Lista 8 z Logiki i Struktur Formalnych do wykładu dra Sz

Lista 8 z Logiki i Struktur Formalnych
do wykładu dra Sz. Żeberskiego
1. Znajdź bijekcję pomiędzy następującymi parami zbiorów:
a) (−π/2, π/2) i R,
b) (0, 1) i (2, 5),
c) (0, ∞) i R,
d) [0, 2] i [2, 3).
2. Pokaż, że każdy niezdegenerowany odcinek prostej rzeczywistej jest mocy continuum.
3. Pokaż, że zbiór punktów płaszczyzny o obu współrzędnych wymiernych jest zbiorem przeliczalnym.
4. Jaka jest moc zbioru
a) A = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ N ∨ y ∈ N}?
b) B = {(x, y) ∈ R2 : sin x < cos y}?
c) C = {(x, y) ∈ R × Q : x + y = e + π}?
d) D = {X ∈ P (N) : 2 ∈ X ∧ 4 ∈
/ X}?
e) E = {X ∈ P (N) : ∀n 2n ∈ X}?
f) F = {X ∈ P (R) : X ∩ N = ∅}?
5. Pokaż, że dowolna rodzina parami rozłącznych odcinków liczb rzeczywistych jest przeliczalna.
6. Pokaż, że dowolna rodzina parami rozłącznych niepustych kół na płaszczyźnie jest przeliczalna. Czy dowolna rodzina parami rozłącznych niepustych okręgów na płaszczyźnie jest
przeliczalna?
7. Pokaż, że n · ℵ0 = ℵn0 = ℵ0 dla każdej liczby naturalnej n > 0. Wyznacz liczbę ℵℵ0 0 .
8. Jaka jest moc zbioru
a) wszystkich ciągów liczb rzeczywistych zbieżnych do zera?
b) wszystkich ciągów liczb całkowitych zbieżnych do zera?
9. Pokaż, że zbiór wszystkich funkcji ciągłych z liczb rzeczywistych w liczby rzeczywiste jest
mocy continuum.
10. Pokaż, że zbiór wszystkich bijekcji ze zbioru liczb naturalnych w zbiór liczb naturalnych jest
mocy continuum.
11. Jaka może być moc
a) zbioru A \ B jeśli A i B są zbiorami mocy ℵ0 ?
b) zbioru A \ B jeśli A i B są zbiorami mocy c?
12. Niech f : N → N. Pokaż, że |rng(f )| = ℵ0 lub istnieje taka liczba naturalna n, że |f −1 (n)| =
ℵ0 .
13. Symbolem Sym(A) oznaczamy zbiór wszystkich permutacji zbioru A. Pokaż, że jeśli |A| =
|B|, to |Sym(A)| = |Sym(B)|.
14. Udowodnij, że jeśli A jest zbiorem nieskończonym, to |A| < |AA |.
15. Jaka jest moc
a) zbioru {X ⊆ N : |X| < ℵ0 }?
b) zbioru {X ⊆ N : |X| = ℵ0 }?
c) zbioru {X ⊆ R : |X| < ℵ0 }?
d) zbioru {X ⊆ R : |X| = ℵ0 }?
16. Jaka jest moc zbioru {(x, y) ∈ Q2 : x2 + y 2 = 1}?
17. Ile można narysować
a) parami rozłącznych liter ”L” na płaszczyźnie?
b) parami rozłącznych liter “A” na płaszczyźnie?
c) parami rozłącznych liter ”T” na płaszczyźnie?
18. Niech f : R → R będzie funkcją monotoniczną. Pokaż, że zbiór punktów nieciągłości funkcji
f jest przeliczalny.
19. Liniowy porządek (L, ≤) nazywamy gęstym, jeśli
(∀a, b ∈ L)(a < b → (∃c ∈ L)(a < c < b)).
Pokaż, że każdy przeliczalny liniowy gęsty porządek bez elementu największego i najmniejszego
jest izomorficzny z porządkiem (Q, ≤).
20. Niech (An )n∈N będzie dowolną rodziną zbiorów mocy ℵ0 . Pokaż, że istnieje rodzina nieskończonych, parami rozłącznych zbiorów (Bn )n∈N taka, że Bn ⊆ An dla wszystkich n.
21. Niech (An )n∈N będzie dowolną rodziną nieskończonych podzbiorów zbioru N. Pokaż, że
istnieje taki podzbiór S zbioru N, że
(∀n ∈ N)(|An ∩ S| = |An \ S| = ℵ0 ).
22. Niech {fn : n ∈ N} będzie dowolną rodziną funkcji ze zbioru NN . Znajdź taką funkcję
g ∈ NN , że (∀n)(∀∞ k)(fn (k) < g(k)).
23. Dla zbiorów A, B ∈ P (N) określamy relację A ⊆∗ B ↔ |A \ B| < ℵ0 . Pokaż, że ⊆∗
jest preporządkiem. Załóżmy, że (An )n∈N jest taką rodziną nieskończonych podzbiorów N,
że (∀n ∈ N)(An+1 ⊆∗ An ). Pokaż, że istnieje taki nieskończony podzbiór B zbioru liczb
naturalnych, że (∀n ∈ N)(B ⊆∗ An ).
24. Pokaż, że istnieje rodzina A nieskończonych podzbiorów zbioru liczb naturalnych mocy continuum taka, że dla dowolnych dwóch różnych A, B ∈ A przekrój A ∩ B jest skończony.
25. Pokaż, korzystając z Aksjomatu Wyboru, że jeśli A jest zbiorem nieskończonym (czyli, że
(∀n ∈ N)(¬|A| = n)), to istnieje iniekcja f : N → A.
26. Niech R ⊆ N2 będzie relacją symetryczną. Pokaż, że istnieje nieskończony podzbiór A zbioru
N taki, że (∀x, y ∈ A)(x 6= y → (x, y) ∈ R) lub istnieje nieskończony podzbiór A zbioru N taki,
że (∀x, y ∈ A)(x 6= y → (x, y) ∈
/ R).