczania ciała po równi można rozwiązać w równoważny sposób korzystając z
chwilowej osi obrotu i twierdzenia Steinera. Względem chwilowej osi obrotu (linia styku bryły z
równią) jedynie siła ciężkości daje niezerowy moment siły. Zapiszmy równanie ruchu obrotowego
względem tej osi:
Z twierdzenia Steinera:
Otrzymujemy:
Wahadło fizyczne
Równanie małych drgań bryły sztywnej, wokół osi obrotu O przechodzącej w odległości od środka
ciężkości S:
gdzie skorzystalimy z przybliżenia małych drgań (
)
Częstość drgań (z równania oscylatora harmonicznego) wynosi:
Częstość ta odpowiada częstości drgań wahadła matematycznego o długości:
gdzie
nazywamy długością zredukowaną wahadła
Rozważmy wahadło w postaci pręta o masie m i długości d, na którego końcu zamocowano punktową
masę M.
Równanie małych drgańwokół osi obrotu O:
W przybliżeniu małych drgań:
Częstość drgań wyraża się więc wzorem:
gdzie przybliżenie jest słuszne w granicy
Długość zredukowana wahadła
.
Energia ruchu obrotowego
Energia kinetyczna układu ciał:
Dla bryły sztywnej energia "wewnętrzna" jest energią kinetyczną ruchu obrotowego względem
środka masy:
W przypadku ciała toczącego się bez poślizgu (
) otrzymujemy
Ruch (np. staczanie z równi pochyłej) odbywa się tak, jak dla punktu materialnego o efejtywnej
masie bezwładnej
i niezmienionej masie grawitacyjnej
Dla przykładu: prędkość jaką uzyska ciało staczające się bez poślizgu z równi o wysokości
wyznaczyć z zasady zachowania energii:
Otrzymujemy
można
Przyspieszenie możemy wyznaczyć zauważając (ruch jednostajnie przyspieszony), że prędkość
średnia jest równa połowie prędkości końcowej:
Koło Maxwella
Koło o promieniu R "toczy się" po osi o promieniu r.
Jak w przypadku równi pochyłej (tylko kładąc
)
Zakładając, że masa skupiona jest praktycznie w całości na obręczy
otrzymujemy wyrażenie na przyspieszenie liniowe
Przyspieszenie liniowe wielokrotnie mniejsze od przyspieszenia w spadku swobodnym...
Energia potencjalna zamienia się głównie na energię ruchu obrotowego.
Porównanie
Ruch postępowy punktu materialnego i ruch obrotowy bryły sztywnej (względem ustalonej osi,
pokrywającej się z osią symetrii) opisane są bardzo podobnymi zależnościami. Poniższa tabela
powinna pomóc w zrozumieniu tych analogii
ruch postępowy
wielkość
ruch obrotowy
wyrażenie
wielkość
przesunięcie
kąt obrotu
prędkość
prędkość kątowa
przyspieszenie
przyspieszenie kątowe
masa
moment bezwładności
pęd
moment pędu
układ izolowany
układ izolowany
siła
moment siły
równania ruchu
równania ruchu
praca
praca
wyrażenie
energia kinetyczna
energia kinetyczna