zbiór zadań egzaminacyjnych - Gimnazjum nr 2 im. Obrońców

Gimnazjum nr 2 w Wyszkowie
ZBIÓR ZADAŃ
- ROZUMOWANIE
I ARGUMENTACJA
mgr Jolanta Sarnacka
2012-11-30
ZBIÓR ZADAO DO WYMAGANIA EGZAMINACYJNEGO - ROZUMOWANIE I ARGUMENTACJA
Gimnazjum nr 2 w Wyszkowie
mgr Jolanta Sarnacka
1. Zapisz sumę trzech kolejnych liczb naturalnych, z których najmniejsza jest liczba n. Czy suma
ta jest podzielna przez 3? Odpowiedź uzasadnij.
2. Poniżej opisano dwie metody obliczania wagi odpowiedniej dla osoby o danym wzroście. Czy
dla każdego wzrostu przy obu metodach otrzymamy tka samą wartośd wagi? Odpowiedź
uzasadnij.
Metoda Lorenza: osoba o wzroście H cm powinna ważyd h – 100 – 0,25(h – 150)kg.
Metoda Amerykaoskiego Towarzystwa Ubezpieczeo na Życie: osoba o wzroście h cm
powinna ważyd 50 + 0,75 (h – 150) kg.
3. Wiadomo, że jeden z kątów równoległoboku jest prosty. Uzasadnij, że równoległobok ten
jest prostokątem.
4. Uzasadnij, że jeśli kula mieści się w prostopadłościennym pudełku o wymiarach
6cm  7cm  8cm , to jej objętośd jest mniejsza niż 116 cm2.
5. Punkt D jest środkiem boku AB trójkąta ABC. Wykaż, że jeśli trójkąt ADC jest równoboczny,
to trójkąt ABC jest prostokątny.
C
A
D
B
6. Uzasadnij, że suma dwóch kolejnych liczb naturalnych jest liczbą nieparzystą.
7. Uzasadnij, że pole koła wpisanego w kwadrat stanowi ponad 75% pola tego kwadratu, a pole
kwadratu wpisanego w koło to mniej niż 75% pola tego koła.
Strona
9. Uzasadnij, że kąt oznaczony na rysunku literą δ ma miarę równą sumie miar kątów α i β.
2
8. Średnia arytmetyczna liczb a i b jest równa 10. Wykaż, że średnia arytmetyczna liczb a, b oraz
10 jest także równa 10.
δ
α
β
ZBIÓR ZADAO DO WYMAGANIA EGZAMINACYJNEGO - ROZUMOWANIE I ARGUMENTACJA
Gimnazjum nr 2 w Wyszkowie
mgr Jolanta Sarnacka
10. Podaj dwa przykłady takich liczb naturalnych nieparzystych, z których pierwiastek
kwadratowy jest liczbą naturalną. Wykaż, że takich liczb nieparzystych jest nieskooczenie
wiele.
11. (I) Na jednym z ramion dowolnego kąta o wierzchołku O zaznaczono punkty A i B, a na
drugim ramieniu punkty C i D tak, aby OA  OC , OB  OD . Uzasadnij, że trójkąty OAD i
OCB są przystające.
D
C
A
B
12. Uzasadnij, że liczba 1011 jest podzielna przez 3, 5 i 15.
13. Zapisz średnią arytmetyczną średniej arytmetycznej liczb a i b oraz średniej arytmetycznej
liczb c i d. Wykaż, że jest ona równa średniej arytmetycznej liczb a, b, c i d.
14. Wykaż, że różnica między liczbą czterocyfrową, której cyfrą dziesiątek jest zero, a liczbą
zapisaną za pomocą tych samych cyfr, ale w odwrotnej kolejności, jest podzielna przez 9.
15. Wykaż, że suma miar kątów α, β i γ wynosi 3600.
16. Uzasadnij, że jeżeli wielokąt jest czworokątem, to suma
miar jego kątów wewnętrznych jest równa 3600.
17. Liczba doskonała to liczba naturalna, która jest równa sumie wszystkich swoich dzielników
mniejszych od niej samej. Uzasadnij, że liczba 28 jest liczbą doskonałą.
20. Dane są trzy liczby naturalne a, b i c. Wiadomo, że ich suma jest nieparzysta i liczba a jest
nieparzysta. Jakimi liczbami są liczby b i c: parzystymi czy nieparzystymi? Odpowiedź
uzasadnij.
21. Dane są trzy liczby a, b i c. Liczba a jest dodatnia, b jest zerem. Jaką liczbą jest liczba c, jeżeli
suma tych liczb jest równa zero?
Strona
19. Uzasadnij, że suma dwóch kolejnych liczb parzystych jest podzielna przez 4.
3
18. Uzasadnij, że iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 8.
ZBIÓR ZADAO DO WYMAGANIA EGZAMINACYJNEGO - ROZUMOWANIE I ARGUMENTACJA
Gimnazjum nr 2 w Wyszkowie
mgr Jolanta Sarnacka
22. Uzasadnij, że każda liczba trzycyfrowa, której cyfra setek jest o 1 większa od cyfry jedności,
po przestawieniu cyfr w odwrotnej kolejności daje liczbę o 99 mniejszą od danej.
23. Dana jest liczba trzycyfrowa, której cyfrą dziesiątek jest 0. Uzasadnij, że suma tej liczby i
liczby trzycyfrowej zapisanej za pomocą tych samych cyfr, ale w odwrotnej kolejności, jest
podzielna przez 101.
24. W trójkącie ABC punkt D jest środkiem boku BC. Pola trójkątów ABD i EDC podane są na
rysunku. Uzasadnij, że pole trójkąta ADE jest równe 8.
C
E
C
4
4
D
D
12
AA
A
B
A
1
2
B
25. Dany jest trójkąt ABC. Na boku AC obrano punkt D tak, że AD  5 DC . Punkt ten
połączono z wierzchołkiem B. Uzasadnij, że pole trójkąta ADB jest 5 razy większe od pola
trójkąta BDC.
26. Punkt E jest środkiem boku AB równoległoboku ABCD. Punkt ten połączono z wierzchołkiem
C. Uzasadnij, że pole trójkąta EBC jest trzy razy mniejsze od pola czworokąta AECD.
27. Kąty wewnętrzne trójkąta mają miary α, β i γ, a kąt przyległy do kąta o mierze β ma miarę δ.
Wykaż, że δ = α + γ.
814 = 98
0,125 
30. Wykaż, że liczba
5
5
1
2 5
643 = 49
3
0,75 
13
6
2
 5 jest liczbą naturalną.
31. Wiedząc, że a  b  c  1 , uzasadnij, że a 3  b  c  a 2
a 2  b3  c 2  b
32. Wykaż, że cyfrą jedności liczby 4 2011 jest 4.
33. Wykaż, że liczba postaci 213  212  3  210 jest podzielna przez 30.
4
29. Uzasadnij, że:
3212 = 260
Strona
28. (II) Uzasadnij, że:
ZBIÓR ZADAO DO WYMAGANIA EGZAMINACYJNEGO - ROZUMOWANIE I ARGUMENTACJA
Gimnazjum nr 2 w Wyszkowie
mgr Jolanta Sarnacka
34. Przyjrzyj się rysunkowi poniżej. Wiedząc, że odcinki KM i ML są równe, uzasadnij, że trójkąt
MPN jest równoramienny.
35. (III) Długośd boku kwadratu ABCD jest równa a. Na bokach tego kwadratu wyznaczono
punkty K, L, M i N w następujący sposób: K leży na boku AB w odległości 1/3 od B, L leży na
boku BC również w odległości 1/3a od B, M leży na boku CD a N na boku DA – obydwa w
odległości 1/3a od D. Uzasadnij, że czworokąt KLMN jest prostokątem.
36. W trapezie prostokątnym ABCD, w którym ABIICD, kąt ADC jest prosty, przekątna AC jest
prostopadła do ramienia BC. Uzasadnij, że trójkąt ABC i ACD są podobne.
37. W czworokąt można wpisad okrąg, gdy sumy długości przeciwległych boków tego czworokąta
są równe. Uzasadnij, że w trapez prostokątny, którego podstawy mają długości 6a i 2a,
wysokośd ma długośd 3a, można wpisad okrąg.
38. Na bokach trójkąta prostokątnego zbudowano prostokąty w taki sposób, że drugi bok
każdego prostokąta jest dwa razy dłuższy od danego boku trójkąta. Uzasadnij, że suma pól
prostokątów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu prostokąta zbudowanego
na przeciwprostokątnej tego trójkąta.
39. Uzasadnij, że dwusieczne kątów BAD i ABC równoległoboku ABCD są prostopadłe
D
C
C
A
B
B
40. Uzasadnij, że jeśli liczba jest podzielna przez 15 i przez 14, to jest podzielna przez 10.
41. Paweł rzucił 5 razy zwykłą sześcienną kostką do gry. Zapisane kolejno wyniki rzutów
utworzyły liczbę pięciocyfrową. Liczba ta jest parzysta i podzielna przez 9, a jej początkowe
trzy cyfry to: 3, 1, 2. Ile oczek wyrzucił Paweł za czwartym i piątym razem? Podaj wszystkie
możliwości. Odpowiedź uzasadnij.
42. Trzy proste przecinające się w sposób przedstawiony na rysunku tworzą trójkąt ABC.
Uzasadnij, że trójkąt ABC jest równoboczny.
5
A
Strona
D
ZBIÓR ZADAO DO WYMAGANIA EGZAMINACYJNEGO - ROZUMOWANIE I ARGUMENTACJA
Gimnazjum nr 2 w Wyszkowie
mgr Jolanta Sarnacka
43. Uzasadnij, że dwusieczne kątów przyległych są prostopadłe.
44. Zapisz sumę trzech kolejnych liczb naturalnych, z których najmniejszą jest liczba n. Czy ta
suma jest podzielna przez 3?
45. Uzasadnij, że jedna z wysokości trójkąta przedstawionego na rysunku zawiera się w
dwusiecznej jednego z kątów tego trójkąta.
74
127
46. Uzasadnij, że kwadrat liczby parzystej jest podzielny przez 4, a kwadrat liczby podzielnej przez
3 jest podzielny przez 9.
1
2
7
0
47. Uzasadnij, że przekątna równoległoboku dzieli go na dwa przystające trójkąty.
48. Uzasadnij, że w trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe.
49. *Kąt dopisany to kąt ostry między cięciwą a styczną w punkcie wspólnym cięciwy i okręgu.
Uzasadnij, że kąt dopisany ma taką samą miarę jak kąt wpisany oparty na tej cięciwie.
Strona
51. Na podstawie rysunku uzasadnij, że suma kątów w trójkącie jest równa 1800. Oznacz
odpowiednie kąty.
6
50. Co bardziej wypełni pudełko sześcienne: jedna duża kula, czy milion kulek o promieniu 100
razy mniejszym? Odpowiedź uzasadnij.
ZBIÓR ZADAO DO WYMAGANIA EGZAMINACYJNEGO - ROZUMOWANIE I ARGUMENTACJA
Gimnazjum nr 2 w Wyszkowie
mgr Jolanta Sarnacka
52. Uzasadnij bez obliczania dokładnej wartości, że suma 99 + 199 + 299 + 399 jest mniejsza od
1000.
53. Uzasadnij, że trójkąt ABO jest równoboczny.
O
O
60
A
B
B
54. Bez wykonywania dzielenia uzasadnij, że liczba 345678 dzieli się przez 6.
55. Uzasadnij, że długośd krawędzi sześcianu o objętości 1,728 dm3 jest 3 razy większa od
długości krawędzi sześcianu o polu powierzchni 96 cm2.
13
( a ) 3  a a jest równa 1.
a
a 4  a 9 : a 5
57. Uzasadnij, że dla dowolnego a≠0 iloraz wyrażenia
przez liczbę a jest równy a3.
a 2 : a 4
56. Uzasadnij, że dla a>0 wartośd wyrażenia
58. W trójkącie prostokątnym równoramiennym ABC poprowadzono, z wierzchołka kąta
prostego, wysokośd CD. Uzasadnij, że trójkąty ADC i BCD są przystające.
59. Każdy bok prostokąta zmniejszono o połowę. Ile razy jest mniejszy obwód tego prostokąta od
obwodu wyjściowego prostokąta? Ile razy jest mniejsze pole tego prostokąta od pola
wyjściowego prostokąta?
60. Każdy bok prostokąta powiększono 2 razy. Ile razy jest większy obwód tego prostokąta od
obwodu wyjściowego prostokąta? Ile razy jest większe pole tego prostokąta od pola
wyjściowego prostokąta? Odpowiedzi uzasadnij.
63. Marek wymyślił sztuczkę. Poprosił Kasię, aby pomyślała pewną liczbę i nie mówiła, co to za
liczba. Poprosił ją, aby do pomyślanej liczby dodała 3, następnie otrzymany wynik pomnożyła
przez 2 i na koniec od otrzymanej liczby odjęła 6. Gdy Kasia podała Markowi ostateczny
wynik, Marek szybko odpowiedział jej, jaką liczbę pomyślała na początku. Jaka jest zależnośd
pomiędzy ostatecznym wynikiem a pomyślaną liczbą? Czy tak jest zawsze?
Strona
62. *Uzasadnij, że pole trójkąta, w który wpisano okrąg o promieniu r, jest równe iloczynowi
połowy obwodu tego trójkąta i promienia r.
7
61. *Uzasadnij, że pole koła opisanego na trójkącie równobocznym jest cztery razy większe od
pola koła wpisanego w ten trójkąt
ZBIÓR ZADAO DO WYMAGANIA EGZAMINACYJNEGO - ROZUMOWANIE I ARGUMENTACJA
Gimnazjum nr 2 w Wyszkowie
mgr Jolanta Sarnacka
64. Uzasadnij, że pole kwadratu o przekątnej długości d jest równe
1 2
d.
2
65. Na bokach a, b, c trójkąta prostokątnego zbudowano trójkąty prostokątne równoramienne
odpowiednio o przeciwprostokątnych a, b, c. Czy suma pól trójkątów prostokątnych
równoramiennych tak zbudowanych na przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest równa
polu trójkąta prostokątnego równoramiennego zbudowanego na przeciwprostokątnej?
66. Na bokach a, b, c trójkąta prostokątnego zbudowano trójkąty równoboczne odpowiednio o
bokach a, b, c. Czy suma pól trójkątów równobocznych zbudowanych na przyprostokątnych
trójkąta prostokątnego jest równa polu trójkąta równobocznego zbudowanego na
przeciwprostokątnej?
67. Ile wynosi ostatnia cyfra liczby, która jest wartością sumy: 1020 + 220 + 320?
68. Ile wynosi ostatnia cyfra liczby, która jest wartością sumy: 1032 + 232 + 332?
69. Zapisz za pomocą wyrażenia algebraicznego wartośd liczby trzycyfrowej, której cyfrą jedności
jest n, cyfra dziesiątek jest o 3 mniejsza od cyfry jedności, a cyfra setek jest dwa razy większa
od cyfry dziesiątek. Określ, dla jakich wartości n istnieje rozwiązanie tego zadania. Podaj
wszystkie możliwe liczby o podanej własności.
70. Zapisz za pomocą wyrażenia algebraicznego wartośd liczby trzycyfrowej, której cyfrą jedności
jest a, cyfra dziesiątek jest o 1 mniejsza od cyfry jedności, a cyfra setek jest dwa razy większa
od cyfry dziesiątek. Określ, dla jakich wartości a istnieje rozwiązanie tego zadania. Podaj
wszystkie możliwe liczby o podanej własności.
71. Na rysunku przedstawiono trapez ABCD. Uzasadnij, że trójkąty ABC i ABD mają jednakowe
pola.
D
C
C
A
W OPRACOWANIU WYKORZYSTANO:
1. Matematyka trening przed egzaminem, WSiP, Warszawa 2011,
2. W. Paczesna, K. Mostowski Liczę na matematykę, Wydawnictwo Tales, Gdaosk 2012,
8
B
B
Strona
A
ZBIÓR ZADAO DO WYMAGANIA EGZAMINACYJNEGO - ROZUMOWANIE I ARGUMENTACJA
Gimnazjum nr 2 w Wyszkowie
mgr Jolanta Sarnacka
Strona
9
3. E. Duvnjak, E. Kokiernak-Jurkiewicz, M. Wójcicka, Matematyka wokół nas Podręcznik klasa 1 gimnazjum,
WSiP, Warszawa 2008,
4. A. Drążek, E. Duvnjak, E. Kokiernak-Jurkiewicz, Matematyka wokół nas, Podręcznik klasa 2 gimnazjum, WSiP,
Warszawa 2009,
5. A. Drążek, E. Duvnjak, E. Kokiernak-Jurkiewicz, Matematyka wokół nas, Podręcznik klasa 3 gimnazjum, WSiP,
Warszawa 2010,
6. J. Walczak, U. Sawicka-Patrzałek, Matematyka wokół nas gimnazjum, zbiór zadao I testów klasa 1 suplement,
WSiP, Warszawa 2008,
7. U. Sawicka-Patrzałek, J. Walczak, Matematyka wokół nas gimnazjum, zbiór zadao I testów klasa 2
suplement, WSiP, Warszawa 2009,
8. U. Sawicka-Patrzałek, J. Walczak, Matematyka wokół nas gimnazjum, zbiór zadao I testów klasa 3 suplement,
WSiP, Warszawa 2010,
9. wsipnet.pl