Funkcje dwóch i trzech zmiennych Niech R2 = {(x, y) : x, y ∈ R

Funkcje dwóch i trzech zmiennych
Niech R2 = {(x, y) : x, y ∈ R} oznacza płaszczyznę,
R3 = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R} przestrzeń.
Odległość punktów będziemy określali następująco:
|P1 P0 | =
|P1 P0 | =
q
(x1 − x0 )2 + (y1 − y0 )2 , P0 = (x0 , y0 ), P1 = (x1 , y1 ),
q
(x1 − x0 )2 + (y1 − y0 )2 + (z1 − z0 )2 , P0 = (x0 , y0 , z0 ), P1 = (x1 , y1 , z1 ).
Definicja 1 Otoczeniem o promieniu r > 0 punktu P0 na płaszczyźnie lub w przestrzeni
nazywamy zbiór
n
o
O(P0 , r) = P ∈ R2 (R3 ) : |P0 P | < r .
Definicja 2 Zbiór jest otwarty, jeżeli każdy punkt tego zbioru jest zawarty w tym zbiorze
wraz z pewnym swoim otoczeniem
Definicja 3 Funkcją f dwóch (trzech) zmiennych określoną na zbiorze A ⊂ R2 (R3 ) o
wartościach w R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie
jednej liczby rzeczywistej.
z = f (x, y), (x, y) ∈ A
Zbiór A nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez Df .
Definicja 4 Wykresem funkcji dwóch zmiennych nazywamy zbiór
{(x, y, f (x, y)) : (x, y) ∈ Df } .
Definicja 5 Poziomicą wykresu funkcji f , odpowiadającą poziomowi h ∈ R, nazywamy
zbiór
{(x, y) ∈ Df : f (x, y) = h} .
Niech f będzie określona na zbiorze otwartym D zawierającym punkt (x0 , y0 ).
Definicja 6 f jest ciągła w punkcie (x0 , y0 ), gdy
^ _
^
>0 δ>0 (x,y)∈D
q
[( (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ) ⇒ (|f (x, y) − f (x0 , y0 )| < )]
Pochodne cząstkowe
Definicja 7 Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem x w punkcie (x0 , y0 )
określamy wzorem
∂f
f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) = lim
,
∆x→0
∂x
∆x
o ile ta granica istnieje.
Uwaga 1 Niech F (x) = f (x, y0 ). Wtedy
∂f
(x0 , y0 )
∂x
= F 0 (x0 ).
Analogicznie
∂f
f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) = lim
,
∆y→0
∂y
∆y
o ile ta granica istnieje.
Uwaga 2 Niech G(y) = f (x0 , y). Wtedy
∂f
(x0 , y0 )
∂y
= G0 (y0 ).
Definicja 8 Jeżeli f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w każdym punkcie zbioru
otwartego D ⊂ R2 , to funkcje
∂f
∂f
(x, y),
(x, y), gdzie (x, y) ∈ D
∂x
∂y
nazywamy pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu f na zbiorze D.
Płaszczyzna styczna
Załóżmy, że pochodne cząstkowe ∂f
, ∂f są ciągłe w punkcie (x0 , y0 ). Wtedy płaszczyzna
∂x ∂y
o równaniu
∂f
∂f
(x0 , y0 )(x − x0 ) +
(x0 , y0 )(y − y0 ) + f (x0 , y0 )
z=
∂x
∂y
jest styczna do wykresu funkcji z = f (x, y) w punkcie (x0 , y0 , f (x0 , y0 )).
Pochodne cząstkowe wyższych rzędów
Niech f ma pochodne
∂f ∂f
,
∂x ∂y
na zbiorze otwartym D oraz niech (x0 , y0 ) ∈ D.
Definicja 9 Pochodne cząstkowe drugiego rzędu f w punkcie (x0 , y0 ) określamy wzorami:
∂ 2f
∂ ∂f
( )(x0 , y0 ) = fxx (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) =
2
∂x
∂x ∂x
∂ 2f
∂ ∂f
(x0 , y0 ) =
( )(x0 , y0 ) = fxy (x0 , y0 )
∂x∂y
∂x ∂y
∂ 2f
∂ ∂f
(x0 , y0 ) =
( )(x0 , y0 ) = fyx (x0 , y0 )
∂y∂x
∂y ∂x
∂ 2f
∂ ∂f
( )(x0 , y0 ) = fyy (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) =
2
∂y
∂y ∂y
Twierdzenie 1 (Schwartza o pochodnych mieszanych)
∂2f
∂2f
, ∂y∂x
istnieją na otoczeniu punktu (x0 , y0 ) oraz będą ciągłe
Niech pochodne cząstkowe ∂x∂y
w punkcie (x0 , y0 ). Wtedy
∂ 2f
∂ 2f
(x0 , y0 ) =
(x0 , y0 ).
∂x∂y
∂y∂x
Pochodna cząstkowa n-tego rzędu
∂ nf
(x0 , y0 ), gdzie k + l = n
∂y k ∂xl
-pochodna cząstkowa n-tego rzędu funkcji f w punkcie (x0 , y0 ) powstała w wyniku lkrotnego różniczkowania względem zmiennej x i następnie k-krotnego różniczkowania
względem zmiennej y
Pochodna kierunkowa funkcji
Niech ~v = (vx , vy ) będzie wersorem na płaszczyźnie. Niech f będzie określona na zbiorze
otwartym D ⊂ R2 oraz niech punkt (x0 , y0 ) ∈ D.
Definicja 10 Pochodną kierunkową funkcji f w punkcie (x0 , y0 ) w kierunku wersora ~v
określamy wzorem:
f (x0 + tvx , y0 + tvy ) − f (x0 , y0 )
∂f
(x0 , y0 ) = lim+
.
t→0
∂~v
t
Uwaga 3 Niech F (t) = f (x0 + tvx , y0 + tvy ). Wtedy
∂f
(x0 , y0 )
∂~v
= F+0 (0).
Gradient funkcji
Definicja 11 Niech istnieją pochodne cząstkowe
f w punkcie (x0 , y0 ) nazywamy wektor
grad f (x0 , y0 ) = (
∂f
(x0 , y0 ), ∂f
(x0 , y0 ).
∂x
∂y
∂f
∂f
(x0 , y0 ),
(x0 , y0 )).
∂x
∂y
Gradientem funkcji
Twierdzenie 2 Niech pochodne
punkcie (x0 , y0 ) ∈ D. Wtedy
∂f ∂f
,
∂x ∂y
istnieją na zbiorze otwartym D i będą ciągłe w
∂f
(x0 , y0 ) = grad f (x0 , y0 ) ◦ ~v .
∂~v
Interpretacja geometryczna
Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w tym punkcie.
Ekstrema lokalne
Niech f będzie określona na zbiorze otwartym D zawierającym punkt (x0 , y0 ).
Definicja 12 f ma w punkcie (x0 , y0 ) minimum lokalne, jeżeli
_
^
δ>0 (x,y)∈D
[(x, y) ∈ O((x0 , y0 ), δ) ⇒ f (x, y) ­ f (x0 , y0 )].
Twierdzenie 3 (Warunek konieczny istnienia ekstremum)
Niech f będzie określone na otoczeniu punktu (x0 , y0 ). Jeśli f ma ekstremum lokalne w
(x0 , y0 ) i istnieją pochodne cząstkowe ∂f
(x0 , y0 ), ∂f
(x0 , y0 ) to
∂x
∂y
∂f
∂f
(x0 , y0 ) =
(x0 , y0 ) = 0.
∂x
∂y
Twierdzenie 4 (Warunek wystarczający istnienia ekstremum)
Jeżeli f ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego na otoczeniu punktu (x0 , y0 ) i
∂f
(x0 , y0 ) = ∂f
(x0 , y0 ) = 0 oraz
∂x
∂y

det 
∂2f
(x0 , y0 )
∂x2
2
∂ f
(x0 , y0 )
∂x∂y
∂2f
(x0 , y0 )
∂x∂y
2
∂ f
(x0 , y0 )
∂y 2


>0
to f ma ekstremum lokalne w (x0 , y0 ) i jest to :
2
minimum lokalne właściwe , gdy ∂∂xf2 (x0 , y0 ) > 0 albo
2
maksimum lokalne właściwe, gdy ∂∂xf2 (x0 , y0 ) < 0.
Uwaga 4 Jeśli det[ ] < 0, to f nie ma w (x0 , y0 ) ekstremum lokalnego.
Ekstrema warunkowe
Definicja 13 Funkcja f ma w punkcie (x0 , y0 ) minimum lokalne właściwe z warunkiem
g(x, y) = 0 gdy g(x0 , y0 ) = 0 i
_
^
δ>0 (x,y)∈D
[(x, y) ∈ S((x0 , y0 ), δ) ∧ g(x, y) = 0] ⇒ [f (x, y) > f (x0 , y0 )]
Zbiory domknięte
Niech A będzie zbiorem na płaszczyźnie lub w przestrzeni:
Definicja 14 Punkt P jest punktem brzegowym zbioru A jeżeli
^
r>0
A0 -dopełnienie zbioru A.
O(P, r) ∩ A 6= ∅ oraz O(P, r) ∩ A0 6= ∅.
Definicja 15 Brzegiem zbioru nazywamy zbiór wszystkich jego punktów brzegowych.
Definicja 16 Zbiór jest domknięty jeżeli zawiera swój brzeg.
Definicja 17 Zbiór D jest ograniczony jeżeli jest zawarty w otoczeniu pewnego punktu
__
D ⊂ O(P0 , r).
P0 r>0
Twierdzenie 5 (Weierstrassa o osiąganiu kresów)
Jeżeli zbiór D jest domknięty i ograniczony i funkcja f jest ciągła na D, to
_
f (x1 , y1 ) = sup {f (x, y) : (x, y) ∈ D}
(x1 ,y1 )∈D
_
(x2 ,y2 )∈D
f (x2 , y2 ) = inf {f (x, y) : (x, y) ∈ D}
Znajdowanie wartości największej i najmniejszej funkcji ciągłej na
zbiorze domkniętym
1. Na zbiorze otwartym szukamy punktów, w których funkcja może mieć ekstrema lokalne.
2. Na brzegu zbioru szukamy punktów, w których funkcja może mieć ekstrema lokalne
(ekstrema warunkowe).
Wśród wartości funkcji w tych punktach znajduje się wartość największa i najmniejsza.
Całki podwójne
Całka podwójna po prostokącie
Niech P = {(x, y) : a ¬ x ¬ b, c ¬ y ¬ d} = [a, b] × [c, d]
i P = {P1 , P2 , ..., Pn } będzie podziałem prostokąta P na prostokąty Pk , 1 ¬ k ¬ n.
Oznaczmy
∆xk , ∆yk
-wymiary prostokąta Pk , 1 ¬ k ¬ n,
dk =
q
(∆xk )2 + (∆yk )2
-długość przekątnej prostokąta Pk , 1 ¬ k ¬ n,
δ(P) = max {dk : 1 ¬ k ¬ n}
-średnica podziału P,
(x∗k , yk∗ ) ∈ Pk
-punkt pośredni k-tego prostokąta podziału P, 1 ¬ k ¬ n
Σ = {(x∗k , yk∗ ) : 1 ¬ k ¬ n}
-zbiór punktów pośrednich podziału P.
Niech funkcja f będzie ograniczona na prostokącie P.
Definicja 18 Sumę
σ(f, P) =
n
X
f (x∗k , yk∗ )∆xk ∆yk
k=1
nazywamy sumą całkową.
Ciąg podziałów (Pn ) nazywamy ciągiem normalnym podziałów prostokąta P jeżeli
lim δ(Pn ) = 0.
n→∞
Definicja 19 Całkę podwójną z funkcji f po prostokącie P określamy wzorem
RR
P
f (x, y)dxdy = lim σ(f, Pn )
n→∞
gdzie (Pn ) jest normalnym ciągiem podziałów, o ile granica jest właściwa i taka sama dla
dowolnego normalnego ciągu podziałów (Pn ) oraz nie zależy od sposobów wyboru punktów
pośrednich Σn
Twierdzenie 6 (Warunek wystarczający całkowania funkcji)
Funkcja ograniczona w prostokącie P jest całkowalna, jeżeli wszystkie jej punkty nieciągłości leżą na skończonej ilości krzywych postaci y = y(x) lub x = x(y).
Twierdzenie 7 Jeżeli f i g są całkowalne na prostokącie P oraz c ∈ R, to
RR
P
(f (x, y) + g(x, y))dxdy =
RR
P
RR
P
RR
P
f (x, y)dxdy +
cf (x, y)dxdy = c
f (x, y)dxdy =
RR
P1
RR
P
RR
P
g(x, y)dxdy,
f (x, y)dxdy,
f (x, y)dxdy +
RR
P2
f (x, y)dxdy
gdzie {P1 , P2 } jest podziałem prostokąta P na prostokąty P1 , P2 .
Twierdzenie 8 Jeżeli istnieje
x, to
RR
P
RR
P
f (x, y)dxdy =
f (x, y)dxdy oraz istnieje całka
Rd
f (x, y)dy dla każdego
c
Zb
dx
Zd
f (x, y)dy =
dy
Zb
f (x, y)dx.
a
c
c
a
Zd
Wniosek 1 Niech funkcja f będzie ciągła na prostokącie P = [a, b] × [c, d]. Wtedy
RR
P
f (x, y)dxdy =
Zb
a
dx
Zd
c
f (x, y)dy =
Zd
c
dy
Zb
a
f (x, y)dx.
Interpretacja geometryczna
Niech V = {(x, y, z) : (x, y) ∈ P, 0 ¬ z ¬ f (x, y)} . Wtedy
|V | =
RR
P
f (x, y)dxdy.
Obszary
Definicja 20 Zbiór D ⊂ R2 (R3 ) nazywamy obszarem, jeżeli jest otwarty i każde dwa
punkty zbioru można połączyć łamaną całkowicie w nim zawartą.
Obszar łącznie ze swoim brzegiem nazywamy obszarem domkniętym.
Całka podwójna po obszarze
Niech f będzie funkcją ograniczoną na obszarze ograniczonym D ⊂ R2 .
Niech P będzie dowolnym prostokątem takim, że D ⊂ P. Określamy funkcję
(
∗
f (x, y) =
f (x, y) dla
(x, y) ∈ D
0
dla (x, y) ∈ R2 − D.
Definicja 21 Całkę podwójną z funkcji f po obszarze D określamy wzorem
RR
D
f (x, y)dxdy =
RR
P
f ∗ (x, y)dxdy.
Definicja 22 a) Obszarem normalnym względem osi Ox nazywamy zbiór
{(x, y) : a ¬ x ¬ b, g(x) ¬ y ¬ h(x)}
gdzie funkcje g i h są ciągłe na [a, b] oraz g(x) < h(x) dla każdego x ∈ (a, b).
b) Obszarem normalnym względem osi Oy nazywamy zbiór
{(x, y) : c ¬ y ¬ d, p(y) ¬ x ¬ q(y)}
gdzie funkcje p i q są ciągłe na [c, d] oraz p(y) < q(y) dla każdego y ∈ (c, d).
Twierdzenie 9 Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze normalnym
a) D = {(x, y) : a ¬ x ¬ b, g(x) ¬ y ¬ h(x)}, to
RR
D
f (x, y)dxdy =
Zb h(x)
Z
f (x, y)dy)dx,
(
a g(x)
b)D = {(x, y) : c ¬ y ¬ d, p(y) ¬ x ¬ q(y)} , to
RR
D
f (x, y)dxdy =
Zd q(y)
Z
(
c p(y)
f (x, y)dx)dy.
Całka podwójna po obszarze regularnym
Definicja 23 Obszar D, który jest sumą skończonej liczby obszarów normalnych ( względem osi Ox lub Oy ) D1 , ..., Dn o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy obszarem
regularnym na płaszczyźnie.
Twierdzenie 10 Jeżeli funkcja f jest całkowalna na obszarze regularnym D, to
RR
D
f (x, y)dxdy =
RR
f (x, y)dxdy + ... +
D1
RR
Dn
f (x, y)dxdy.
Zamiana zmiennych w całkach podwójnych
Współrzędne biegunowe
P = (x, y) ≈ (ϕ, ρ),
gdzie ϕ-miara kąta między dodatnią częścią osi Ox a promieniem wodzącym punktu P
0 ¬ ϕ < 2π (albo −π < ϕ ¬ π),
ρ-odległość punktu P od początku układu współrzędnych.
(
B :=
x = ρcosϕ
y = ρsinϕ.
B- przekształcenie, które parze (ϕ, ρ) przyporządkowuje parę (x, y).
Twierdzenie 11 Niech obszar U we współrzędnych biegunowych będzie obszarem normalnym i ma postać
U = {(ϕ, ρ) : α ¬ ϕ ¬ β, g(ϕ) ¬ ρ ¬ h(ϕ)} ,
gdzie funkcje nieujemne g i h są ciągłe na przedziale [α, β] ⊂ [0, 2π]. Niech f będzie ciągła
na obszarze D = B(U ). Wtedy
RR
D
f (x, y)dxdy =
Zβ h(ϕ)
Z
[
α g(ϕ)
RR
U
f (ρcosϕ, ρsinϕ)ρdρdϕ =
f (ρcosϕ, ρsinϕ)ρdρ]dϕ.
Całki potrójne
Całka potrójna po prostopadłościanie
Niech P = {(x, y, z) : a ¬ x ¬ b, c ¬ y ¬ d, p ¬ z ¬ q} = [a, b] × [c, d] × [p, q]
i P = {P1 , P2 , ..., Pn } będzie podziałem prostopadłościanu P na prostopadłościany Pk , 1 ¬
k ¬ n.
Oznaczmy
∆xk , ∆yk , ∆zk
-wymiary prostopadłościanu Pk , 1 ¬ k ¬ n,
dk =
q
(∆xk )2 + (∆yk )2 + (∆zk )2
-długość przekątnej prostopadłościanu Pk , 1 ¬ k ¬ n,
δ(P) = max {dk : 1 ¬ k ¬ n}
-średnica podziału P,
(x∗k , yk∗ , zk∗ ) ∈ Pk
-punkt pośredni k-tego prostopadłościanu podziału P, 1 ¬ k ¬ n
Σ = {(x∗k , yk∗ , zk∗ ) : 1 ¬ k ¬ n}
-zbiór punktów pośrednich podziału P.
Niech funkcja f będzie ograniczona na prostopadłościanie P.
Definicja 24 Sumę
σ(f, P) =
n
X
f (x∗k , yk∗ , zk∗ )∆xk ∆yk ∆zk
k=1
nazywamy sumą całkową.
Ciąg podziałów (Pn ) nazywamy ciągiem normalnym podziałów prostopadłościanu P jeżeli
lim δ(Pn ) = 0.
n→∞
Definicja 25 Całkę potrójną z funkcji f po prostopadłościanie P określamy wzorem
RRR
P
f (x, y, z)dxdydz = lim σ(f, Pn )
n→∞
gdzie (Pn ) jest normalnym ciągiem podziałów, o ile granica jest właściwa i taka sama dla
dowolnego normalnego ciągu podziałów (Pn ) oraz nie zależy od sposobów wyboru punktów
pośrednich Σn
Interpretacja fizyczna całki potrójnej
Niech f oznacza gęstość objętościową masy. Wtedy prostopadłościan P ma masę
M=
RRR
P
f (x, y, z)dxdydz.
Twierdzenie 12 Jeżeli f i g są całkowalne na prostopadłościanie P oraz α ∈ R, β ∈ R,
to
RRR
P
(αf (x, y, z) + βg(x, y, z))dxdydz = α
RRR
P
f (x, y, z)dxdydz =
RRR
P1
RRR
P
f (x, y, z)dxdydz + β
f (x, y, z)dxdydz +
RRR
P2
RRR
P
g(x, y, z)dxdydz,
f (x, y, z)dxdydz
gdzie {P1 , P2 } jest podziałem prostopadłościanu P na prostopadłościany P1 , P2 .
Twierdzenie 13 (O zamianie całki potrójnej na iterowaną)
Niech funkcja f będzie ciągła na prostopadłościanie P = [a, b] × [c, d] × [p, q]. Wtedy
RRR
P
f (x, y, z)dxdydz =
Zb
a
dx
Zd
c
dy
Zq
p
f (x, y, z)dz
Całka potrójna po obszarze
Niech f będzie funkcją ograniczoną na obszarze ograniczonym V ⊂ R3 .
Niech P będzie dowolnym prostopadłościanem zawierającym obszar V. Określamy funkcję
(
∗
f (x, y, z) =
f (x, y, z) dla
(x, y, z) ∈ V
0
dla (x, y, z) ∈ R3 − V.
Definicja 26 Całkę potrójną z funkcji f po obszarze V określamy wzorem
RRR
V
f (x, y, z)dxdydz =
RRR
P
f ∗ (x, y, z)dxdydz.
Definicja 27 a) Obszarem normalnym względem płaszczyzny xOy nazywamy zbiór
{(x, y, z) : (x, y) ∈ U, D(x, y) ¬ z ¬ G(x, y)}
gdzie U jest obszarem regularnym na xOy, funkcje D i G są ciągłe na U , przy czym
D(x, y) < G(x, y) dla (x, y) należących do wnętrza obszaru U.
Analogicznie:
b) względem xOz
{(x, y, z) : (x, z) ∈ U, D(x, z) ¬ y ¬ G(x, z)}
c) względem yOz
{(x, y, z) : (y, z) ∈ U, D(y, z) ¬ x ¬ G(y, z)} .
Twierdzenie 14 Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze
V = {(x, y, z) : (x, y) ∈ U, D(x, y) ¬ z ¬ G(x, y)}
normalnym względem płaszczyzny xOy, gdzie funkcje D i G są ciągłe na obszarze regularnym U , to
RRR
V
f (x, y, z)dxdydz =
RR
U
(
G(x,y)
Z
f (x, y, z)dz)dxdy.
D(x,y)
Jeżeli
U = {(x, y) : a ¬ x ¬ b, d(x) ¬ y ¬ g(x)} ,
gdzie d i g są ciągłe na [a, b], to
RRR
V
f (x, y, z)dxdydz =
Zb
a
dx
g(x)
Z
d(x)
dy
G(x,y)
Z
D(x,y)
f (x, y, z)dz.
Całka potrójna po obszarze regularnym
Definicja 28 Obszar V , który jest sumą skończonej liczby obszarów normalnych ( względem płaszczyzn układu ) V1 , ..., Vn o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy obszarem
regularnym w przestrzeni.
Twierdzenie 15 Jeżeli funkcja f jest całkowalna na obszarze regularnym V , to
RRR
V
f (x, y, z)dxdydz =
RRR
V1
f (x, y, z)dxdydz + ... +
RRR
Vn
f (x, y, z)dxdydz.
Zamiana zmiennych w całkach potrójnych
Współrzędne walcowe
P = (x, y, z) ≈ (ϕ, ρ, h),
gdzie (ϕ, ρ)- współrzędne biegunowe (x, y),
0 ¬ ϕ < 2π, (−π < ϕ ¬ π), 0 ¬ ρ < ∞, −∞ < h < ∞



x = ρcosϕ
W :=  y = ρsinϕ

z=
h.
W - przekształcenie, które trójce (ϕ, ρ, h) przyporządkowuje trójkę (x, y, z).
Twierdzenie 16 Niech obszar U we współrzędnych walcowych będzie obszarem normalnym i ma postać
U = {(ϕ, ρ, h) : α ¬ ϕ ¬ β, d(ϕ) ¬ ρ ¬ g(ϕ), D(ϕ, ρ) ¬ h ¬ G(ϕ, ρ)} ,
gdzie funkcje nieujemne d i g są ciągłe na przedziale [α, β], a D i G są ciągłe na obszarze
{(ϕ, ρ) : α ¬ ϕ ¬ β, d(ϕ) ¬ ρ ¬ g(ϕ)} .
Jeżeli f jest ciągła na obszarze V = W (U ), to
RRR
V
Zβ
α
dϕ
g(ϕ)
Z
d(ϕ)
dρ
f (x, y, z)dxdydz =
G(ϕ,ρ)
Z
D(ϕ,ρ)
f (ρcosϕ, ρsinϕ, h)ρdh.
Współrzędne sferyczne
P = (x, y, z) ≈ (ϕ, ψ, ρ),
0 ¬ ϕ < 2π, (−π < ϕ ¬ π), − π2 ¬ ψ ¬ π2 , 0 ¬ ρ < ∞.



x = ρcosϕcosψ
S := y = ρsinϕcosψ


z=
ρsinψ.
S- przekształcenie, które trójce (ϕ, ψ, ρ) przyporządkowuje trójkę (x, y, z).
Twierdzenie 17 Niech obszar U we współrzędnych sferycznych będzie obszarem normalnym i ma postać
U = {(ϕ, ψ, ρ) : α ¬ ϕ ¬ β, d(ϕ) ¬ ψ ¬ g(ϕ), D(ϕ, ψ) ¬ ρ ¬ G(ϕ, ψ)} ,
gdzie funkcje d i g są ciągłe na przedziale [α, β], a D i G są ciągłe na obszarze
{(ϕ, ψ) : α ¬ ϕ ¬ β, d(ϕ) ¬ ψ ¬ g(ϕ)} .
Jeżeli f jest ciągła na obszarze V = S(U ), to
RRR
V
Zβ
α
dϕ
g(ϕ)
Z
d(ϕ)
dψ
G(ϕ,ψ)
Z
D(ϕ,ψ)
f (x, y, z)dxdydz =
f (ρcosϕcosψ, ρsinϕcosψ, ρsinψ)ρ2 cosψdρ.
Zastosowania całek wielokrotnych
Pole płata Σ, który jest wykresem funkcji z = f (x, y), gdzie (x, y) ∈ D, wyraża się wzorem
|Σ| =
Zakładamy, że
∂f ∂f
,
∂x ∂y
RR
D
s
1+(
∂f 2
∂f
) + ( )2 dxdy.
∂x
∂y
są ciągłe na obszarze D.
Momenty statyczne względem płaszczyzn układu współrzędnych obszaru U ⊆ R3 o
gęstości objętościowej masy γ.
M Sxy =
RRR
U
zγ(x, y, z)dxdydz, M Sxz =
M Syz =
RRR
U
RRR
U
yγ(x, y, z)dxdydz,
xγ(x, y, z)dxdydz.
Współrzędne środka masy obszaru U
xc =
M Sxz
M Sxy
M Syz
, yc =
, zc =
M
M
M
Szeregi liczbowe
Definicja 29 Niech (an ) będzie ciągiem liczbowym. Szeregiem liczbowym nazywamy ciąg
(Sn ), gdzie
Sn = a1 + a2 + · · · + an .
Szereg oznaczamy przez
P∞
n=1
an , an -n-ty wyraz, Sn -n-ta suma częściowa szeregu.
Definicja 30 Mówimy, że szereg
ciągu (Sn ).
Oznaczamy: limn→∞ Sn =
P∞
n=1
P∞
an .
n=1
an jest zbieżny, jeżeli istnieje skończona granica
Jeżeli limn→∞ Sn = ∞ (−∞), to mówimy, że szereg ∞
n=1 an jest rozbieżny do ∞ (−∞).
Jeżeli limn→∞ Sn nie istnieje, to mówimy, że szereg jest rozbieżny.
P
Twierdzenie 18 Jeżeli szeregi
a)
P∞
∞
X
n=1
an ,
P∞
n=1 bn
(an + bn ) =
n=1
∞
X
są zbieżne i c ∈ R, to
an +
n=1
b)
∞
X
n=1
can = c
∞
X
n=1
∞
X
n=1
an .
bn ,
Twierdzenie 19 Szereg geometryczny
1,
P∞
∞
X
n=0
n=0
xn jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy |x| <
xn =
1
.
1−x
Twierdzenie 20 Jeżeli szereg
P∞
n=1
an jest zbieżny, to limn→∞ an = 0.
Uwaga 5 Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Kryteria zbieżności szeregów
Twierdzenie 21 ( Kryterium całkowe) Niech f : [n0 , ∞) → [0, ∞), gdzie n0 ∈ N, będzie
funkcją nierosnącą. Wówczas
szereg
∞
X
f (n) jest zbieżny ⇐⇒ całka
Z ∞
n+1
P∞
i=n+1
f (x)dx jest zbieżna.
n0
n=1
gdzie Rn =
Z ∞
f (x)dx ¬ Rn ¬
Z ∞
f (x)dx,
n
f (i) jest n−tą resztą szeregu i n ­ n0 .
Twierdzenie 22 Szereg
P∞
1
n=1 np
jest zbieżny dla p > 1 i jest rozbieżny dla p ¬ 1.
Twierdzenie 23 (Kryterium porównacze) Niech 0 ¬ an ¬ bn dla każdego n ­ n0 i
P
P
P
an jest zbieżny. Jeśli ∞
zbieżny. Wtedy szereg ∞
niech szereg ∞
n=1 an jest
n=1
n=1 bn będzie
P∞
rozbieżny do ∞ to szereg n=1 bn jest też rozbieżny do ∞.
Twierdzenie 24 (Kryterium ilorazowe) Niech an , bn > 0 (an , bn < 0) dla każdego n ­ n0
oraz niech
an
= k,
lim
n→∞ b
n
gdzie 0 < k < ∞. Wówczas
P∞
P
szereg ∞
n=1 bn jest zbieżny.
n=1 an jest zbieżny ⇐⇒ szereg
Twierdzenie 25 (Kryterium d’Alemberta)
1. Jezeli
an+1
| < 1,
lim |
n→∞ a
n
P
to szereg ∞
n=1 an jest zbieżny.
2. Jeżeli
an+1
lim |
| > 1,
n→∞ a
n
P
to szereg ∞
n=1 an jest rozbieżny.
W przypadku
an+1
lim |
|=1
n→∞ a
n
kryterium nie rozstrzyga zbieżności.
Twierdzenie 26 (Kryterium Cauchego)
1. Jezeli
q
n
|an | < 1
lim
n→∞
to szereg
2. Jeżeli
P∞
n=1
an jest zbieżny.
lim
q
lim
n→∞
q
n
n→∞
|an | > 1
P∞
to szereg n=1 an jest rozbieżny.
W przypadku
kryterium nie rozstrzyga zbieżności.
n
|an | = 1
Twierdzenie 27 (Leibnitza o zbieżności szeregu naprzemiennego) Jeżeli ciąg (bn ) jest
P
n+1
bn
nierosnący od numeru n0 ∈ N i limn→∞ bn = 0 to szereg naprzemienny ∞
n=1 (−1)
jest zbieżny. Prawdziwe jest oszacowanie reszty szeregu
|Rn | ¬ bn+1 dla każdego n ­ n0 .
Definicja 31 Mówimy, że szereg
jest zbieżny.
P∞
n=1
an jest zbieżny bezwzględnie gdy szereg
P∞
Twierdzenie 28 Jeżeli szereg liczbowy jest zbieżny bezwzględnie to jest zbieżny.
n=1
|an |
Definicja 32 Szereg zbieżny, który nie jest zbieżny bezwzględnie, nazywamy szeregiem
zbieżnym warunkowo.
Szeregi potęgowe
Definicja 33 Szeregiem potęgowym o środku w punkcie x0 ∈ R i współczynnikach cn ∈ R,
nazywamy szereg postaci
∞
X
n=0
cn (x − x0 )n .
Granica górna i dolna ciągu
Definicja 34 Niech (kn ) będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnych oraz niech (an ) będzie
dowolnym ciągiem. Podciągiem ciągu (an ) nazywamy ciąg (bn ) określony wzorem bn = akn ,
gdzie n ∈ N.
Twierdzenie 29 Każdy podciąg ciągu zbieżnego (do granicy właściwej lub niewłaściwej)
jest zbieżny do tej samej granicy.
Definicja 35 Liczba rzeczywista a jest właściwym punktem skupienia ciągu, jeżeli istnieje
podciąg tego ciągu zbieżny do granicy a.
Symbol −∞(∞) jest niewłaściwym punktem skupienia ciągu, jeżeli istnieje podciąg tego
ciągu zbieżny do −∞(∞).
Definicja 36 Niech S oznacza zbiór punktów skupienia ciągu (an ) (właściwych lub niewłaściwych). Wtedy
limn→∞ an = inf S
jest granicą dolną ciągu, a
limn→∞ an = sup S
jest granicą górną ciągu.
Twierdzenie 30 (Kryterium Cauchego)
1. Jezeli
q
limn→∞ n |an | < 1
to szereg
2. Jeżeli
P∞
n=1
an jest zbieżny.
q
limn→∞ n |an | > 1
to szereg ∞
n=1 an jest rozbieżny.
W przypadku
P
q
limn→∞ n |an | = 1
kryterium nie rozstrzyga zbieżności.
Promień zbieżności szeregu potęgowego
R=






0
1
√
n
limn→∞
|cn |





∞
q
gdy
limn→∞ n |cn | = ∞,
gdy
0 < limn→∞ n |cn | < ∞,
gdy
limn→∞ n |cn | = 0.
q
q
Uwaga 6
R = n→∞
lim q
n
R = lim |
n→∞
- o ile granice w tych wzorach istnieją.
1
|cn |
cn
cn+1
,
|
Twierdzenie 31 (Cauchy’ego-Hadamarda) Niech 0 < R < ∞ będzie promieniem zbieżP
n
ności szeregu potęgowego ∞
n=0 cn (x − x0 ) . Wtedy szereg ten jest bezwzględnie zbieżny
w każdym punkcie przedziału (x0 − R, x0 + R) i rozbieżny w każdym punkcie zbioru
(−∞, x0 − R) ∪ (x0 + R, ∞).
Definicja 37 Przedziałem zbieżności szeregu potęgowego
(
x ∈ R : szereg
∞
X
n=0
P∞
n
n=0 cn (x−x0 )
)
n
cn (x − x0 ) jest zbieżny .
nazywamy zbiór
Szereg Taylora funkcji
Wzór Taylora
Niech f ma w przedziale (x0 − δ, x0 + δ) pochodne dowolnego rzędu. Wtedy
f (x) =
n−1
X
f (k) (x0 )
(x − x0 )k + Rn (x)
k!
k=0
gdzie
Rn (x) =
c-punkt pośredni między x i xo .
f (n) (c)
(x − x0 )n ,
n!
Twierdzenie 32 Jeżeli dla każdego x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) limn→∞ Rn (x) = 0, to
f (x) =
dla każdego x ∈ (x0 − δ, x0 + δ)
∞
X
f (n) (x0 )
(x − x0 )n
n!
n=0
Uwaga 7 Jeżeli istnieje M > 0 takie, że |f (n) (x)| ¬ M dla każdego n ∈ N ∪ {0} oraz dla
każdego x ∈ (x0 − δ, x0 + δ), to limn→∞ Rn (x) = 0.
Różniczkowanie szeregu potęgowego
Twierdzenie 33 Niech 0 < R ¬ ∞ będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego
P∞
n
n=0 cn x . Wtedy
(
∞
X
cn xn )0 =
n=0
∞
X
ncn xn−1
n=1
dla każdego x ∈ (−R, R).
Wniosek 2 Jeżeli f (x) =
to
dla n = 0, 1, ...
P∞
n=0 cn (x − x0 )
n
dla każdego x ∈ (x0 − δ, x0 + δ), gdzie δ > 0,
f (n) (x0 )
cn =
n!
Całkowanie szeregu potęgowego
Twierdzenie 34 Niech 0 < R ¬ ∞ będzie promieniem zbieżności szeregu
Wtedy
Z x X
∞
∞
X
cn n+1
(
cn tn )dt =
x
0 n=0
n=0 n + 1
dla każdego x ∈ (−R, R).
P∞
n=0 cn x
n
.
Twierdzenie 35 (Abela) Jeżeli szereg f (x) =
dziale zbieżności (np. w R), to
lim− f (x) =
x→R
P∞
n=0 cn x
∞
X
n=0
cn R n .
n
jest zbieżny w końcowym prze-
Szeregi Fouriera
Oznaczmy przez L[−π, π] przestrzeń funkcji całkowalnych na przedziale [−π, π]. W przestrzeni tej określamy pseudoiloczyn skalarny
(f, g) =
Z π
−π
f (x)g(x)dx
Ciąg funkcji
1 cosx sinx
cosnx sinnx
√ , √ , √ , ..., √ , √ , ...
π
π
π
π
2π
stanowi układ ortonormalny w L[−π, π].
Definicja 38 Wielomianem trygonometrycznym nazywamy każdą funkcję okresową postaci
n
a0 X
Sn (x) =
+
(ak coskx + bk sinkx),
2
k=1
gdzie ak , bk są współczynnikami rzeczywistymi.
Twierdzenie 36 Średni błąd kwadratowy
1 Zπ
δ =
[f (x) − Sn (x)]2 dx
2π −π
2
jest najmniejszy jeśli
1Zπ
f (x)coskxdx dla k = 0, 1, 2, ..., n
ak =
π −π
1Zπ
bk =
f (x)sinkxdx dla k = 1, 2, ..., n.
π −π
Definicja 39 Szeregiem trygonometrycznym nazywamy szereg funkcyjny postaci
∞
a0 X
+
(an cosnx + bn sinnx).
2
n=1
Definicja 40 Sumą szeregu trygonometrycznego nazywamy granicę ciągu sum częściowych
n
a0 X
+
(ak coskx + bk sinkx).
Sn (x) =
2
k=1
Szereg Fouriera funkcji
Niech f ∈ L[−π, π].
Definicja 41 Szeregiem Fouriera funkcji f nazywamy szereg trygonometryczny, gdzie
1Zπ
an =
f (x)cosnxdx dla n = 0, 1, 2, ...
π −π
bn =
1Zπ
f (x)sinnxdx dla n = 1, 2, ...
π −π
Liczby an , bn nazywamy współczynnikami Fouriera funkcji f.
Będziemy stosowali oznaczenie
f (x) ≈
∞
a0 X
+
(an cosnx + bn sinnx).
2
n=1
Twierdzenie 37 Jeżeli f ∈ L[−π, π], to szereg Fouriera jest zbieżny średnio z kwadratem
do danej funkcji, tzn.
Z π
[f (x) − Sn (x)]2 dx = 0
lim
n→∞ −π
Twierdzenie 38 (Dirichleta) Jeżeli funkcja f okresowa o okresie 2π spełnia warunki:
1. przedział [−π, π] można rozłożyć na skończoną ilość przedziałów otwartych, w każdym
z których funkcja f jest ciągła i monotoniczna,
2. w każdym punkcie nieciągłości f istnieją granice f (x− ) i f (x+ ),
to szereg Fouriera tej funkcji jest zbieżny i jego suma równa się f (x) w punktach ciągłości
f, a w punktach nieciągłości funkcji suma ta równa się 12 [f (x− ) + f (x+ )]
Uwaga 8 Jeżeli funkcja f jest okresowa o okresie 2π i całkowalna w przedziale [−π, π]
oraz jest funkcją
1. parzystą, to jej szereg Fouriera jest szeregiem cosinusowym (bn = 0),
2. nieparzystą, to jej szereg Fouriera jest szeregiem sinusowym (an = 0).
Uwaga 9 Zamiast przedziału [−π, π] można rozpatrywać przedział [−l, l]. Szereg Fouriera
ma postać
∞
a0 X
πnx
πnx
+
(an cos
+ bn sin
),
2
l
l
n=1
gdzie
πnx
1Z l
f (x)cos
dx dla n = 0, 1, 2, ...
l −l
l
1Z l
πnx
bn =
f (x)sin
dx dla n = 1, 2, ...
l −l
l
an =
Transformata Fouriera
Oznaczmy przez L(R) zbiór funkcji f : R → R takich, że całka niewłaściwa
Z ∞
|f (x)| dx
−∞
jest zbieżna.
Definicja 42 Transformatą Fouriera funkcji f ∈ L(R) nazywamy funkcję
1 Z∞
f (x)e−ixy dx.
fb(y) = √
2π −∞
Twierdzenie 39 Jeżeli f ∈ L(R), to transformata fb istnieje i jest funkcją ciągłą.
Uwaga 10 Jeżeli f ∈ L(R) oraz f jest funkcją
1. parzystą, to
s
2Z∞
b
f (y) =
f (x)cosxydx,
π 0
2. nieparzystą, to
s
2Z∞
f (x)sinxydx.
fb(y) = −i
π 0
Transformata odwrotna do transformaty Fouriera
e
Oznaczmy przez L(R)
zbiór funkcji F : R → C takich, że całka niewłaściwa
Z ∞
|F (x)| dx
−∞
jest zbieżna.
e
Definicja 43 Transformatą odwrotną do transformaty Fouriera funkcji F ∈ L(R)
nazywamy funkcję
1 Z∞
e
√
F (y)eixy dy.
F (x) =
2π −∞
Zauważmy, że Fe (x) = Fb (−x).
Twierdzenie 40 Jeśli f ∈ L(R), to w każdym punkcie x, w którym funkcja f jest różniczkowalna,
1 Z∞ b
f (y)eixy dy,
f (x) = √
2π −∞
gdzie
Z
Z
∞
T
= lim
−∞
T →∞ −T
.
Uwaga 11 Różniczkowalność można zastąpić słabszym warunkiem: Jeżeli istnieje δ > 0
taka, że f jest monotoniczna w S− (x, δ) i S+ (x, δ) oraz jest ograniczona w O(x, δ) to
f (x+ ) + f (x− )
1 Z∞ b
=√
f (y)eixy dy.
2
−∞
2π
Własności transformaty Fouriera
Twierdzenie 41 Niech f ∈ L(R) i a ∈ R. Wtedy
1. jeżeli g(x) = f (x − a), to gb(y) = fb(y)e−iay ,
2. jeżeli a 6= 0, g(x) = f ( xa ), to gb(y) = afb(ay),
3. jeżeli założymy dodatkowo, że f jest funkcją różniczkowalną i f 0 ∈ L(R), to
fb0 (y) = iy fb(y).
Definicja 44 Niech f, g ∈ L(R). Wtedy funkcję
h(x) =
Z ∞
f (x − y)g(y)dy
−∞
nazywamy splotem funkcji f, g i oznaczamy f ∗ g.
Twierdzenie 42 Jeżeli f, g ∈ L(R), to f ∗ g ∈ L(R) and
f[
∗g =
√
2π fb · gb.
Przekształcenie Laplace’a
Niech funkcja f będzie określona na przedziale [0, ∞).
Definicja 45 Przekształceniem Laplace’a funkcji f nazywamy funkcję
F (s) = L {f (t)} =
Z ∞
0
gdzie s jest zmienną rzeczywistą.
f (t)e−st dt,
Warunki wystarczające istnienia przekształcenia Laplace’a.
Twierdzenie 43 Jeżeli f spełnia następujące warunki:
1. ma na każdym przedziale [0, T ], gdzie T > 0, skończoną liczbę punktów nieciągłości
pierwszego rodzaju,
2. istnieją C ∈ R, M > 0 takie, że
|f (t)| ¬ M eCt dla każdego t ­ 0,
to L {f (t)} istnieje dla s > C.
Funkcję f spełniającą założenia powyższego twierdzenia będziemy nazywali oryginałem.
Linowość przekształcenia Laplace’a
Twierdzenie 44 Jeżeli istnieją L {f (t)} i L {g(t)} oraz c ∈ R, to
L {f (t) + g(t)} = L {f (t)} + L {g(t)} ,
L {cf (t)} = cL {f (t)} .
Twierdzenie 45 Jeżeli funkcje f, g są ciągłe i L {f (t)} = L {g(t)} , to f (t) = g(t) dla
każdego t ∈ [0, ∞).
Własności przekształcenia Laplace’a
Twierdzenie 46 Niech f będzie oryginałem, i F (s) = L {f (t)}, wtedy
1.L {f (at)} = a1 F ( as ), gdzie a > 0,
2. L {tn f (t)} = (−1)n F (n) (s),
3. L {eat f (t)} = F (s − a),
4. L {1(t − τ )f (t − τ )} = e−sτ F (s), gdzie τ > 0,
5. L
nR
t
o
0 f (τ )dτ =
F (s)
.
s
Uwaga 12 Niech funkcje f (t) i g(t) będą określone na przedziale [0, ∞) oraz całkowalne
w każdym przedziale [0, T ], gdzie T > 0 wtedy
f (t) ∗ g(t) =
Z t
0
f (τ )g(t − τ )dτ.
Twierdzenie 47 (Wzór Borela) Jeżeli funkcje f (t) i g(t) są oryginałami, to
L {f (t) ∗ g(t)} = L {f (t)} L {g(t)} .
Transformata n-tej pochodnej
Twierdzenie 48 Jeżeli f oraz jej pochodne f 0 , f 00 , ..., f (n−1) są oryginałami,
n
oa ponadto
funkcja ta ma na przedziale (0, ∞) ciągłą n-tą pochodną, to istnieje L f (n) (t) oraz
n
o
L f (n) (t) =
sn L {f (t)} − sn−1 f (0+ ) − sn−2 f 0 (0+ ) + ... − sf (n−2) (0+ ) − f (n−1) (0+ ).
Niezależne zmienne losowe
Funkcje f : [0, 1] → R, które mają skończoną liczbę punktów nieciągłości, będziemy
nazywali zmiennymi losowymi.
Oznaczmy przez {f < x} = {t : f (t) < x} .
Definicja 46 Dystrybuantą zmiennej losowej f nazywamy funkcję
Ff (x) =
Z 1
0
1{f <x} (t)dt.
Definicja 47 Dystrybuantą typu absolutnie ciągłego nazywamy funkcję postaci
F (x) =
Z x
−∞
∞
gdzie p(t) ­ 0, −∞
p(t)dt = 1.
Funkcję p(x) nazywamy gęstością rozkładu.
R
p(t)dt,
Definicja 48 Zmienne losowe f i g nazywamy niezależnymi, jeśli
Z 1
0
dla dowolnych x, y ∈ R.
1{f <x}∩{g<y} (t)dt = Ff (x)Fg (y)
Twierdzenie 49 Jeżeli f i g są zmiennymi losowymi niezależnymi o rozkładach typu
absolutnie ciągłego z gęstościami p i q to f + g ma rozkład o gęstości p ∗ q.
Definicja 49 Funkcją charakterystyczną zmiennej losowej f o gęstości rozkładu p nazywamy funkcję
√
e
ϕf (t) = 2π p(t).
Twierdzenie 50 Jeżeli zmienne losowe f i g o gęstościach rozkładu p i q są niezależne,
to
ϕf +g (t) = ϕf (t) · ϕg (t).