Operatory kompozycji na przestrzeni funkcji gładkich

Nr wniosku: 198628, nr raportu: 19501. Kierownik (z rap.): dr Adam Przestacki
Popularyzatorski opis rezultatów projektu
„Operatory kompozycji na przestrzeni funkcji gładkich”
Przestrzeń funkcji gładkich, to jest zbiór funkcji posiadających wszystkie pochodne, jest
jedną z najważniejszych przestrzeni występujących w klasycznej analizie matematycznej, występującą zwłaszcza w kontekście równań różniczkowych – równań modelujących zachowanie
świata naturalnego. Przykładami funkcji gładkich są dobrze znane ze szkoły średniej wielomiany czy funkcje wykładnicze. Przestrzeń funkcji gładkich posiada bardzo bogatą strukturę
(mówimy, że jest algebrą Frécheta) – dla przykładu wiemy jak dodawać i mnożyć funkcje, i co
bardzo ważne, w przestrzeni tej zdefiniowana jest metryka, to jest potrafimy powiedzieć jak
daleko jedna funkcja jest oddalona od innej funkcji.
Głównym celem projektu „Operatory kompozycji na przestrzeni funkcji gładkich” było zbadanie własności operatorów kompozycji i wagowych operatorów kompozycji działających na
wyżej opisanej przestrzeni. Czym są te operatory? Ustalmy na początku pewną funkcję gładką
ψ. Operatorem kompozycji o symbolu ψ nazywamy przyporządkowanie każdej funkcji gładkiej
jej złożenia z funkcją ψ. Wagowym operatorem kompozycji nazywamy przyporządkowanie każdej funkcji gładkiej jej złożenia z funkcją ψ dodatkowo pomnożonego przez ustaloną wcześniej
funkcję wagową w. Operacje te posiadają wiele bardzo dobrych własności (są liniowe i ciągle) i
są jednymi z najbardziej naturalnych operacji jakie można wykonywać na funkcjach gładkich.
Pierwszym celem projektu było zbadanie własności zbioru składającego się ze wszystkich
możliwych złożeń funkcji gładkich z góry ustaloną funkcją ψ. W ramach projektu staraliśmy się
odpowiedzieć między innymi na pytanie czy zbiór ten jest domknięty (wówczas każda funkcja
znajdująca się dowolnie blisko funkcji, które są złożeniami, sama jest złożeniem) oraz staraliśmy
się zrozumieć jakie funkcje można otrzymać składając funkcje gładkie z pewną ustaloną funkcją
(dla przykładu - wiadomo, że każdą funkcję gładką, której wykres jest symetryczny względem
osi „y” można uzyskać składając pewną funkcję gładką z dobrze znaną funkcją x2 ). Nasze
wyniki w sposób istotny poszerzyły wiedzę na temat nie tylko samych operatorów kompozycji,
ale także na temat samych funkcji gładkich.
Drugim celem projektu było zbadanie tak zwanych dynamicznych własności wagowych operatorów kompozycji. Ta część naszych badań należy do intensywnie rozwijanej gałęzi analizy
funkcjonalnej jaką jest dynamika liniowa. Wyobraźmy sobie, że mamy daną przestrzeń (dla
przykładu składającą się z funkcji) i pewną operację działającą na elementach tej przestrzeni.
Wybierzmy sobie teraz jakiś element tej przestrzeni i zadziałajmy naszą operacją na tym elemencie. Następnie zadziałajmy tą samą operacją na tym co uzyskaliśmy i powtarzajmy nasze
działania w „nieskończoność”. Jednym z najważniejszych celów dynamiki liniowej jest zbadanie
jak duży zbiór można w ten sposób uzyskać. Okazuje się, że czasami może się zdarzyć tak,
że zbiór który otrzymaliśmy jest w pewnym sensie bardzo duży – wypełnia prawie całą naszą
wyjściową przestrzeń. W ramach naszego projektu staraliśmy się odpowiedź na pytanie, które
wagowe operatory kompozycji posiadają tą zaskakującą z pozoru własność i pokazaliśmy, że
jest ich dużo więcej niż można by było się spodziewać.