Szeregi liczbowe - Polsko-Japońska Akademia Technik

Szeregi liczbowe - Polsko-Japońska Akademia Technik

Analiza Matematyczna
Szeregi liczbowe
Alexander Denisjuk
[email protected]
Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych
zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku
ul. Brzegi 55
80-045 Gdańsk
Analiza Matematyczna – p. 1
Szeregi liczbowe
Najnowsza wersja tego dokumentu dostepna
˛
jest pod adresem
http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/
Analiza Matematyczna – p. 2
Szeregi zbieżne i rozbieżne
Definicja 1.
1. Szeregiem liczbowym nazywa sie˛ formalna suma
u1 + u2 + · · · + uk + · · · =
gdzie uk
2. Suma Sn
∈ R dla k = 1, 2, . . . .
= u1 + u2 + · · · + un =
cz˛eściowa˛ szeregu 1.
n
P
∞
X
uk ,
(1)
k=1
uk nazywa sie˛ suma˛
k=1
3. Szereg 1 nazywa sie˛ zbieżnym, jeżeli istnieje granica S
ciagu
˛ sum cz˛eściowych przy n → ∞.
4. Granica ta nazywa sie˛ suma˛ szeregu 1, oznaczenie S
= limn→∞ Sn
=
∞
P
uk .
k=1
5. Szereg, który nie jest zbieżnym, nazywa sie˛ rozbieżnym.
Analiza Matematyczna – p. 3
Przykłady szeregów
Przykład 2.
1.
∞
P
qk .
k=1
2.
3.
∞
P
k=1
∞
P
k=1
xk−1
(k−1)! .
(−1)k−1 x2k−1
.
(2k−1)!
4. Szereg harmoniczny:
∞
P
1
k.
k=1
Analiza Matematyczna – p. 4
Własności szeregów zbieżnych
Twierdzenie 3. Niech dane bed
˛ a˛ dwa zbieżne szeregi
∞
P
uk oraz
k=1
Wtedy
∞
P
vk .
k=1
1. Suma i różnica ciagów
˛
jest zbieżna,
˛ przy czym
∞
P
(uk ± vk ) =
k=1
2.
∀λ ∈ R szereg
∞
P
k=1
∞
P
uk ±
∞
P
vk .
k=1
λuk jest zbieżnym oraz
k=1
k=1
3. Szereg, otrzymany z szeregu
∞
P
∞
P
λuk = λ
∞
P
uk .
k=1
uk zamiana˛ skończonej ilości
k=1
wyrazów, jest zbieżnym.
Analiza Matematyczna – p. 5
Kryterium Cauchy’ego zbieżności szeregów
Twierdzenie 4 (Kryterium Cauchy’ego). Szereg
∞
P
uk jest zbieżnym wtedy
k=1
i tylko wtedy, gdy ∀ε
>
0 ∃N ∈ N takie, że ∀n1 > n2 > N spełnia sie˛
P
n1
u k < ε.
nierówność k=n2 Wniosek 5 (Konieczny warunek zbieżności szeregu). Niech szereg
∞
P
uk
k=1
bedzie
˛
zbieżnym. Wtedy uk
Przykład 6. Szereg
∞
P
k=1
= o(1) przy k → ∞.
1−k2
1+20k+400k2 jest rozbieżnym.
Uwaga 7. Warunek 5 nie jest dostatecznym warunkiem zbieżności szeregu,
patrz, na przykład, szereg harmoniczny.
Analiza Matematyczna – p. 6
Szeregi o wyrazach nieujemnych
Twierdzenie 8. Szereg o wyrazach nieujemnych jest zbieżnym wtedy i tylko
wtedy, gdy ciag
˛ sum cz˛eściowych jest ograniczonym
Twierdzenie 9 (Kryterium porównawcze zbieżności szeregu o wyrazach
nieujemnych). Niech, poczynajac
˛ z pewnego k , zachodzi nierówność
0 6 uk 6 vk . Wtedy
1. Jeżeli szereg
2. Jeżeli szereg
∞
P
k=1
∞
P
vk jest zbieżnym, to
uk jest rozbieżnym, to
∞
P
k=1
oraz rozbieżnym dla 0
2. Szereg
vk też jest rozbieżnym.
k=1
1. Szereg
∞
P
uk też jest zbieżnym.
k=1
∞
P
k=1
Przykład 10.
∞
P
1
2+bk , gdzie
b > 0 jest zbieżnym dla b > 1
< b 6 1.
1
kα jest rozbieżnym dla
0 < α 6 1.
k=1
Analiza Matematyczna – p. 7
Kryterium d’Alemberta
Twierdzenie 11 (Kryterium d’Alemberta zbieżności szeregu o wyrazach
nieujemnych). Niech bedzie
˛
uk > 0 oraz limk→∞ uuk+1 = L. Wtedy
k
1. Jeżeli L
2. Jeżeli L
< 1, to
> 1, to
∞
P
uk jest zbieżnym.
k=1
∞
P
uk jest rozbieżnym.
k=1
Przykład 12.
∞
P
√
( k)k
k! .
k=1
u
Uwaga 13. Jeżeli w warunkach twierdzenia 11 limk→∞ uk+1
k
∞
P
uk może być zarówno zbieżnym (
1/k 2 , dowód bedzie
˛
podany
k=1
k=1
później) jak i rozbieżnym (
∞
P
= 1, co szereg
∞
P
1/k ).
k=1
Analiza Matematyczna – p. 8
Kryterium Cauchy’ego
Twierdzenie 14 (Kryterium Cauchy’ego zbieżności szeregu o wyrazach
√
nieujemnych). Niech bedzie
˛
uk > 0 oraz limk→∞ k uk = L. Wtedy
1. Jeżeli L
2. Jeżeli L
< 1, to
> 1, to
∞
P
k=1
∞
P
uk jest zbieżnym.
uk jest rozbieżnym.
k=1
Przykład 15.
∞
P
k=1
k
2k .
Analiza Matematyczna – p. 9
Całkowe kryterium Cauchy’ego-Maclaurina
Twierdzenie 16 (Całkowe kryterium Cauchy’ego-Maclaurina zbieżności
szeregu o wyrazach nieujemnych). Niech dana bedzie
˛
funkcja f (x):
nieujemna i niemalejaca
˛ na półprostej [m, +∞), gdzie m ∈ Z. Wtedy
szereg
∞
P
f (k) = f (m) + f (m + 1) + f (m + 2) + . . . jest zbieżnym
k=m
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica ciagu
˛
lim
Rn
n→∞ m
f (x) dx.
∀k > n, ∀x ∈ [k, k + 1] zachodzi nierówność
f (k) 6 f (x) 6 f (k + 1). Wynika stad,
˛ że
Dowód.
k+1
k+1
k+1
Z
Z
Z
f (k + 1) dx.
f (x) dx 6
f (k) dx 6
k
k
k
Analiza Matematyczna – p. 10
Całkowe kryterium Cauchy’ego-Maclaurina. Przykład
Przykład 17.
1.
∞
P
1
kα ,
k=1
2.
∞
P
k=2
1
.
k lnβ k
Analiza Matematyczna – p. 11
Zbieżność warunkowa i bezwzgledna
˛
Definicja 18.
1. Szereg
∞
P
uk nazywa sie˛ zbieżnym bezwzglednie
˛
k=1
(bezwarunkowo), jeżeli zbieżnym jest szereg
∞
P
k=1
2. Zbieżny szereg
∞
P
|uk |.
uk nazywa sie˛ zbieżnym warunkowo,zbieżność
k=1
warunkowa jeżeli szereg
∞
P
|uk | jest rozbieżnym.
k=1
∞
P
Twierdzenie 19. Jeżeli szereg
k=1
jest zbieżnym.
|uk | jest zbieżnym, to szereg
∞
P
uk też
k=1
Analiza Matematyczna – p. 12
Zbieżność warunkowa i bezwzgledna.
˛
Przykłady
Przykład 20.
1.
∞
P
(−1)k−1
,
k2
k=1
2.
∞
P
(−1)k−1
.
k
k=1
Twierdzenie 21 (Riemann). Niech szereg
∞
P
uk bedzie
˛
zbieżnym
k=1
warunkowo. Wtedy ∀L ∈ R można tak przestawić wyrazy szeregu, że szereg
przekształcony zostanie zbieżnym do L.
Twierdzenie 22 (Cauchy). Niech szereg
∞
P
uk bedzie
˛
zbieżnym
k=1
bezwarunkowo. Wtedy dowolny szereg otrzymany poprzez przestawienie
wyrazów z istotnego szeregu bedzie
˛
zbieżnym bezwarunkowo do tej samej
sumy.
Analiza Matematyczna – p. 13
Szeregi przemienne
Definicja 23. Szereg
∞
P
uk nazywamy przemiennym, jeśli jego wyrazy sa˛
k=1
naprzemian dodatnie i ujemne.
Twierdzenie 24 (Leibniz). Jeśli
1.
0 6 uk+1 6 uk dla k = 1, 2, . . . ,
limk→∞ uk = 0,
∞
P
(−1)k uk jest zbieżnym.
to szereg
2.
k=1
Przykład 25.
∞
P
(−1)k
k
k=1
Analiza Matematyczna – p. 14