KARTA PRZEDMIOTU Kod przedmiotu AM1_M Nazwa przedmiotu

KARTA PRZEDMIOTU
Kod przedmiotu
AM1_M
w języku polskim
w języku angielskim
Nazwa przedmiotu
Analiza Matematyczna 1
Mathematical Analysis 1
USYTUOWANIE PRZEDMIOTU W SYSTEMIE STUDIÓW
Kierunek studiów
Matematyka
Forma studiów
Stacjonarne
Poziom studiów
Studia I stopnia licencjackie
Profil studiów
Ogólnoakademicki
Specjalność
Matematyka bankowa i ubezpieczeniowa
Jednostka prowadząca
przedmiot
Instytut Nauk Ekonomicznych i Informatyki
Osoba odpowiedzialna za
przedmiot- koordynator
przedmiotu
Imię i nazwisko
Kontakt
Prof. dr hab. Kazimierz Włodarczyk
[email protected]
Forma zajęć
Termin i miejsce
odbywania zajęć
Miejsce realizacji
Zajęcia w
pomieszczeniu
dydaktycznym
Instytutu Nauk
Ekonomicznych i
Informatyki
Wykład i konwersatorium
Termin realizacji
Semestr zimowy
OGÓLNA CHARAKTERYSTYKA PRZEDMIOTU
Status przedmiotu/przynależność
do modułu
Moduł treści podstawowych
Przedmiot obowiązkowy
Język wykładowy
Polski
Semestry, na których realizowany
jest przedmiot
I
Wymagania wstępne
Student powinien posiadać wiedzę dotyczącą szkoły średniej
FORMY, SPOSOBY I METODY PROWADZENIA ZAJĘĆ
Formy
zajęć
Wykład
rok
Liczba
godzin
Sem
estr
ćwiczenia
r
s
lektorat
R
s
Konwersatorium
r
45
s
seminariu
m
r
s
ZP
r
Samokszt
ałcenieZBUN
PZ
S
r
s
r
30
Zajęcia konwersatoryjne w grupach 25-30 osobowych,
Sposób realizacji zajęć 3 godziny tygodniowo wykładu,
2 godziny tygodniowo konwersatorium.
Sposób zaliczenia zajęć
Metody dydaktyczne
Wykład – egzamin ustny
Konwersatorium - kolokwia
1. Wykład – wykład, analiza tekstu z dyskusją.
Przedstawione są zagadnienia teoretyczne - twierdzenia, definicje, ilustrujące
przykłady, stawiane są i rozwiązywane problemy, prezentowane są idee i
możliwości stosowań, prezentowany jest rys historyczny oraz wskazywane są
S
kontynuacje oraz związki z innymi działami matematyki.
Konwersatorium – pogadanka, własna działalność, zadania do
rozwiązania.
Analizowane są zadania ilustrujące materiał teoretyczny zaprezentowany na
wykładzie, konwersatorium prowadzone jest w formie pogadanki i ogólnej
dyskusji.
2.
Przedmioty
powiązane/moduł
Podstawowa
Wykaz
literatury
Uzupełniająca
[1] J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT,
Warszawa, 1996.
[2] W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, cz. I, II,
PWN, Warszawa, 2006.
[3] G. N. Berman, A problem book in mathematical analysis, 1977.
[4] L. M. Drużkowski, Analiza matematyczna, Wydaw. UJ, 1998.
[1] G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I-III, PWN, W-wa,
1964.
[2] B. P. Demidowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Naukowa Książka,
Lublin, 1992.
[3] W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, W-wa, 1983.
[4] W. I. Smirnow, Matematyka wyższa, PWN, Warszawa, 1958.
[5] S. Prus, A. Stachura, Analiza funkcjonalna w zadaniach, PWN, Warszawa,
2007.
[6] R. Kowalczyk, K. Niedziałomski, C. Obczyński, Matematyka dla studentów i
kandydatów na wyższe uczelnie. Repetytorium. PWN, Warszawa 2012.
CELE, TREŚCI I EFEKTY KSZTAŁCENIA
Cele przedmiotu (ogólne, szczegółowe)
C1
Zaznajomienie studenta z podstawowymi zagadnieniami dotyczącymi przestrzeni rzeczywistej R
i zespolonej C, przestrzeni euklidesowych k-wymiarowych, przestrzeni metrycznych oraz przestrzeni
wektorowych, unormowanych i topologicznych.
C2
Zaznajomienie studenta z takimi pojęciami jak: otoczenie punktu; punkt skupienia zbioru;
otwartość i domkniętość zbioru; spójność, zwartość i zupełność przestrzeni.
C3
Zaznajomienie studenta z funkcjami (ideami i stosowanymi metodami i technikami
badawczymi).
C4
Zaznajomienie studenta z ciągami (ideami i stosowanymi metodami i technikami badawczymi).
C5
Zaznajomienie studenta z szeregami (ideami i stosowanymi metodami i technikami
badawczymi).
Treści programowe
Efekty
kształceni
a (kody)
Forma
zajęć
W1
Wykład
W1, W2
Wykład
W1-W3
Wykład
Temat
Liczby naturalne: aksjomat dobrego uporządkowania, indukcja. Liczby
rzeczywiste. Liczby: całkowite, wymierne i niewymierne. Relacja <.
Wartość bezwzględna. Pierwiastek. Ograniczenia i kresy zbiorów.
Zasada ciągłości. Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych. Liczby
zespolone: nierówność Schwarza; argument; wzór de Moivre'a;
pierwiastki. Przestrzenie k-wymiarowe (rzeczywiste i zespolone) :
Iloczyn skalarny; Norma euklidesowa i przestrzeń euklidesowa.
Definicja funkcji. Obrazy i przeciwobrazy. Odwzorowanie
różnowartościowe (wzajemnie jednoznaczne, 1-1 odwzorowanie).
Liczba kardynalna. Relacja równoliczności. Zbiór przeliczalny i zbiór
nieprzeliczalny. Przeliczalna suma zbiorów przeliczalnych jest zbiorem
przeliczalnym. Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny. Zbiór liczb
rzeczywistych jest nieprzeliczalny.
(a) Przestrzeń metryczna (X,d). Kula otwarta i kula domknięta.
Otoczenie punktu. Punkt skupienia zbioru. Punkt izolowany zbioru.
Zbiór domknięty. Punkt wewnętrzny zbioru. Zbiór otwarty.
Dopełnienie zbioru. Zbiór ograniczony. Zbiór E gęsty w X, ośrodkowość
przestrzeni. Kula otwarta (domknięta) jest zbiorem otwartym
Liczba
godzin
6
4
15
(domkniętym). Dowolne otoczenie punktu skupienia zbioru zawiera
nieskończenie wiele punktów tego zbioru. Zbiór G jest otwarty
(domknięty) wtedy i tylko wtedy, gdy jego dopełnienie jest zbiorem
domkniętym (otwartym). Suma (iloczyn) zbiorów otwartych
(domkniętych) jest zbiorem otwartym (domkniętym). Skończona suma
(skończony iloczyn) zbiorów domkniętych (otwartych) jest zbiorem
domkniętym (otwartym). Zbiór domknięty w R, ograniczony z góry (z
dołu) zawiera kres górny (dolny). Jeśli X jest przestrzenią metryczną i
Y jest zawarty w X, to zbiór E jest otwarty (domknięty) w Y wtedy i
tylko wtedy, gdy istnieje zbiór G otwarty (F domknięty) w X taki, że E
jest iloczynem G i Y (E jest iloczynem F i Y). Jeśli X jest przestrzenią
metryczną i Y jest zawarty w X, to zbiór K jest zwarty w przestrzeni Y
wtedy i tylko wtedy, gdy jest zwarty w przestrzeni X. Zwarty podzbiór
przestrzeni metrycznej jest zbiorem domkniętym w tej przestrzeni.
Domknięty podzbiór zbioru zwartego jest zbiorem zwartym. Każda
kostka k-wymiarowa jest zbiorem zwartym. Jeśli rodzina zwartych
podzbiorów przestrzeni metrycznej X posiada tę własność, że iloczyn
dowolnej skończonej podrodziny rodziny tej rodziny nie jest pusty, to
iloczyn elementów rodziny jest niepusty. Jeśli E jest nieskończonym
podzbiorem zbioru zwartego K, to E ma punkt skupienia należący do K.
W przestrzeni euklidesowej k-wymiarowej następujące warunki są
równoważne: (i) E jest zbiorem zwartym; (ii) E jest zbiorem
domkniętym i ograniczonym; (iii) każdy nieskończony podzbiór zbioru
E ma punkt skupienia należący do E. (Weierstrass) Każdy
nieskończony i ograniczony podzbiór przestrzeni euklidesowej kwymiarowej ma punkt skupienia w tej przestrzeni. Jeśli X jest
przestrzenią metryczną i Y jest podzbiorem X, to zbiór E zawarty w Y
jest spójny w przestrzeni Y wtedy i tylko wtedy, gdy jest spójny w
przestrzeni X. Podzbiór E przestrzeni R jest spójny wtedy i tylko
wtedy, gdy ma następującą własność: jeśli x, y należą do E i x < z < y, to
z należy do E. Charakteryzacja zbiorów spójnych na R. Domknięcie,
wnętrze i brzeg zbioru.
(b) Ciała. Przestrzenie wektorowe, unormowane, topologiczne.
Ciągi liczbowe
(w przestrzeniach metrycznych)
W1-W4
Wykład
Definicja ciągu zbieżnego. Ciąg ograniczony. Jeśli dany jest ciąg w
przestrzeni metrycznej, to: (a) jest zbieżny do punktu tej przestrzeni
wtedy i tylko wtedy, gdy każde otoczenie tego punktu zawiera prawie
wszystkie wyrazy ciągu; (b) granica tego ciągu jest wyznaczona
jednoznacznie; (c) jeśli ciąg ten jest zbieżny, to jest ograniczony. Jeśli p
jest punktem skupienia podzbioru E zbioru X, to istnieje ciąg
elementów zbioru E, zbieżny do p. Działania na granicach ciągów.
Podciągi. Warunek Cauchy'ego. Zupełność. Przestrzenie Banacha.
Każdy ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej jest ciągiem Cauchy'ego.
Ciąg w przestrzeni euklidesowej k-wymiarowej jest zbieżny wtedy i
tylko wtedy, gdy jest ciągiem Cauchy'ego. W R ciąg monotoniczny jest
zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony. Ciągi rozbieżne i
rozbieżne do nieskończoności. Granice: górna i dolna ciągu.
Twierdzenie o trzech ciągach. Granice nα, xn , a1/n , n1/n . Zbieżność
(1+1/n)n. Definicja liczby e. Dowód niewymierności liczby e.
Szeregi liczbowe
(w przestrzeniach metrycznych)
Kryterium kondensacyjne Cauchy'ego. Warunek konieczny zbieżności
szeregu. Szereg harmoniczny. Kryteria: porównawcze, Cauchy'ego,
D'Alemberta, Dirichleta, Abela, Leibniza. Działania na szeregach.
Szeregi zbieżne: bezwzględnie, warukowo, bezwarunkowo. Iloczyn
Cauchy'ego szeregów - twierdzenie Martensa. Zmiana porządku
20
składników szeregu - twierdzenie Riemanna.
K_U01K_U04
Konwersatorium
K_U01K_U06,
K-U08
Konwersatorium
Liczby naturalne: aksjomat dobrego uporządkowania, indukcja. Liczby
rzeczywiste. Liczby: całkowite, wymierne i niewymierne. Relacja <.
Wartość bezwzględna. Pierwiastek. Ograniczenia i kresy zbiorów.
Zasada ciągłości. Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych. Liczby
zespolone: nierówność Schwarza; argument; wzór de Moivre'a;
pierwiastki. Przestrzenie k-wymiarowe (rzeczywiste i zespolone) :
Iloczyn skalarny; Norma euklidesowa i przestrzeń euklidesowa.
Definicja funkcji. Obrazy i przeciwobrazy. Odwzorowanie
różnowartościowe (wzajemnie jednoznaczne, 1-1 odwzorowanie).
Liczba kardynalna. Relacja równoliczności. Zbiór przeliczalny i zbiór
nieprzeliczalny. Przeliczalna suma zbiorów przeliczalnych jest zbiorem
przeliczalnym. Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny. Zbiór liczb
rzeczywistych jest nieprzeliczalny.
6
4
Przestrzeń metryczna
K_U06,
K_U23
Kula otwarta i kula domknięta. Otoczenie punktu. Punkt skupienia
zbioru. Punkt izolowany zbioru. Zbiór domknięty. Punkt wewnętrzny
zbioru. Zbiór otwarty. Dopełnienie zbioru. Zbiór ograniczony. Zbiór E
gęsty w X, ośrodkowość przestrzeni. Kula otwarta (domknięta) jest
zbiorem otwartym (domkniętym). Dowolne otoczenie punktu skupienia
zbioru zawiera nieskończenie wiele punktów tego zbioru. Zbiór G jest
otwarty (domknięty) wtedy i tylko wtedy, gdy jego dopełnienie jest
zbiorem domkniętym (otwartym). Suma (iloczyn) zbiorów otwartych
(domkniętych) jest zbiorem otwartym (domkniętym). Skończona suma
(skończony iloczyn) zbiorów domkniętych (otwartych) jest zbiorem
domkniętym (otwartym). Zbiór domknięty w R, ograniczony z góry (z
dołu) zawiera kres górny (dolny). Jeśli X jest przestrzenią metryczną i
Y jest zawarty w X, to zbiór E jest otwarty (domknięty) w Y wtedy i
tylko wtedy, gdy istnieje zbiór G otwarty (F domknięty) w X taki, że E
jest iloczynem G i Y (E jest iloczynem F i Y). Jeśli X jest przestrzenią
metryczną i Y jest zawarty w X, to zbiór K jest zwarty w przestrzeni Y
wtedy i tylko wtedy, gdy jest zwarty w przestrzeni X. Zwarty podzbiór
przestrzeni metrycznej jest zbiorem domkniętym w tej przestrzeni.
Konwer- Domknięty podzbiór zbioru zwartego jest zbiorem zwartym. Każda
satorium kostka k-wymiarowa jest zbiorem zwartym. Jeśli rodzina zwartych
podzbiorów przestrzeni metrycznej X posiada tę własność, że iloczyn
dowolnej skończonej podrodziny rodziny tej rodziny nie jest pusty, to
iloczyn elementów rodziny jest niepusty. Jeśli E jest nieskończonym
podzbiorem zbioru zwartego K, to E ma punkt skupienia należący do K.
W przestrzeni euklidesowej k-wymiarowej następujące warunki są
równoważne: (i) E jest zbiorem zwartym; (ii) E jest zbiorem
domkniętym i ograniczonym; (iii) każdy nieskończony podzbiór zbioru
E ma punkt skupienia należący do E. (Weierstrass) Każdy
nieskończony i ograniczony podzbiór przestrzeni euklidesowej kwymiarowej ma punkt skupienia w tej przestrzeni. Jeśli X jest
przestrzenią metryczną i Y jest podzbiorem X, to zbiór E zawarty w Y
jest spójny w przestrzeni Y wtedy i tylko wtedy, gdy jest spójny w
przestrzeni X. Podzbiór E przestrzeni R jest spójny wtedy i tylko
wtedy, gdy ma następującą własność: jeśli x, y należą do E i x < z < y, to
z należy do E. Charakteryzacja zbiorów spójnych na R. Domknięcie,
wnętrze i brzeg zbioru.
8
Ciała. Przestrzenie wektorowe,
unormowane, topologiczne
Podstawowe pojęcia.
K_U10
Konwer-
Ciągi liczbowe
10
satorium
(w przestrzeniach metrycznych)
Definicja ciągu zbieżnego. Ciąg ograniczony. Jeśli dany jest ciąg w
przestrzeni metrycznej, to: (a) jest zbieżny do punktu tej przestrzeni
wtedy i tylko wtedy, gdy każde otoczenie tego punktu zawiera prawie
wszystkie wyrazy ciągu; (b) granica tego ciągu jest wyznaczona
jednoznacznie; (c) jeśli ciąg ten jest zbieżny, to jest ograniczony. Jeśli p
jest punktem skupienia podzbioru E zbioru X, to istnieje ciąg
elementów zbioru E, zbieżny do p. Działania na granicach ciągów.
Podciągi. Warunek Cauchy'ego. Zupełność. Przestrzenie Banacha.
Każdy ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej jest ciągiem Cauchy'ego.
Ciąg w przestrzeni euklidesowej k-wymiarowej jest zbieżny wtedy i
tylko wtedy, gdy jest ciągiem Cauchy'ego. W R ciąg monotoniczny jest
zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony. Ciągi rozbieżne i
rozbieżne do nieskończoności. Granice: górna i dolna ciągu.
Twierdzenie o trzech ciągach. Granice nα, xn , a1/n , n1/n . Zbieżność
(1+1/n)n. Definicja liczby e. Dowód niewymierności liczby e.
Szeregi liczbowe
(w przestrzeniach metrycznych)
Kryterium kondensacyjne Cauchy'ego. Warunek konieczny zbieżności
szeregu. Szereg harmoniczny. Kryteria: porównawcze, Cauchy'ego,
D'Alemberta, Dirichleta, Abela, Leibniza. Działania na szeregach.
Szeregi zbieżne: bezwzględnie, warukowo, bezwarunkowo. Iloczyn
Cauchy'ego szeregów - twierdzenie Martensa. Zmiana porządku
składników szeregu - twierdzenie Riemanna.
Efekty kształcenia
Student, który zaliczył przedmiot
Odniesienie do efektów
kształcenia
w zakresie WIEDZY
dla kierunku
Kod
W3
Student zna liczby rzeczywiste i zespolone, przestrzenie euklidesowe
k-wymiarowe oraz pojęcia normy i przestrzeni unormowanej.
Student zna funkcje i zagadnienia równoliczności, przeliczalności i
nieprzeliczalności zbiorów.
Student zna przestrzenie metryczne.
W4
Student zna ciągi i szeregi liczbowe.
W1
W2
U1
U2
U3
U4
K1
w zakresie KOMPETENCJI
Student potrafi formułować opinie na temat podstawowych
zagadnień z zakresu prostych przestrzeni, teorii zbiorów i
odwzorowań oraz teorii zbieżności ciągów i szeregów liczbowych.
Metody weryfikacji efektów kształcenia
Efekty
kształcęnia
(kody)
W1
W2
W3
W4
Egzamin
pisemny
Projekt
K_W01-K_W06
K_W01-K_W06
K_W01-K_W06
w zakresie UMIEJĘTNOŚCI
Student potrafi wykonywać działania na liczbach rzeczywistych i
zespolonych oraz potrafi wyznaczać iloczyn skalarny i normę
wektorów.
Student potrafi zbadać monotoniczność, różnowartościowość,
parzystość i nieparzystość funkcji oraz równoliczność zbiorów
Student potrafi sprawdzić, że przestrzeń jest przestrzenią
metryczną oraz potrafi zbadać czy podzbiór prostej przestrzeni
metrycznej jest otwarty, domknięty, zwarty czy spójny.
Student potrafi zbadać zbieżność ciągów i szeregów
Egzamin ustny
K_W01-K_W05
Kolokwium
U1
U2
U3
U4
K1
Sprawozdanie
K_U01-K_U03,
K_U08
K_U09
K_U06
K-U10
K_K01-K_K07
Referat/
prezentacja
Inne
Punkty ECTS
Obciążenie studenta
Liczba punktów
Liczba godzin
ECTS
Godziny kontaktowe z nauczycielem akademickim, w tym:
wykłady
45
Forma aktywności
konwersatoria
30
1,2
Konsultacje przedmiotowe w ramach wykładów
30
1,2
Konsultacje
przedmiotowe
w
ramach
konwersatorium/ćwiczeń
Łącznie godzin/punktów ECTS wynikających z zajęć
kontaktowych z nauczycielem akademickim
105
4
Ćwiczenia
Godziny bez udziału nauczyciela akademickiego wynikające z nakładu pracy studenta, w tym:
Przygotowanie się do egzaminu + zdawanie egzaminu
40
1,6
Przygotowanie się do kolokwium zaliczeniowego
30
1,2
25
1
95
4
200
8
52%
52%
Przygotowanie się do zajęć, w tym studiowanie zalecanej
literatury w ramach wykładów
Przygotowanie się do zajęć, w tym studiowanie zalecanej
literatury w ramach konwersatorium/ćwiczeń
Przygotowanie raportu, projektu, prezentacji, dyskusji
Łącznie godzin/punktów ECTS wynikających z
samodzielnej pracy studenta
Sumaryczna liczba godzin/punktów ECTS dla
przedmiotu wynikająca z całego nakładu pracy
studenta
Odsetek godzin/punktów ECTS wynikających z zajęć
kontaktowych z nauczycielem akademickim