niech b

PRAWDOPODOBIEŃSTWO WARUNKOWE
{Ω, F, P } - przestrzeń probabilistyczna.
Niech B ∈ F , P (B) > 0.
Definicją. Funkcję P (·|B) : F → [0, 1] zadaną wzorem
P (A ∩ B)
P (A|B) =
,
A∈F
P (B)
nazywamy prawdopodobieństwem warunkowym pod warunkiem B; liczba P (A|B) - prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B.
Uwaga 1. P (·|B) jest prawdopodobieństwem na F.
Uwaga 2. P (A|B) = P (A)
P (A)P (B).
⇐⇒
P (A ∩ B) =
Wzór na prawdopodobieństwo całkowite:
H1, . . . , Hn ∈ F : ∪ni=1Hi = Ω; Hi ∩ Hj = ∅, i ̸= j;
P (Hi) > 0, i = 1, . . . , n. Wtedy dla dowolnego A ∈ F
P (A) =
n
∑
P (A|Hi)P (Hi).
i=1
1
Wzór Bayesa:
H1, . . . , Hn jak wyżej. Wtedy dla dowolnego A ∈ F,
P (A) > 0,
P (A|Hj )P (Hj )
P (Hj |A) = ∑n
,
i=1 P (A|Hi )P (Hi )
2
j = 1, . . . , n.