Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
ZałóŜmy, Ŝe macierz A jest macierzą kwadratową stopnia n . Mówimy, Ŝe macierz B tego
samego wymiaru jest macierzą odwrotną do A , jeŜeli spełniona jest równość:
A⋅ B = B⋅ A= I .
Uwaga:
Macierz A jest odwracalna, czyli posiada macierz odwrotną, wtedy i tylko wtedy, gdy jej
wyznacznik jest róŜny od zera, czyli jest ona tzw. macierzą nieosobliwą.
Zadanie 1
Sprawdź, czy podane macierze są do siebie wzajemnie odwrotne:
3 2
 1 − 2
A=
, B=


1 1 
− 1 − 3
− 1 2 5
A =  0 0 1 ,
 3 2 2
 1
− 4
 3
B=
 8
 0

3
4
17
−
8
1
1
4
1

8
0

Rozwiązanie:
A) Obliczymy iloczyn A ⋅ B :
3 − 2 − 6 − 6 1 − 12
A⋅ B = 
, czyli A ⋅ B ≠ I , a więc podane macierze nie są do
=
1 
 1 − 1 − 2 + 3 0
siebie wzajemnie odwrotne. OCZYOCZYWIŚCIE NIE musimy JUś OBLICZAĆ DRUGIEGO
Z ILOCZYNÓW PODANYCH W DEFINICJI MACIERZY ODWROTNEJ.
B) Podobnie jak powyŜej, obliczymy iloczyn:
1
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
 1 3
 4+4
A⋅ B =  0
 3 3
− +
 4 4
2
3 17
1 1
− + 5 − +  1 0 0
4 4
4 4
1
0  = 0 1 0 ,
9 17
3 1 
− +2
+  0 0 1
4 4
4 4 
−
2 2
1 3
 4+4 −4+4
 3 3 6 2
B ⋅ A = − +
+
 8 8 8 8
0
 0

5 2 3
+ +
4 4 4  1 0 0
15 17 2  
− +  = 0 1 0 ,
8 8 8 
1
 0 0 1 

−
zatem podane macierze są do siebie wzajemnie odwrotne.
Uwaga powyŜsza nie podaje sposobu, jak obliczyć macierz odwrotną do danej. Sposób ten
(jeden z moŜliwych ) jest opisany poniŜej:
Aby wyznaczyć macierz odwrotną do A , wykonujemy następujące czynności:
1)
Obliczamy wyznacznik macierzy A ; jeśli det A = 0 , to macierz odwrotna nie istnieje,
2)
Jeśli det A ≠ 0 , to obliczamy dopełnienia algebraiczne wszystkich wyrazów macierzy
A ( dopełnieniem algebraicznym wyrazu a ij macierzy A
nazywamy wyznacznik podmacierzy powstałej z A przez wykreślenie i − tego wiersza i
j − tej kolumny, pomnoŜony przez liczbę (− 1)
i+ j
) dopełnienie algebraiczne wyrazu aij
będziemy oznaczać przez Aij .
[ ]
3)
Tworzymy macierz D = Aij
4)
Wyznaczamy macierz transponowaną do D
5)
Macierzą odwrotną do A jest macierz A−1 =
i , j =1,...,n
,
1
⋅ DT
det A
Zadanie 2
Sprawdź, czy dana macierz jest odwracalna i, jeśli tak, wyznacz macierz odwrotną:
1 3

 2 1
A) A = 
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
− 1 1 2 


B) A = 3 0 1


 0 1 − 1
2
3
1

C) A = 2
4
9 

− 1 − 2 − 2
Rozwiązanie:
A)
1 3
2 1
Najpierw obliczymy wyznacznik macierzy A :
= 1 − 6 = −5 ≠ 0 , zatem A jest odwracalna. Obliczymy teraz dopełnienia algebraiczne
wszystkich wyrazów tej macierzy:
A11 = (− 1)
1+1
⋅1 = 1 ,
A12 = (− 1)
1+ 2
⋅ 2 = −2 ,
A21 = (− 1)
2 +1
⋅ 3 = −3 ,
2+ 2
⋅1 = 1 .
A22 = (− 1)
ZauwaŜmy, Ŝe w tym przypadku dopełnienia algebraiczne wyrazów są wyznacznikami
macierzy wymiaru 1 × 1 , czyli zawierającej tylko jeden wyraz. Taki wyznacznik jest równy
temu wyrazowi.
 1 − 2
 1 − 3
D ma więc postać : D = 
, zatem D T = 

 i otrzymujemy
− 3 1 
− 2 1 
 1 3 
1
−
3
− 5 5 


1
wreszcie macierz A−1 = − ⋅ 
=

.
5 − 2 1   2 − 1 
5
 5
Macierz
Aby sprawdzić poprawność wykonanych obliczeń, moŜemy obliczyć odpowiednie iloczyny:
3
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
 1 6
− +
A ⋅ A−1 =  5 5
2 2
− +
 5 5
3 3
−
5 5  = 1 0 ,
6 1  0 1
− 
5 5
 1 6
− 5 + 5
−1
A ⋅A=
2 2
 −
 5 5
3 3
− +  1 0
5 5 =
,
6 1  0 1
− 
5 5 
zatem otrzymaliśmy poprawny wynik.
−1 1
B)
det A = 3
0
2 −1 1
0 1 3
1 −1 0
0 = 0 + 0 + 6 − 0 − (− 1) − (− 3) = 10 ≠ 0
1
Zatem istnieje macierz odwrotna do A . OBLICZYMY DOPEŁNIENIA ALGEBRAICZNE
WSZYSTKICH WYRAZÓW MACIERZY A :
0
A11 = (− 1) ⋅
1+1
⋅
A13 = (− 1)
⋅
1+ 3
A22 = (− 1)
⋅
A23 = (− 1)
2+3
A31 = (− 1)
3+1
⋅
1
= −1 ⋅ (− 3) = 3 ,
0 −1
= 1⋅ 3 = 3 ,
0 1
⋅
2+ 2
3
3 0
A21 = (− 1)
2 +1
= −1 ,
1 −1
A12 = (− 1)
1+ 2
1
1
2
1 −1
⋅
= −1 ⋅ (− 1 − 2 ) = 3 ,
−1
2
0
−1
−1 1
0
1 2
0 1
1
= 1,
= −1 ⋅ (− 1) = 1 ,
= 1,
4
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
A32 = (− 1)
⋅
A33 = (− 1)
⋅
3+ 2
3+ 3
−1 2
3
1
−1 1
3
0
= −1 ⋅ (− 1 − 6 ) = 7 ,
= −3 .
− 1 3 3 


Otrzymujemy stąd macierz D = 3 1 1 ,


 1 7 − 3
− 1 3 1 


następnie D = 3 1 7 ,


 3 1 − 3
T
− 1 3 1 
1 
i wreszcie A =
⋅  3 1 7  .
10
 3 1 − 3
−1
Wykonamy jeszcze sprawdzenie:
1 + 3 + 6 − 3 + 1 + 2 − 1 + 7 − 6
10 0 0 
1 
1 

A⋅ A = ⋅  − 3 + 3
9 +1
3 − 3  = ⋅  0 10 0  = I ,
10
10
 3 − 3
 0 0 10
1 −1
7 + 3 
−1
 1 + 9 − 1 + 1 − 2 + 3 − 1
10 0 0 
1 
1 

A ⋅ A = ⋅ − 3 + 3 3 + 7 6 + 1 − 7  = ⋅  0 10 0  = I
10
10
− 3 + 3 3 − 3 6 + 1 + 3 
 0 0 10
−1
ZATEM WYKONALIŚMY POPRAWNE OBLICZENIA.
C)
1
2
3 1
2
det A = 2
4
9 2
4 =
−1 − 2 − 2 −1 − 2
− 8 + (− 18) + (− 12 ) − (− 12 ) − (− 18) − (− 8) = 0
5
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
Zatem macierz powyŜsza jest nieodwracalna.
Układ równań liniowych to układ równań postaci:
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n x n = b1
a x + a x + ... + a x = b
 21 1 22 2
2n n
2
’

..........
..........
..........
..........

a k1 x1 + a k 2 x 2 + ... + a kn xn = bk
gdzie aij , bi ∈ R dla i = 1, 2,..., k ; j = 1,2,..., n .
[ ]
Macierz A = aij
i =1, 2 ,...,k
j =1, 2 ,...,n
nazywamy macierzą tego układu.
Jeśli w powyŜszym układzie równań liczba równań jest równa liczbie niewiadomych,
czyli n = k , i wyznacznik macierzy tego układu jest róŜny od zera, to układ ten
nazywamy układem Cramera.
Uwaga
Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jest nim ciąg liczb x1 , x2 ,..., xn ,
gdzie kaŜdą z liczb xi moŜna obliczyć korzystając z wzoru:
xi =
Wi
( dla i = 1,2,..., n )
W
W jest wyznacznikiem macierzy tego układu (tzw. wyznacznikiem głównym), zaś Wi
jest wyznacznikiem macierzy powstałej przez zastąpienie w macierzy układu i − tej
kolumny kolumną wyrazów wolnych.
Opisana powyŜej metoda rozwiązywania układów Cramera, nazywa się metodą
wyznaczników.
Zadanie 3
Sprawdź, czy podany układ jest układem Cramera. Jeśli tak, rozwiąŜ go metodą
wyznaczników.
6
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
− 2 x1 + x2 = 1

 x1 + 4 x2 = 13
A)
 x1 − x2 + 3 x3 = 5

5 x1 + x2 + x3 = −2
 x + x +x =3
2
3
 1
B)
 x1 + x2 − x3 = 0

− 2 x1 + 3x2 + 2 x3 = −1
 3x − 2 x − 3x = 1
1
2
3

C)
Rozwiązania:
A) Obliczymy najpierw wyznacznik główny tego układu, aby sprawdzić, czy jest to układ
Cramera:
W=
−2 1
1
4
= −8 − 1 = −9 ≠ 0 ,
A zatem jest to układ Cramera i moŜemy zastosować metodę wyznaczników:
W1 =
W2 =
1
1
13 4
= 4 − 13 = −9 ,
−2
1
1
13
= −26 − 1 = −27 .
Stosując teraz podane powyŜej wzory, otrzymujemy:
−9

 x1 = − 9 = 1
,

−
27
x =
 2 − 9 = 3
Czyli rozwiązaniem układu jest para liczb : (1, 3)
B) Podobnie, jak poprzednio, obliczymy wyznacznik główny układu:
7
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
1 −1
W=5
1
8
3 1 −1
−1 5
1 1
0
1
0 = 0 + 1 + 15 − 0 − (− 1) − (− 5) = 22 ≠ 0
1
Zatem jest to układ Cramera.
Mamy:
5
−1
3 5
0
1
−1 − 2
1 3
W1 = − 2
3
1
5
3 1
−1
0 = 0 + 3 + (− 6) − 0 − (− 5) − 2 = 0
1
5
W2 = 5 − 2 − 1 5 − 2 = −2 + (− 5) + 45 − (− 6) − (− 3) − 25 = 22
1 3
1 1 3
1 −1
W3 = 5
1
5 1 −1
−2 5
3 1
0
1
0 = 0 + 2 + 25 − 0 − (− 2) − (− 15) = 44 ,
1
0

 x1 = 22 = 0

22

Zatem  x2 =
=1 ,
22

44

 x3 = 22 = 2

czyli rozwiązaniem układu jest ciąg trzech liczb: (0,1, 2 ) .
C) Tak, jak w poprzednich przykładach, obliczamy wyznacznik główny:
1
1
−1 1
1
W = −2 3
2 − 2 3 = −9 + 6 + (− 4) − (− 9) − (− 4) − 6 = 0`.
3 − 2 −3 3 − 2
poniewaŜ wyznacznik główny jest równy 0 , więc powyŜszy układ nie jest układem Cramera.
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 1
Zbadaj, czy dana macierz posiada macierz odwrotną i, jeśli tak , wyznacz ją:
A)
1 − 2
A=

0 1 
D)
 − 1 0
A=

 1 1
B)
3
2
A=

− 1 − 2
E)
 2 3
A=

 4 5
F)
− 1 3 
A=

 2 − 5
C)
 1 − 4
A=

− 2 8 
Zadanie 2
Zbadaj, czy macierz B jest odwrotna do macierzy A :
3 − 2
,
1 1 
A) A = 
4 2
,
0 1 
B) A = 
 1 − 2
B=

− 1 3 
1
B = 4
0

 1 0 1


C) A = − 1 1 0 ,


 0 − 1 1
1 2 1


D) A = 0 − 1 3 ,


2 1 3
1
− 
2
1 
1
2
1
B=
2
1
 2
1
2
1
2
1
2
−
1
− 
2
1
− 
2
1 
2 
− 3 − 3 5 
1 
B = ⋅ 3
1 − 3
4
 1
3 − 1
9
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
Zadanie 3
Oceń, czy następujący układ równań jest układem Cramera i, jeśli tak, rozwiąŜ go metodą
wyznaczników.
− 2 x1 + x2
− 3 x2
5 x1
=3
= −8
− 3 x2
2 x1
− 4 x1 + 5 x2
= 17
= −31
A) 
B) 
− 2 x2
+ x3
=1
+ x2
− 3x3
+ 2 x3
= −8
=3
+ x2
− x3
=1
− x2
+ 2 x3
+ x3
=0
=0
 x1 + x2

E) 3 x1 − x2
x
 1 − 2 x2
− x3
=1
+ 2 x3
+ x3
= 11
=0
− 3x1 + x2

2 x2
F) 
− x
 1 − x2
+ x3
=4
− 3 x3
+ 2 x3
=2
= −2
 x1

C) 2 x1
x
 1
 x1

D) − 2 x1
− x
 1
2 x1

G) 5 x1
x
 1
4 x1

H) − 2 x1
x
 1
I)
3x1

 x1
− x
 1
− x2
+ 5 x3
= 15
+ x2
− x2
− x3
+ x3
=4
=2
+ x2
− 3x3
=0
− x2
+ x2
+ 2 x3
+ x3
= −1
=4
− x2
+ x3
= −6
+ x2
− 2 x2
− 2 x3
+ x3
=3
= −4
10
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
2 x1

J)  x1
3x
 1
+ x2
− x3
=0
− x2
+ 5 x3
+ 3 x3
=0
=0
+ x2
 x1

K) − 2 x1 + 3 x2
x
− x2
 1
3x1

L)  x1
4 x
 1
+ x3
=0
4 x3
+ 5 x3
=0
=0
− 2 x2
+ x3
=0
+ 5 x2
+ 3 x2
− 4 x3
− 2 x3
=0
=0
ODPOWIEDZI:
ZADANIE 1
1 2

0 1 
A) TAK; A−1 = 
3
2

− 1 − 2
B) TAK; A−1 = 
C) NIE
 − 1 0

 1 1
D) TAK; A−1 = 
 5
−
E) TAK; A =  2
 2

−1
5 3

 2 1
F) TAK; A−1 = 
ZADANIE 2
A) NIE
B) TAK
C) TAK
D) NIE
3
2
− 1
11
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
ZADANIE 3
A) TAK; ROZWIĄZANIEM JEST PARA LICZB: (− 1,1) .
B) TAK; ROZWIĄZANIEM JEST PARA LICZB: (4, − 3) .
C) TAK; ROZWIĄZANIEM JEST TRÓJKA LICZB: (− 1, 0, 2 ) .
D) NIE JEST TO UKŁAD CRAMERA
E) TAK; ROZWIĄZANIEM JEST TRÓJKA LICZB: (2, 3, 4 ) .
F) TAK; ROZWIĄZANIEM JEST TRÓJKA LICZB: (4,1 0, 6 ) .
G) TAK; ROZWIĄZANIEM JEST TRÓJKA LICZB: (1, 2, 3) .
H) TAK; ROZWIĄZANIEM JEST TRÓJKA LICZB: (0, 3,1) .
I) TAK; ROZWIĄZANIEM JEST TRÓJKA LICZB: (− 1, 2, − 1) .
J) TAK; ROZWIĄZANIEM JEST TRÓJKA LICZB: (0, 0, 0 ) .
K) TAK; ROZWIĄZANIEM JEST TRÓJKA LICZB: (0, 0, 0 ) .
L) TAK; ROZWIĄZANIEM JEST TRÓJKA LICZB: (0, 0, 0 ) .
12