Fourierowska analiza sygnałów: podstawowe definicje, własności

Najczęściej sygnały analizujemy w dziedzinie czasu lub w
dziedzinie częstotliwości. Narzędziami umożliwiającymi
poruszanie się pomiędzy tymi dziedzinami są transformata
Fouriera oraz odwrotna transformata Fouriera. Dzięki analizie
fourierowskiej możemy dowiedzieć się jakie składowe obecne
są w sygnale oraz w jakich względnych ilościach w nim
występują.
Transformacja Fouriera jest operatorem liniowym określanym na
pewnych przestrzeniach funkcyjnych, elementami których są funkcje
n zmiennych rzeczywistych. Została nazwana na cześć Jeana
Baptiste'a Josepha Fouriera. Wynikiem transformacji Fouriera jest
funkcja nazywana transformatą Fouriera.
Transformacja Fouriera rozkłada funkcję okresową na szereg funkcji
okresowych tak, że uzyskana transformata podaje w jaki sposób
poszczególne częstotliwości składają się na pierwotną funkcję.
Transformata Fouriera jest podstawowym narzędziem analizy
harmonicznej i teorii analizy i przetwarzania sygnału.
Transformata Fouriera przetwarza funkcję w ten sposób, że
wyeksponowane są jej własności okresowe, częstotliwościowe.
Przekształcenie jest bezstratne i funkcja może zostać
zrekonstruowana ze swojej transformaty Fouriera. Transformata
Fouriera po raz pierwszy pojawiła się przy okazji badania
zjawiska przepływu ciepła, obecnie pojawia się w wielu
dziedzinach matematyki i w wielu praktycznych zastosowaniach.
Dla funkcji f(x) transformatę Fouriera
definiujemy następująco:
Przy tak postawionej definicji możemy f(x)
zapisać w następujący sposób:
Bardzo często w fizyce i innych naukach ścisłych mierzone wielkości
mają charakter okresowy, tzn. taki, który powoduje powtarzanie się
danej wielkości fizycznej z określonym okresem. Zazwyczaj taką
funkcję okresową można przedstawić w postaci nieskończonego
szeregu trygonometrycznego zwanego też szeregiem Fouriera.
Własności funkcji f(x)
Własności transformaty
F(s)
Rzeczywista i parzysta
Rzeczywista i parzysta
Rzeczywista i nieparzysta
Urojona i parzysta
Urojona i parzysta
Urojona i parzysta
Zespolona i parzysta
Zespolona i parzysta
Zespolona i nieparzysta
Zespolona i nieparzysta
Rzeczywista i antysymatryczna
Zespolona i hermitowska
Suma parzystej funkcji rzeczywistej i
nieparzystej funkcji urojonej
Rzeczywista
Suma nieparzystej funkcji rzeczywistej
i parzystej funkcji urojonej
Urojona
Parzysta
Parzysta
Nieparzysta
nieparzysta






W fizyce
W elektronice
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
Kompresja mp3
Kompresja jpeg
Filtracja obrazów