Ekonometria - Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarnosc

Transkrypt

Stacjonarność i Integracja
Testy pierwiastka jednostkowego
Modele ARMA
Modele z rozkładem opóźnień
Regresja pozorna i kointegracja
Ekonometria
Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarność. Testy pierwiastka
jednostkowego. Modele ARDL. Kointegracja
Jakub Mućk
Katedra Ekonomii Ilościowej
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 5 & 6
Szaeregi czasowe
1 / 33
Modele ARMA
Agenda
1
2
3
4
5
Definicja stacjonarności
Integracja
Przyrostostacjonarność vs. Trendostacjonarność
ACF i PACF
Test Dickeya - Fullera
Test KPSS
Modele ARMA
Proces autoregresyjny AR
Proces średniej ruchomej MA
Modele ARMA
Model z rozkładem opóźnień
Model autoregresyjny z rozkładem opóźnień
Wybór specyfikacji modelu dynamicznego
Regresja pozorna
Kointegracja
Model korekty błędem (ECM)
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 5 & 6
Szaeregi czasowe
2 / 33
Modele ARMA
Integracja
ACF i PACF
Outline
1
2
3
4
5
Integracja
ACF i PACF
Test KPSS
Modele ARMA
Modele ARMA
Regresja pozorna
Kointegracja
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 5 & 6
Szaeregi czasowe
3 / 33
Modele ARMA
Integracja
ACF i PACF
Szereg czasowy
Szereg czasowy yt , gdzie t = 1, 2, 3, . . . jest realizacją procesu stochastycznego {Yt }.
Proces generujący dane - DGP
Operatory szeregów czasowych
L(·) – operator opóźnień (ang. lag operator)
L(yt ) = yt−1
(1)
∆(·) – operator różnicowania (ang. difference operator)
∆(yt ) = (1 − L)yt = yt − yt−1
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 5 & 6
Szaeregi czasowe
(2)
4 / 33
Modele ARMA
Integracja
ACF i PACF
Definicja
Stacjonarność
-własność procesu stochastycznego {Yt }, polagająca na tym, że rozkład procesu stochastycznego {Yt } jest stały w czasie.
Stacjonarność (w szerszym ujęciu)
1
2
3
Stała w czasie wartość oczekiwana yt :
E(yt ) = µ.
(3)
Var(yt ) = E(yt − µ)2 = σ < ∞.
(4)
Stała w czasie wariancja yt :
Stała w czasie wariancja yt :
Cov(yt , yt+k ) = E(yt − µ)(yt+k − µ) = λk .
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 5 & 6
Szaeregi czasowe
(5)
5 / 33
Modele ARMA
Integracja
ACF i PACF
Błądzenie losowe i biały szum
Biały szum (white noise), czyli εt ∼ N (0, σ 2 ) oraz cov(εt , εs ) = 0 dla t 6= s:
y t = εt
(6)
yt = yt−1 + εt
(7)
jest procesem stacjonarnym.
Błądzenie losowe(random walk)
jest procesem niestacjonarnym.
Proces błądzenie losowego może zostać zapisany przy pomocy rekursji:
y1
=
y 0 + ε1
y2
...
=
y 1 + ε2 = y 0 + ε1 + ε2 = y 0 +
yt
=
y0 +
t
X
2
X
εk
k=1
εk
k=1
gdzie
Pt
k=1
εk jest trendem stochastycznym.
Wtedy wartość oczekiwana jest stała:
E(yt ) = E(y0 + ε1 + ε2 + . . . + εt ) = y0
(8)
Ale wariancja szeregu czasowego yt nie może być ograniczona w czasie:
var(yt ) = var(ε1 + ε2 + . . . + εt ) = tσ
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 5 & 6
2
Szaeregi czasowe
(9)
6 / 33
Modele ARMA
Integracja
ACF i PACF
Integracja
Operator różnicowania:
pierwsze różnica:
∆yt
=
yt − yt−1 ,
druga różnica:
2
∆ yt
=
∆ (∆yt ) = ∆(yt − yt−1 ) = yt − 2yt−1 + yt−2 ,
k-ta różnica:
∆ k yt
=
∆
. . ∆} yt .
| .{z
k
Jeżeli szereg yt jest stacjonarny to jest zintegrowany stopnia zerowego
yt ∼ I (0).
(10)
Jeżeli ∆yt jest stacjonarny to wtedy szereg jest zintegrowany stopnia pierwszego, tj. yt ∼ I (1).
Jeżeli ∆k yt jest stacjonarny to wtedy szereg jest zintegrowany stopnia k-tego
yt ∼ I (k)
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 5 & 6
Szaeregi czasowe
7 / 33
Modele ARMA
Integracja
ACF i PACF
Przyrostostacjonarność - szereg jest niestacjonarny, ale przyrosty są stacjonarne
yt ∼ I (k)
(11)
Trendostacjnarność - szereg jest sumą deterministycznego trendu oraz stacjonarnego procesu stochastycznego (np. białego szumu):
yt = α + βt + εt
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 5 & 6
(12)
Szaeregi czasowe
8 / 33
Modele ARMA
Integracja
ACF i PACF
Funkcja autokorelacji (ACF) mierzy zależności statystycznej zmiennej z jej
opóźnieniem k -tego rzędu. ACF:
PT−k
(yt − ȳ)(yt+k − ȳ)
i=1
ρ̂ =
PT
2
k
i=1
(yt − ȳ)
(13)
Funkcja cząstkowej autokorelacji (PACF) uwzględnia tylko opóźnienie dokładnie k-tego stopnia
Statytyka Borce’a -Pierce Q : weryfikacja statystycznej istotności współczynnika autokorelacji
Q=T
K
X
ρ̂2k
(14)
k=1
rozkład χ2 z K stopniami swobody
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 5 & 6
Szaeregi czasowe
9 / 33
Modele ARMA
Test KPSS
Outline
1
2
3
4
5
Integracja
ACF i PACF
Test KPSS
Modele ARMA
Modele ARMA
Regresja pozorna
Kointegracja
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 5 & 6
Szaeregi czasowe
10 / 33
Modele ARMA
Test KPSS
Testy pierwiastka jednostkowego (unit root tests) służą statystycznej weryfikacji stacjonarności.
Proces autoregesyjny pierwszego rzędu:
yt = αyt−1 + εt
(15)
Najprościej sprawdzić czy α = 1 za pomocą testu t-studenta. Gdu α = 1 to
szereg czasowy yt jest błądzeniem losowym
Ale jeśli tak, jest to estymator jest błędów standardowych α jest obciążony
i nie ma rozkładu t-studenta
To sprawdźmy czy δ < 0:
∆yt = δyt−1 + εt
(16)
Zestaw hipotez:
H0 :
H1 :
α=1
α<1
⇐⇒
⇐⇒
H0 :
H1 :
δ=0
δ<0
(17)
Hipoteza zerowa oznacza niestacjonarność!
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 5 & 6
Szaeregi czasowe
11 / 33
Modele ARMA
Test KPSS
Test ADF
Wady testu ADF
Ma słabą moc w przypadku autokorelacji składnika losowego
Założenie o procesie generującym dane, tj. procesie AR(1) bez wyrazu wolnego.
Test ADF (augmented Dickey-Fuller test) rozszerzony test
Dickeya - Fullera
Regresja testowa:
∆yt = γyt−1 +
P
X
αs ∆yt−s + εt
(18)
i=1
Możliwość uwzględnienia komponentów deterministycznych, tj. wyraz wolny,
trend liniowy itp.
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 5 & 6
Szaeregi czasowe
12 / 33
Modele ARMA
Test KPSS
Wartości krytyczne testu ADF
Wartości krytyczne dla testu ADF różnią się od statystyki t-studenta.
Wartości krytyczne dla testu ADF są wyznaczane numerycznie i mogą się
różnić pomiędzy oprogramowaniem.
Tablica: Wartości krytyczne testu ADF
Regresja testowa
1%
5%
10%
∆yt = γyt−1 εt
-2.56
-1.94
-1.62
∆yt = α + γyt−1 εt
-3.43
-2.86
-2.57
∆yt = α + δt + γyt−1 εt
-3.96
-3.41
-3.13
statystyka t-studenta
-2.33
-1.65
-1.28
Uwagi: powyższe wartości krytyczne pochodzą z pracy Davidson i MacKinnon (1993)
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 5 & 6
Szaeregi czasowe
13 / 33
Modele ARMA
Test KPSS
Altenatywnymi testami są testy: Kwiatkowskiego - Phillipsa - Schmidta Shina, Phillipsa-Perrona.
Test KPSS zakłada dekompozycja szeregu na część deterministyczną oraz
stochastyczną
Hipotezy testu są odwrotne niż w teście ADF:
H0 : yt stacjonarny
H1 : yt niestacjonarny
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 5 & 6
Szaeregi czasowe
(19)
14 / 33
Modele ARMA
Test KPSS
Testy pierwiastka jednostkowego – uwagi praktyczne
Dobór komponentu deterministycznego w regresji powinien korenspondować
obserwacjom empirycznym, tj.:
i) Jeżeli zmienna yt oscyluje wokół zera =⇒ test ADF bez komponentu deterministycznego.
ii) Jeżeli zmienna yt fluktuuje wokół stałej =⇒ test ADF z wyrazem wolnym.
iii) Jeżeli zmienna yt wykazuje wyraźny deterministyczny trend =⇒ test ADF
z wyrazem wolnym i trendem liniowym.
ALE uwzględnienie trendu liniowego zmienia interpretację wyników testu.
W procedurze badania stopnia integracji należy zachować rozsądek. Test
ADF może wskazywać na niestacjonarność szeregu czasowego, ale powodem
takich wyników może nie być faktyczna niestacjonarność, a np.:
i) słaba moc testu ADF oraz (lub) wysoka persytencja szeregu czasowego
ii) obecność zmian strukturalnych.
iii) skomplikowany proces generujący dane.
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 5 & 6
Szaeregi czasowe
15 / 33
Modele ARMA
Modele ARMA
Outline
1
2
3
4
5
Integracja
ACF i PACF
Test KPSS
Modele ARMA
Modele ARMA
Regresja pozorna
Kointegracja
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 5 & 6
Szaeregi czasowe
16 / 33
Modele ARMA
Modele ARMA
Proces autoregresyjny pierwszego stopnia AR(1)
yt = µ + ρyt−1 + εt
(20)
gdzie εt ∼ N (0, σ)
Wybrane własności procesu AR(1)
E(yt )
=
Var(yt )
=
µ
1−ρ
σ2
1 − ρ2
(21)
(22)
Proces autoregresyjny p-tego stopnia AR(p)
yt = µ + φ1 yt−1 + φ2 yt−2 + ... + φp yt−p + εt
(23)
Oszacowania modeli autoregresyjnych można uzyskać przy pomocy MNK.
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 5 & 6
Szaeregi czasowe
17 / 33
Modele ARMA
Modele ARMA
Proces MA(1):
yt = µ + εt + φ1 εt−1
(24)
yt = µ + εt + φ1 εt−1 + φ2 εt−2 + ... + φq εt−q
(25)
gdzie εt ∼ N (0, σ)
Proces MA(q):
Prametry modelu MA nie mogą być szacowane MNK (dlaczego?) Najczęsciej
stosuje się warunkową sumę kwadratów reszt CSS
Każdy stacjonarny proces autoregresyjny moża zapisać za pomocą
modelu MA(∞)!. Przykład dla AR(1) bez wyrazu wolnego
yt = ρyt−1 + εt
(26)
Załóżmy, że ε0 = 1 i dla t > 1, εt = 0. Wtedy:
y0
=
0×ρ+1=1
y1
=
y0 × ρ + 0 = 1 = ρ
y2
=
...
(27)
y1 × ρ + 0 = ρρ = ρ
(28)
2
(29)
(30)
Łatwo zauważyć, że
yt =
∞
X
ρi yt−i + εt
(31)
i=1
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 5 & 6
Szaeregi czasowe
18 / 33
Modele ARMA
Modele ARMA
Proces ARMA(1,1):
yt = µ + α1 yt−1 + εt + φ1 εt−1
(32)
Lub ogólniej ARMA(p,q)
yt = µ + α1 yt−1 + ... + αp yt−p + εt + φ1 εt−1 + ... + φq εt−q
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 5 & 6
Szaeregi czasowe
(33)
19 / 33
Modele ARMA
Outline
1
2
3
4
5
Integracja
ACF i PACF
Test KPSS
Modele ARMA
Modele ARMA
Regresja pozorna
Kointegracja
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 5 & 6
Szaeregi czasowe
20 / 33
Modele ARMA
Model z rozkładem opóźnień DL (distributed lags model):
yt = α0 +
K
X
βi xt−i + εt
(34)
i=0
Mnożnik krótkookresowy (jednoczesny, β SR ):
β SR = β0
(35)
Mnożnik długookresowy (β LR ):
β LR = β0 + β1 + . . . + βK
(36)
Parametry strukturalne modelu (34) można szacować przy pomocy MNK.
Należy pamiętać o weryfikacji założeń związanych ze składnikiem losowym.
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 5 & 6
Szaeregi czasowe
21 / 33
Modele ARMA
Model autoregresyjny z rozkładem opóźnień ADL(P,K) (autoregressive distributed lags model):
yt = α0 +
P
X
αi yt−i +
K
X
i=1
βi xt−i + εt
(37)
i=0
Mnożnik krótkookresowy (jednoczesny, β SR ):
β SR = β0
(38)
Mnożnik długookresowy (β LR ):
β
LR
PK
β
β0 + β1 + . . . + βK
i=0 i
=
=
P
P
1 − α1 − α2 − . . . − αP
1 − i=1 αi
(39)
Parametry strukturalne modelu (37) można szacować przy pomocy MNK.
Należy pamiętać o weryfikacji założeń związanych ze składnikiem losowym.
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 5 & 6
Szaeregi czasowe
22 / 33
Modele ARMA
jest konsensusem pomiędzy utratą efektywności oszacowań w przypadku
bogatej specyfikacji, a obciążeniem i zgodnością oszacowań wynikających z pominięcia istotnych opóźnień.
Od ogółu do szczegółu (from general to specific): selekcja jest rozpoczynana od bardzo bogatej specyfikacji dynamicznej. Następnie, eliminacji
ze specyfikacji modelu dynamicznego poddawane są kolejne opóźnienia.
Od szczegółu do ogółu (from specific to general): selekcja jest rozpoczynana od prostej specyfikacji. Kolejno, dodawane są kolejne opóźnienia.
Kryteria wyboru
W doborze odpowiedniej specyfikacji powinno uwzględniać informację o i)
włanościach składnika losowego oraz ii) istotności zmiennych.
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 5 & 6
Szaeregi czasowe
23 / 33
Modele ARMA
Regresja pozorna
Kointegracja
Outline
1
2
3
4
5
Integracja
ACF i PACF
Test KPSS
Modele ARMA
Modele ARMA
Regresja pozorna
Kointegracja
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 5 & 6
Szaeregi czasowe
24 / 33
Modele ARMA
Regresja pozorna
Kointegracja
Stacjonarność szeregów czasowych w analizie ekonometrycznej jest pożądana
w celu uniknięcia uzyskania istotnych statystycznie oszacowań na podstawie braku zależności pomiędzy zmiennymi. Taka sytuacja jest nazywana regresją pozorną.
Zilustrujmy to na przykładzie regresji dla dwóch losowo wygenerowanych
procesów błądzenia losowego (yt i xt ):
DGP1 :
DGP2 :
yt
xt
=
=
yt−1 + εt
xt−1 + ηt
(40)
gdzieηt ∼ N 0, ση2 i εt ∼ N 0, σε2 .
Szeregi czasowe yt I xt są wygenerowane niezależnie od siebie, a więc brak
jest zależności pomiędzy nimi.
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 5 & 6
Szaeregi czasowe
25 / 33
Modele ARMA
Regresja pozorna
Kointegracja
10
20
30
40
50
60
Rysunek: Wygenerowane losowo szeregi czasowe yt i xt
0
y_t
x_t
0
100
200
300
400
500
600
700
Time
Pomimo braku faktycznej zależności, oba szeregi wykazują rosnącą
tendencję.
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 5 & 6
Szaeregi czasowe
26 / 33
Modele ARMA
Regresja pozorna
Kointegracja
rw2
0
10
20
30
40
50
Rysunek: Wykres rozrzutu wygenerowanych szeregów yt i xt
10
20
30
40
50
60
rw1
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 5 & 6
Szaeregi czasowe
27 / 33
Modele ARMA
Regresja pozorna
Kointegracja
Regresja liniowa yt względem xt (błędy standardowe w nawiasach):
yt = 17.818 + 0.842xt
(0.62048)
(41)
(0.02062)
Statystyka testu t-studenta xt : 40.82
R2 wynosi około 0.705
Z drugiej strony wiemy, że tak naprawdę brak jest prawdziwej zależności pomiędzy tymi zmiennymi. Dlatego powyższe oszacowania są pozorne
(spurious).
W przypadku regresji pozornej, reszty z modelu liniowego są niestacjonarne
i wykazują autkorelację.
Składnik resztowy
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 5 & 6
Szaeregi czasowe
28 / 33
Modele ARMA
Regresja pozorna
Kointegracja
−20
−10
0
10
20
Rysunek: Składnik resztowy z regresji yt względem xt
0
100
200
300
400
500
600
700
Time
Statystyka Durbina-Watsona: 0.22
Statystyka LM (autokorelacja pierwszego rzędu): 682.958[0.0000]
Powrót
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 5 & 6
Szaeregi czasowe
29 / 33
Modele ARMA
Regresja pozorna
Kointegracja
Szczególnym przypadkiem zależności pomiędzy dwoma zmiennymi niestacjonarnymi jest kointegracja.
Założmy, że yt oraz xt są zintegrowane w stopniu pierwszym oraz, że
składnik resztowy et , t.że:
et = yt − β0 − β1 xt
(42)
jest stacjonarny. Wtedy powiemy, że zmienne xt oraz yt są skointegorwane.
Intuicja(1): Jeżeli zmienne są skointegrowane to podażają za tym samym
trendem stochastycznym.
Intuicja(2): Jeżeli zmienne są skointegorwane to występuje długookresowa
relacja (równowaga) pomiędzy nimi.
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 5 & 6
Szaeregi czasowe
30 / 33
Modele ARMA
Regresja pozorna
Kointegracja
Testowanie kointegracji
Krok pierwszy: badanie stacjonarności zmiennych. Jeżeli zmienna xt oraz yt są
zintegrowane w stopniu pierwszym to można przejść do kolejnego etapu.
Krok drugi: oszacowanie modelu dla poziomów wybranych zmiennych, a następnie
badanie stacjonarności składnika losowego (et ):
(43)
H0 :
H1 :
(44)
Hipotezy testu:
H0 :
H1 :
et ∼ I(1)
et ∼ I(0)
⇐⇒
⇐⇒
xt and yt nie są skointegorwane
xt and yt są skointegorwane
Statystyka testu jest jest analogiczna jak w przyapdku testu ADF, ale wykorzystuje
się inne statystyki testowe.
Tablica: Critical values
Model
1%
5%
10%
yt = β1 xt + et
yt = β0 + β1 xt + et
yt = β0 + δt + β1 xt + et
-3.39
-3.96
-3.98
-2.76
-3.37
-3.42
-2.45
-3.07
-3.13
Uwagi : wartości krytyczne na podstawie pracy Hamiltona (1994)
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 5 & 6
Szaeregi czasowe
31 / 33
Modele ARMA
Regresja pozorna
Kointegracja
Jeżeli zmienne xt oraz yt są skointegrowane to w modelowaniu można uwzględnić
informację od odchyleniu od trendu stochastycznego.
(45)
Składnik resztowy, et jest stacjonarny. Ponadto, et wyraża odchylenie od długookresowego stochastycznego trendu (lub równowagi pomiędzy tymi zmiennymi).
Elastyczność długookresowa to β1 w równaniu (45).
W krótkooresowej analizie można uwzględnić odchylenie od równowagi długookresowej wykorzystując opóżniony o jeden okres składnik resztowy, tj. et−1 .
∆yt = α0 + δet−1 +
P
X
αi ∆yt−i +
i=1
K
X
βi ∆xt−i + εt
(46)
i=0
Równanie (46) opisuje model korekty błędem (error correction model).
Parametr δ identyfikuje tempo powrotu do równowagi dlugookresowej.
Uwaga: δ ∈ (−1, 0)
okres połowicznego wygaśnięcia (half-life)
hl =
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 5 & 6
ln(0.5)
ln(1 + δ)
(47)
Szaeregi czasowe
32 / 33
Modele ARMA
Regresja pozorna
Kointegracja
Modelowanie zmiennych niestacjonarnych
Trendostacjonarność
Trend stochastyczny
Model ARDL poziomy zmiennych
Kointegracja
+ trend
Brak kointegracji
deterministyczny
Elastyczności
długookresowe -
Model korekty
model dla zmiennych
błędem (ECM)
Model ARDL pierwsze przyrosty
zmiennych
I(1)
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 5 & 6
Szaeregi czasowe
33 / 33

Ekonometria - Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarnosc

Transkrypt

Podobne dokumenty

modele szeregow czasowych - E-SGH

Krótki przegląd najpopularniejszych modeli ekonometrycznych

Regresja liniowa – klasyczna (metoda najmniejszych kwadratów)

Sposób wyliczenia parametru beta w modelu Sharpe`a 1. Oblicz

oświadczenie zimowisko 2017

lista tytułów w pdf

Zdrowe odżywianie w pracy

Wprowadzenie do modeli ARMA/ARIMA - E-SGH