Zestawy zadań

Algebra liniowa z geometrią, /
Maciej Karpicz
1
Zbiór zadań
Działania na zbiorach
Zadanie 1.1. Czy działanie ∆ : R × R → R określone wzorem (x1 , x2 )∆(y1 , y2 ) := (x1 y1 − x2 y2 , x1 y2 +
x2 y1 ) jest przemienne?
Zadanie 1.2. W dowolnym zbiorze X określamy działanie ∆ w następujący sposób: a∆b = b. Wykazać,
że jest to działanie łączne.
Zadanie 1.3. Zbadać własności działania ∆:
(a) określonego w zbiorze Z wzorem a∆b := a2 + b − 1;
(b) określonego w zbiorze R wzorem a∆b := a + b + ab.
Zadanie 1.4. Określić za pomocą tabelki takie działanie w zbiorze {a, b, c, d}, które nie ma ani własności
łączności, ani przemienności.
Zadanie 1.5. W zbiorze A jest określone przemienne, łączne i posiadające element neutralny e działanie
∆. W zbiorze 2A wszystkich podzbiorów zbioru A wprowadzamy działanie ◦:
B ◦ C = {a ∈ A | a = b∆c ∧ b ∈ B ∧ c ∈ C}
dla dowolnych zbiorów B, C ∈ 2A .
Zadanie 1.6. Czy następujące działania są łączne, przemienne, mają element neutralny?
(a) Działanie ∆ : A × A → A określone wzorem:
0,
gdy a + b jest liczbą parzystą,
a∆b :=
1, gdy a + b jest liczbą nieparzystą.
(b) Działanie ∆ : R2 × R2 → R2 określone wzorem:
(x1 , x2 )∆(y1 , y2 ) := (x1 + y1 , x2 − y1 ).
Zadanie 1.7. W zbiorze Z określamy działania następujące działania:
a b := ab + a + b oraz a ⊕ b := a + b + 1.
Zbadać własności tego działania. Ponadto, czy:
(a) działanie jest rozdzielne względem działania ⊕,
(b) działanie jest rozdzielne względem działania ,
(c) działanie ⊕ jest rozdzielne względem działania ,
(d) działanie ⊕ jest rozdzielne względem działania ⊕?
1
Algebra liniowa z geometrią, /
Maciej Karpicz
2
Zbiór zadań
Grupy, ciała
Zadanie 2.1. Które z następujących struktur są grupami: (N, +), ({0, 1, 2, 3, 4}, +), (Z, +), (nZ, +) dla
dowolnego n ∈ Z, (Q, +), (R\Q, +), ((R\Q)∪{0}, +), ({−1, 1}, ·), ({−1, 0, 1}, ·), (R+ , ·), (R, ·), (R\{0}, ·)
oraz ({z ∈ C | |z| = 1}, ·), gdzie · jest zwykłym mnożeniem, a + zwykłym dodawaniem.
Zadanie 2.2. Czy dwójka (X, ∆) tworzy grupę, gdzie
(a) X = Z, a ∆ określona jest wzorem a∆b := a + b + 2?
(b) X = R, a ∆ określona jest wzorem a∆b :=
a+b
2 ?
(c) X = N, a ∆ określona jest wzorem a∆b := max{a, b}?
(d) X jest zbiorem wszystkich naturalnych dzielników liczby 6, a ∆ określona jest wzorem a∆b =
N W D(a, b)?
Zadanie 2.3. Czy dwójka (Z2 × Z2 , ◦) tworzy grupę, gdzie działanie ◦ określone jest wzorem (x, y) ◦
(x0 , y 0 ) := (x +2 x0 , y +2 y 0 )?
√
√
Zadanie 2.4. Pokazać, że Z[ 2] = {a + b 2 ∈ R | a, b ∈ Z} z dodawaniem jest grupą.
Zadanie 2.5. Czy zbiór wszystkich liczb wymiernych z działaniem dodawania i mnożenia liczb jest
ciałem?
√
√
Zadanie 2.6. W zbiorze Q[ 2] = {a + b 2 ∈ R | a, b ∈ Q} działania dodawania i mnożenia określono
tak jak na liczbach rzeczywistych. Czy jest to ciało?
√
Zadanie 2.7. W ciele Q[ 2] rozwiązać równania:
√
(a) x2 + x − 7 + 6 2 = 0;
(b) x2 − x − 3 = 0.
Zadanie 2.8. W zbiorze liczb rzeczywistych R określamy dodawanie i mnożenie w następujący sposób
a ⊕ b := a + b + 1, a b := a + b + ab.
Czy jest to ciało?
Zadanie 2.9. W zbiorze Q2 określamy działania dodawania i mnożenia w następujący sposób
(a, b) ⊕ (c, d) := (a + c, b + d), (a, b) (c, d) := (ac, bd).
Czy jest to ciało?
Zadanie 2.10. W zbiorze R2 określamy działania dodawania i mnożenia w następujący sposób
(a, b) ⊕ (c, d) := (a + c, b + d), (a, b) (c, d) := (ac − bd, ad + bc).
Czy jest to ciało?
Zadanie 2.11. Znajdź wszystkie elementy odwracalne w pierścieniu Z28 (odp. Z40 ). Oblicz odwrotność
reszt 19 oraz 11 w Z28 (odp. 23 oraz 29 w Z40 ).
Zadanie 2.12. Udowodnić, że pierścień Zp jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy p jest liczbą pierwszą.
Zadanie 2.13. Udowodnić, że w ciele K o charakterystyce p:
(a) jest spełniona tożsamość
m
m
m
(x + y)p = xp + y p ,
gdzie m jest liczbą natrulną;
(b) jeśli ciało K jest skończone, to odwzorowanie ϕ : K → K, dane wzorem ϕ(x) = xp , jest automorfizmem.
Zadanie 2.14. Rozwiąż równania i układy równań:
2
Algebra liniowa z geometrią, /
Maciej Karpicz
(a) 2x = 5 nad Z7 ;
(b) 5x + 19y = 1 nad Z23 ;
x + (a + 3)y = 1
nad Z7 w zależności od pa6ax + 2y = 1
rametru a ∈ Z7 ;
2x + 17y = 1
(d)
nad ciałem Z23 ;
7x + y = 2
(c)
Zbiór zadań

x + 2y + 3z = 0
4x + y = 0
(e)
nad ciałem Z5 ;

3x + y + z = 1

x + 2z = 1
(f) y + 2z = 2 nad Z5 (Z3 );

2x + z = 1

x+z =1
y + z = 2 nad Z5 (Z3 )
(g)

2x + y = 1
oraz wypisz wszystkie rozwiązania.
Zadanie 2.15. Znaleźć taki wielomian f (X) stopnia nie większego niż 3 i o współczynnikach z ciała Z5 ,
że
f (0) = 3, f (1) = 3, f (2) = 0, f (4) = 4.
3
Algebra liniowa z geometrią, /
Maciej Karpicz
3
Zbiór zadań
Liczby zespolone
Zadanie 3.1. Wykonać działania na liczbach zespolonych:
(a) (2 + i) + (−3 + 5i),
(b)
(d)
43+7i
2−3i ,
(e) ( 21 −
2+i
−3+5i ,
(f)
(c) (3 + 7i)(−2 + i) + (−5 + 2i)(−1 + 7i),
√
3 3
2 i) ,
(1−i)2 +(2+3i)2
(1+i)2 +(1−i)3 .
Zadanie 3.2. Pokazać, że dla dowolnych liczb zespolonych z1 i z2 zachodzą zależności:
(a) z1 + z2 = z1 + z2 ,
(d) ( zz12 ) =
z1
z2 ,
(b) z1 − z2 = z1 − z2 ,
(e) |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |,
(c) z1 · z2 = z1 · z2 ,
(f) |z1 + z2 |2 = |z1 |2 + 2<(z¯1 z2 ) + |z2 |2 .
Zadanie 3.3. Pokazać, że dla dowolnych liczb zespolonych z, u, zachodzą następujące równości:
(a) <z = 21 (z + z̄),
(c) <(z + u) = <(z) + <(u),
(b) =z = − 2i (z − z̄),
(d) =(z + u) = =(z) + =(u).
Zadanie 3.4. Pokazać, że dla dowolnej liczby zespolonej z 6= −1 spełniony jest warunek:
z−1
<
= 0 ⇐⇒ |z| = 1.
z+1
Zadanie 3.5. Naszkicować na płaszczyźnie R2 (utożsamianej z C) zbiory
(a) {z ∈ C | |z| = 1},
(d) {z ∈ C | |z − 1 − 2i| < 3},
(g) {z ∈ C | =( iz+i
z̄−1 ) ¬ 1},
(b) {z ∈ C | |z| = i},
(e) {z ∈ C | |z − i| = |z + i|},
(h) {z ∈ C | | z−3
z+1 | ­ 1},
(c) {z ∈ C | 0 < |z − 1| ¬ 1},
(f) {z ∈ C | z = −z̄},
(i) {z ∈ C | 0 ¬ <(iz) < 1}.
Zadanie 3.6. Znaleźć na płaszczyźnie zespolonej zbiór punktów z spełniających warunek
|z − z1 |2 + |z − z2 |2 = 2a2 ,
gdzie z1 , z2 ∈ C oraz a ∈ R są ustalone.
Zadanie 3.7. Rozwiązać w ciele liczb zespolonych równanie
(1 − i)z = (3 − i)z + 2 + 3i.
Zadanie 3.8. Rozwiązać układy równań z dwiema niewiadomymi
(a) rzeczywistymi x i y:
2−i
+y
x
3+i
(b) zespolonymi u i w:
(4 − 2i)u + i(3 + 2i)w = 5 − 4i
(a)
,
(3 + i)u + (4 − 2i)w = 2 − 6i
Zadanie 3.9.
4+i
1 + 3i
2
= 1 − i;
(b)
(4 − 3i)z + (2 + i)w = 5(1 + i)
.
(2 − i)z − (2 + 3i)w = −(1 + i)
(a) Obliczyć pierwiastki kwadratowe z liczb zespolonych
4
Algebra liniowa z geometrią, /
Maciej Karpicz
Zbiór zadań
√
(a) 1 − i 3,
(c) 15 − 8i.
(b) 3 + 4i,
(b) Rozwiązać następujące równania z niewiadomą zespoloną z:
(a) z 2 − 3z + 3 − i = 0,
(b) z 4 + 10z 2 + 169 = 0,
(c) z 4 − (18 − 4i)z 2 + 77 + 36i = 0.
Zadanie 3.10. Przedstawić w postaci trygonometrycznej następujące liczby zespolone:
(a) 1,
(d) 1 + i,
(b) i,
(e) 1 − i,
(c) −i,
(f) −1 + i,
√
(j) (2 − 2i)( 3 + i),
√
3 + i,
√
(h) − 3 − i,
√
(i) 1 − i 3,
(g)
(k) sin(α) + i cos(α),
√
(l)
3−i
1+i .
Zadanie 3.11. Obliczyć:
(a) (1 +
√
3i)12 ,
√
(b) (−1 + i)2008 ,
3i 20
(c) ( 1+i
1−i ) .
Zadanie 3.12. Obliczyć (wykorzystując wzory de Moivre’a):
(a)
(b)
√
3
√
6
1,
(c)
i,
(d)
√
3
√
−i,
q
√
(e) 4 − 21 + i 23 ,
−3 − 4i,
(f)
Zadanie 3.13. Udowodnić, że jeśli z spełnia równość z +
2 cos nϕ.
1
z
q√
3
3−i
−2+2i .
= 2 cos ϕ, to spełnia równość z n +
1
zn
=
Zadanie 3.14. Dla trzech liczb zespolonych, o tym samym różnym od zera module, udowodnić, że
ich suma jest równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy są one wierzchołkami trójkąta równobocznego. Czy
podobne twierdzenie jest prawdziwe dla czterech liczb i kwadratu?
Zadanie 3.15. Udowodnić, że jeśli liczba zespolona z jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach
rzeczywistych, to liczba z też jest pierwiastkiem tego wielomianu. Czy jest tak dla wielomianów o współczynnikach zespolonych? Uzasadnić, że każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych jest iloczynem
czynników stopnia co najwyżej dwa.
Zadanie 3.16.
(a) Obliczyć wszystkie pierwiastki zespolone szóstego stopnia z liczby −1.
(b) Wykazać, że zbiór wszystkich pierwiastków zespolonych n-tego stopnia z 1 tworzy grupę ze względu
na mnożenie. Czy jest ona izomorficzna z jakąś znaną grupą?
(c) Udowodnić, że dla n > 2 suma wszystkich pierwiastków zespolonych n-tego stopnia z 1 wynosi 0.
(d) Czemu jest równy iloczyn wszystkich pierwiastków zespolonych n-tego stopnia z 1?
(e) Wykazać, że zbiór wszystkich pierwiastków zespolonych z 1 wszystkich możliwych stopni naturalnych n ­ 1 tworzy grupę ze względu na mnożenie.
Zadanie 3.17. Wyprowadzić wzory:
(a) cos 2nx =
n
P
k=0
(b) sin 2nx =
n−1
P
k=0
2n
2k
(−1)k cos2(n−k) x sin2k x,
2n
2k+1
(−1)k cos2(n−k)−1 x sin2k+1 x
dla dowolnej liczby naturalnej n.
5
Algebra liniowa z geometrią, /
Maciej Karpicz
4
Zbiór zadań
Macierze
Zadanie 4.1. Wykonać działania na macierzach.
1 n
1 m
(a)
·
;
0 1
0 1
cos α
(b)
sin α
− sin α
cos β
·
cos α
sin β
Zadanie 4.2. Obliczyć:
n
cos α sin α
(a)
;
− sin α cos α
− sin β
;
cos β

3
(c) 2
1
−4
−2
2
1
(d)
2
5
−3
(b)
2
5
 

5
1 2
1 · 2 3 ;
3
0 −3


2 −3 5
3 
· −1 4 −2.
1
3 −1 1
1
1
·
3
1
0
3
·
1
−5
n
−1
.
2
Zadanie 4.3. Za pomocą macierzy dopełnień algebraicznych obliczyć macierz odwrotną do macierzy
h2 4 5 i
h3 4 2i
4 3 ],
(a) [ 43 97 ],
(b) [ 11
(c) 3 5 7 ,
(d) 4 5 3 .
8
4 9 11
797
Zadanie 4.4. Za pomocą operacji elementarnych na wierszach znaleźć macierz odwrotną do macierzy
h4 5 2i
1 0 1 1
1 3 3 1 h1 2 3i
1
1
1
1
(b) 1 2 1 ,
(a) 2 5 7 ,
(c) 0 1 1 1 ,
(d) 22 77 77 21 .
374
379
0 1 2 −1
1101
Zadanie 4.5. Dla jakiego parametru t ∈ R dana macierz jest odwracalna? Znajdź macierz odwrotną.
2 3
0 t 3 0 t t t
(a) [ 10 1t ].
(b) [ 1t 0t ].
2
3
(c) 0 t t .
(d) 3t 30 0t 00 .
0 0 t3
00
3t
Zadanie 4.6. Udowodnij, że jeśli A ∈ Mn (R) i A2 + A − I = 0, to istnieje macierz A−1 i przy tym
A−1 = A + I.
Zadanie 4.7. Za pomocą minorów obejmujących i operacji elementarnych wyznaczyć rzędy następujących macierzy:
h 8 2 2 −1 1 i
4 1 7 −5 1 −3 −5
(a) 1 7 4 −2 5 ;
(c) 30 −71
−2 4 2 −1 3
4
5 −3 2 ;
2
(b)
1
7
4
−1
7
5
2
1
7
1
−1
3
9
−1
−3
5
3 −1 3
5
" 77 32 6 5 3 #
;
(d)
32
6
5
4
14
3
2
1
3
1
0
0
2
0
1
0
1
0
0
1
.
Zadanie 4.8. Wyznaczyć, w zależności od wartości parametru λ, rząd podanych macierzy:
h 1 λ −1 2 i
7−λ −12
6
(c) 2 −1 λ 5 .
10 −19−λ 10
(a)
;
1 10 −6 1
12
λ
1
1 λ
1 2
(b) 
 .. ..
. .
−24
2
2
λ
..
.
13−λ
··· n−1 1
··· n−1 1
··· n−1 1 

..
. . ;
. .. .. 
1 2 3 ···
1 2 37··· n
λ
1
1
··· λn
2 1 λ ··· λn−1
 2 2 1 ··· λn−2
 1 λ λ2
(d) 
.. .. .. . .
. . . .
2 2 2 ···


.
.. 
.
1
Zadanie 4.9. Udowodnić, że:
(a) rząd iloczynu macierzy jest nie większy od rzędu każdego z czynników tego iloczynu;
(b) rząd macierzy (A | B), otrzymanej przez dopisanie do macierzy A macierzy B, jest nie większy od
sumy rzędów macierzy A i B;
(c) rząd sumy macierzy jest nie większy od sumy rzędów tych macierzy.
6
Algebra liniowa z geometrią, /
Maciej Karpicz
Zbiór zadań
Zadanie 4.10. Niech A i B będą macierzami o wyrazach rzeczywistych i jednakowej liczbie wierszy.
Wykazać, że
A 2B ] = rz A + rz B.
rz [ 2A
6B
Zadanie 4.11. Wykazać, że za pomocą operacji elementarnych na wierszach, każdą macierz nieosobliwą
można sprowadzić do postaci
 1 0 ··· 0 0 
0 1 ··· 0 0
 .. .. . . .. ..  .
.. .. .
0 0 ··· 1 0
0 0 ··· 0 d
Zadanie

a
(a)  i
0
4.12. Zbadać nieosobliwość macierzy

i 0
a 0,
0 1

a 0
(b)  i a
0 i

i
0
a
w zależności od parametru a ∈ C.
Zadanie 4.13. Rozwiązać następujący układ równań liniowych

   

1 + i 3 + i 2 + 3i z1
1
1+i
(a) 2 + 2i 7 + 3i 4 + 6i z2  =  2 
(b) 2 + 2i
2 − 3i 2 − i 1 − i
z3
−i
1+i
3+i
7 + 3i
4 + 2i
   
2 + 3i z1
1
4 + 6i z2  = 2
2 + 3i z3
1
nad Q[i] = {a + bi | a, b ∈ Q} (pokazać, że ten zbiór tworzy ciało) oraz nad C. Porównać oba zbiory
rozwiązań. Uzasadnić, że jeśli wszystkie współczynniki pewnego nieosobliwego układu równań liniowych
należą do mniejszego ciała K ⊆ C, to rozwiązanie tego układu ma wszystkie współrzędne w K.
7
Algebra liniowa z geometrią, /
Maciej Karpicz
5
Zbiór zadań
Przestrzenie liniowe
Zadanie 5.1. Czy zbiór liczb rzeczywistych R z działaniami ⊕, jest przestrzenią wektorową, jeżeli:
(a) x ⊕ y = 2x + 2y, α x = αx, gdzie α, x, y ∈ R;
(b) x ⊕ y = x + 2y, α x = αx, gdzie α, x, y ∈ R?
Zadanie 5.2. Pokazać, że jeśli (K, +, ·) jest ciałem, to K jest przestrzenią liniową nad K.
Zadanie 5.3. Zbadać, które z następujących struktur są przestrzeniami wektorowymi nad R:
(a) zbiór ciągów o wyrazach rzeczywistych z działaniami x + y := (x1 + y1 , x2 + y2 , . . .), αx :=
(αx1 , αx2 , . . .) dla x = (x1 , x2 , . . .), y = (y1 , y2 , . . .) oraz α ∈ R;
(b) zbiór liczb rzeczywistych dodatnich z działaniami określonymi następująco: x + y := xy, αx := xα
dla x, y, α ∈ R.
Zadanie 5.4. Czy są przestrzeniami liniowymi:
(a) Va = {f ∈ F[0,1] | f ( 12 ) = 0} nad R;
(b) Va = {f ∈ F[0,1] | f ( 12 ) = 1} nad R?
(Przypomnijmy, że F[0,1] jest zbiorem funkcji o dziedzinie [0, 1] i przeciwdziedzinie R. Działanie dodawania, dla f , g ∈ F[0,1] , określone jest następująco (f + g)(x) = f (x) + g(x), a mnożenie przez skalar λ ∈ R
określamy wzorem (λf )(x) = λf (x).)
Zadanie 5.5. Jakie aksjomaty przestrzeni liniowej spełnia grupa (R2 , +), z dodawaniem po współrzędnych, w której określamy mnożenie przez skalar λ ∈ R według wzoru λ(x, y) := (λx, 0)?
Zadanie 5.6. Udowodnić następujące własności przestrzeni liniowej V nad ciałem K:
(a) ∀λ∈K λ0 = 0;
(b) ∀x∈V 0x = 0;
(c) ∀λ∈K ∀x∈V [λx = 0 ⇐⇒ (λ = 0 ∨ x = 0)];
(d) ∀λ∈K ∀x∈V λ(−x) = (−λ)x = −λx;
(e) ∀λ∈K ∀x,y∈V λ(x − y) = αx − αy;
(f) ∀λ∈K ∀x,y∈V [λ = 0 ∧ λx = λy] ⇒ x = y.
Zadanie 5.7. Z ilu wektorów składa się przestrzeń liniowa (Z35 , +5 , ·5 )?
8
Algebra liniowa z geometrią, /
Maciej Karpicz
6
Zbiór zadań
Podprzestrzenie liniowe
Zadanie 6.1. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Udowodnić poniższe własności przestrzeni V .
(a) Część wspólna podprzestrzeni liniowych przestrzeni V jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V .
(b) Suma V1 + V2 := {v + w ∈ V | v ∈ V1 ∧ w ∈ V2 } podprzestrzeni V1 , V2 przestrzeni liniowej V jest
jej podprzestrzenią liniową.
Zadanie 6.2. Sprawdzić czy zbiór:
(a) {(1, x2 ) ∈ R2 | x2 ∈ R)} jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R2 nad R;
(b) {(x1 , x2 ) ∈ R2 | 2x1 + x2 = 0} jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R2 nad R;
(c) {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x2 = x3 − 5x1 } jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R3 nad R.
Zadanie 6.3. Który z poniższych podzbiorów przestrzeni liniowej Rn (nad R) jest jej podprzestrzenią
liniową:
(a) {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn | x1 ∈ Z};
(b) {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn | x1 = 0 ∨ x2 = 0}?
Zadanie 6.4. Niech K będzie dowolnym ciałem. Sprawdzić, które z podanych niżej podzbiorów przestrzeni liniowej K 4 (nad K) są podprzestrzeniami liniowymi:
(a) {(t, t + 1, 0, 1) ∈ K 4 | t ∈ K};
(c) {t(0, 1, 1, 0) + u(0, 0, 1, 0) ∈ K 4 | t, u ∈ K};
(b) {(t, u, t + u, t − u) ∈ K 4 | t, u ∈ K};
(d) {(tu, 0, tu, 0) ∈ K 4 | t, u ∈ K}.
Zadanie 6.5. Niech K będzie dowolnym ciałem. Sprawdzić, które z określonych niżej podzbiorów przestrzeni K[X] (wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach w ciele K) są podprzestrzeniami liniowymi:
(a) {F ∈ K[X] | F (2) = 0};
(c) {F ∈ K[X] | deg(F ) = 6};
(b) {F ∈ K[X] | deg(F ) ¬ 6};
(d) {F ∈ K[X] | F jest podzielny przez X 2 + 1}
Zadanie 6.6. Udowodnić, że podzbiór {(0, 0, 0), (1, 2, 1), (2, 1, 2)} ⊂ Z33 jest podprzestrzenią liniową
przestrzeni Z33 .
9
Algebra liniowa z geometrią, /
Maciej Karpicz
7
Zbiór zadań
Kombinacje liniowe wektorów, liniowa niezależność, baza i
wymiar
Zadanie 7.1. Zapisać wektor v w postaci kombinacji liniowej wektorów v1 oraz v2 , gdzie:
0
(a) v = [ 12 ], v1 = −1
(c) v = [ 34 ], v1 = [ 10 ], v2 = [ 07 ].
0 , v2 = [ 7 ];
(b) v = [ 27 ], v1 = [ 31 ], v2 = −6
−2 ;
h1i
h 0 i
h 1 i
Zadanie 7.2. Niech v1 = i , v2 = 1−i oraz v3 = 2−i . Wyznaczyć wektory:
0
1
2i
(a) 2v1 − iv2 ;
(b) iv1 + (1 + i)v2 − (i + 3)v3 .
h1i
Zadanie 7.3. Dla jakich wartości parametru a wektor a daje się jednoznacznie przedstawić w postaci
3
hai
h 2 i
1
−a
kombinacji liniowej wektorów
oraz
?
3
1
Zadanie 7.4. Czy wektor v jest kombinacją liniową wektorów vi , gdzie
(a) v =
h
3
2
−5
i
, v1 =
2
(b) v(t) = t + t +
h2i
5
2,
2
0
, v2 =
h1i
0 ,
0
2
v1 (t) = 2t + 1, v2 (t) = t + 1,
(c) v = [ 13 05 ], v1 = [ 11 02 ], v2 = [ 12 03 ].
Zadanie 7.5. Liniowa niezależność wektorów.
(a) Zbadać liniową zależność wektorów nad ciałem R:
h1i
h2i
h4i
(i) v = [ 34 ], w = −1
(iv) v = 1 , w = 3 , u = 1
2 ,
1
2
2
7
(ii) v = [ 10 ], w = −3
1
2
1 1 , u = [ 1 ],
h 6 i
h −3 i
h1i
(v) v = 32 , w = 23 , u = −5
(iii) v = 1 , w = 0 , u = −2 ,
0 .
1
2
1
4
(b) Zbadać liniową zależność wektorów nad ciałem C:
hii
h
h0i
h 1 i
(ii) v =
(i) v = 1 , w = i , u = 1 ,
2
−i
1
2
i
−i
3
i
,w=
h
2i
−1
1
3
i
,u=
h1i
2
3
.
hai
h0i
h1i
(c) Dane są wektory v1 = 0 , v2 = b i v3 = c w przestrzeni R3 . Czy można tak dobrać wartości
0
1
2
a, b, c, by wektory v1 , v2 , v3 tworzyły zbiór liniowo niezależny?
h1i
h2i
(d) W przestrzeni R3 dane są wektory v1 = 1 oraz v2 = 0 . Znaleźć takie wektory v3 oraz v4 , że
1
1
wektory v1 , v2 , v3 tworzą zbiór liniowo niezależny zaś wektory v1 , v2 , v4 zbiór liniowo zależny.
h v1 i
h w1 i
2
(e) Wykazać, że wektory v = vv2 i w = w
są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją
w
3
3
dwa różne indeksy i, j ∈ {1, 2, 3} takie, że vi wj − vj wi 6= 0. Czy ta równoważność zachowa się, gdy
3 zastąpimy inną liczbą naturalną?
Zadanie 7.6. Baza i wymiar.
(a) Czy zbiór B jest bazą przestrzeni V , gdy:
(i) B = {[ ii ] , [ 0i ]}, V = C2 ,
(ii) B = {[ 10 01 ] , [ 01 10 ] , [ 00 10 ] , [ 10 11 ]}, V = M2×2 (R).
(b) Niech X będzie podzbiorem przestrzeni R4 złożonym z następujących elementów:
0 1
2 2 4
1
−4
2
2 , a = 0 .
a1 = −1
, a2 = 10 , a3 = −1
,
a
=
,
a
=
4
5
6
2
0
1
1
2
3
2
−2
8
2
Znaleźć podzbiór Y zawarty w X będący bazą przestrzeni hXi.
(c) Niech ei , dla i = 1, . . . , n, będą elementami bazy standardowej K n . Znaleźć wymiar i bazę podprzestrzeni rozpiętej przez wektory ei + ej dla 1 ¬ i, j ¬ n, i 6= j, jeśli
10
Algebra liniowa z geometrią, /
Maciej Karpicz
Zbiór zadań
(i) K = Q,
(ii) K = Z2 .
(d) Udowodnić, że jeśli wektory u, v oraz w tworzą bazę pewnej przestrzeni liniowej, to wektory u, u − v
oraz u − v − w też tworzą bazę tej przestrzeni.
(e) Znaleźć wymiar przestrzeni U wszystkich n × n macierzy górnotrójkątnych o współczynnikach w
ciele k.
(f) Niech U1 (odp. U2 i U3 ) będzie podzbiorem U (z punktu (e)) złożonym ze wszystkich macierzy
A = [ai,j ]1¬i,j¬n ∈ U takich, że a1,1 = a2,2 = . . . = an,n = 0 (odp. a1,1 = a2,2 = . . . = an,n = λ ∈ k
i a1,1 + a2,2 + · · · + an,n = 0). Uzasadnić, że U1 , U2 i U3 są podprzestrzeniami U oraz znaleźć
wymiary tych podprzestrzeni.
(g) Wykazać, że funkcje en dla n ∈ N, zadane wzorem en (m) = δm,n dla dowolnego m ∈ N, tworzą
zbiór wektorów liniowo niezależnych w k-przestrzeni F(N, k). Czy jest to baza tej przestrzeni? Opisz
podprzestrzeń generowaną przez ten zbiór.
Zadanie 7.7. Przedstawianie wektora w zadanej bazie.
h1i
h1i
h2i
(a) Sprawdzić, że wektory v1 = 3 , v2 = 2 i v3 = 3 stanowią bazę przestrzeni R3 . Znaleźć
2
1
3
współrzędne w tej bazie następujących wektorów:
h4i
h2i
hxi
h −1 i
(i) 8 ,
(iii) 3 ,
(iv) y .
(ii) −2 ,
6
z
3
−1
(b) Wektor v przedstawić w bazie f1 , . . . , fn przestrzeni Qn , gdzie:
h1i
h1i
h6i
h1i
(i) f1 = 1 , f2 = 1 , f3 = 2 oraz v = 9 ,
3
14
h 12 i
h2 3 i
h 1 i
h 6 i
(ii) f1 = 1 , f2 = 2 , f3 = −1 oraz v = 2 ,
7 11 1 −7
−3
−5
1
2
2
14
3
3
2
.
(iii) f1 = −1 , f2 = 0 , f3 = 1 , f4 = −1 oraz v = −1
−1
−2
4
0
0
(c) Dana jest baza {1, x + 2, (x + 2)2 , (x + 2)3 } przestrzeni Fw,3 (R, R). Przedstawić w postaci liniowej
kombinacji wektorów bazy następujące funkcje wielomianowe:
(i) 3x3 + 2x2 + 7x,
(ii) x3 + 2x − 13.
(d) Dana jest funkcja wielomianowa an xn + . . . + a1 x + a0 ∈ Fw (R, R). Znaleźć jej przedstawienie w
bazie 1, (x − a), (x − a)2 , . . ., gdzie a jest ustaloną liczbą rzeczywistą.
Zadanie 7.8. Dane są dwie bazy F = {f1 , f2 , f3 } i G = {g1 , g2 , g3 } przestrzeni K 3 oraz wektor v =
x1 f1 + x2 f2 + x3 f3 . Znaleźć jego przedstawienie w bazie G, jeśli
h1i
h1i
h0i
h1i
h1i
h0i
(a) f1 = 0 , f2 = 2 , f3 = 2 , g1 = 1 , g2 = 2 , g3 = 2 , x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, a K = Z5 ,
1
1
3
1
3
1
h1i
h1i
h1i
h1i
h1i
h0i
(b) f1 = 0 , f2 = 1 , f3 = 2 , g1 = 1 , g2 = 0 , g3 = 1 , x1 = 4, x2 = 2, x3 = 2, a K = Q.
1
2
2
0
1
1
Zadanie 7.9. Niech Fw,n := Fw (R; R)n oznacza podzbiór zbioru Fw (R, R) złożony ze wszystkich funkcji
wielomianowych zadanych przez wielomiany stopnia mniejszego bądź równego n (n ∈ N).
(a) Wykazać, że funkcje f1 , f2 , f3 zadane przez wielomiany −2, 2x + 1, 3x2 + 1 tworzą bazę przestrzeni
Fw,2 . Znaleźć współrzędne wektorów, które są funkcjami zadanymi przez wielomiany x2 + 1, 3x + 1,
1, ax2 + bx + c.
(b) Dana jest podprzestrzeń przestrzeni Fw,3 generowana przez funkcje wielomianowe zadane przez
wielomiany 4x3 + 5x2 + 6x + 7, 3x3 + 4x2 + 5x + 6, 2x3 + 3x2 + 4x + 5, x3 + 2x2 + 3x + 4. Znaleźć bazę
tej podprzestrzeni złożoną z funkcji wielomianowych należących do podanego zbioru generatorów.
(c) Uzupełnić do bazy przestrzeni Fw,5 ciąg funkcji wielomianowych f1 , f2 , f3 , f4 zadanych odpowiednio
przez wielomiany x5 − x4 , x5 + 3x3 , x5 − 2x2 , x5 + x.
(d) Niech f ∈ Fw,n będzie dowolną funkcją, n ∈ N. Znaleźć warunek dostateczny i wystarczający na
to, by zbiór funkcji {f, f 0 , f 00 , . . . , f (n) } był zbiorem liniowo niezależnym.
11
Algebra liniowa z geometrią, /
Maciej Karpicz
8
Zbiór zadań
Układy równań
Zadanie 8.1. Rozwiąż, metodą eliminacji Gaussa, układy równań nad ciałem liczb rzeczywistych:

2x1 + x2 + x3 = 4
 −9x1 + 6x2 + 7x3 + 10x4 = 3
(a)
;
−6x1 + 4x2 + 2x3 + 7x4 = 7 ;
x1 − 2x2 + x3 = 7
(g)

−3x
1 + 2x2 − 11x3 − 15x4 = 1
2x1 + x2 + x3 = 4

(b)
;
8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

x1 + 12 x2 + x3 = 7



 3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10
2x1 + x2 + x3 = 4
4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8 ;
(h)
;
(c)


x1 + 12 x2 + 12 x3 = 7
3x1 + 3x2 + x3 + x4 = 15




7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18
 −x1 + x2 + x3 = 0

5x1 + x2 − 2x3 = 4 ;
(d)
−6x1 + 9x2 + 3x3 + 2x4 = 4

−2x1 − 2x2 + x3 = −3
(i) −2x1 + 3x2 + 5x3 + 4x4 = 2 ;

−4x1 + 6x2 + 4x3 + 3x4 = 3

 x1 + 2x2 − x3 = 2

3x1 + x2 + x3 = 4 ;
(e)
2x1 + 5x2 + 2x3 = 1

5x1 + 5x2 − x3 = 8
(j) 5x1 + 9x2 + 7x3 = 3 ;

x1 − 8x2 + 7x3 = 1

 −x1 + x2 + x3 + x4 = 0
5x1 + x2 − 2x3 + x4 = 2 ;
3x1 + 4x2 + 2x3 − 3x4 = 6
(f)
(k)
.

−2x1 − 2x2 + x3 + x4 = −3
2x1 + 3x2 − 4x3 + 2x4 = 3
Zadanie 8.2. Zbadać układ równań liniowych i znaleźć jego rozwiązanie ogólne, w zależności od parametru λ ∈ R:


2x1 + 5x2 + x3 + 3x4 = 2
−6x1 + 8x2 − 5x3 − x4 = 9






4x1 + 6x2 + 3x3 + 5x4 = 4
−2x1 + 4x2 + 7x3 + 3x4 = 1
;
;
(b)
(a)
4x1 + 14x2 + x3 + 7x4 = 4
−3x1 + 5x2 + 4x3 + 2x4 = 3






2x1 − 3x2 + 3x3 + λx4 = 7
−3x1 + 7x2 + 17x3 + 7x4 = λ

λx1 + x2 + x3 = 1
(c) x1 + λx2 + x3 = 1 .

x1 + x2 + λx3 = 1
Zadanie 8.3. Za pomocą wzorów Cramera rozwiązać następujący układ równań nad ciałem liczb rzeczywistych:

2x1 − x2 = 1
2x1 + 5x2 = 1
2x1 + x2 + x3 = 3
(a)
;
(b)
;
x1 + 16x2 = 17
3x1 + 7x2 = 2
(c) x1 + 2x2 + x3 = 0 .

x1 + x2 + 2x3 = 0
Zadanie 8.4. Znaleźć taki wielomian f , o współczynnikach rzeczywistych, że
(a) deg f ¬ 2 oraz f (1) = 8, f (−1) = 2, f (2) = 14.
(b) deg f ¬ 3 oraz f (−2) = 1, f (−1) = 3, f (1) = 13, f (2) = 33.
Zadanie 8.5. Rozwiąż układy równań nad ciałem liczb zespolonych:
(4 − 2i)u + i(3 + 2i)w = 5 − 4i
(4 − 3i)z + (2 + i)w = 5(1 + i)
(a)
;
(b)
.
(3 + i)u + (4 − 2i)w = 2 − 6i
(2 − i)z − (2 + 3i)w = −(1 + i)
Zadanie 8.6. Udowodnić, że układ równań liniowych o współczynnikach całkowitych ma rozwiązanie
w liczbach całkowitych wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby całkowitej k największe wspólne
dzielniki wszystkich minorów stopnia k macierzy układu i macierzy rozszerzonej układu są równe.
12
Algebra liniowa z geometrią, /
Maciej Karpicz
9
Zbiór zadań
Przekształcenia liniowe
Zadanie 9.1. Które z poniższych odwzorowań są przekształceniami liniowymi?
(a) f : R → R, f (x) = 0.
(b) f : R → R, f (x) = 2x + 3.
(c) f : R → R2 , f (x) = (2x, −x).
(d) f : C → C, f (z) = =(z) + iz, gdzie C jest przestrzenią liniową nad R (C).
(e) f : C → C, f (z) = z̄, gdzie C jest przestrzenią liniową nad R (C).
Zadanie 9.2. (a) Podać przykład funkcji f : R2 → R2 , która nie jest liniowa, ale f (av) = af (v) dla
a ∈ R oraz v ∈ R2 .
(b) Podać przykład funkcji z jednej przestrzeni liniowej w drugą, która jest addytywna, ale nie jest
liniowa.
Zadanie 9.3. Pokazać, że poniższe funkcje są przekształceniami liniowymi. Wyznaczyć jądro i obraz
oraz odpowiedzieć na pytanie, które z tych przekształceń są izomorfizmami liniowymi.
(a) f : R2 → R, f ((x, y)) = 3x − y.
(b) f : R3 → R2 , f ((x1 , x2 , x3 )) = (x3 , x1 − x2 ).
(c) f : R2 → R3 , f ((x, y)) = (x, y, 2x + y).
(d) f : R3 → R3 , f ((x1 , x2 , x3 )) = (x3 , x1 , x2 ).
(e) f : R3 → R3 , f ((x1 , x2 , x3 )) = (x1 + x2 , x2 − x3 , 0).
(f) f : R3 → R3 , f ((x1 , x2 , x3 )) = (2x1 , 2x2 , 4x3 ).
(g) f : C2 → C2 , f ((z1 , z2 )) = (z1 + z2 , 2z1 + 2z2 ).
Zadanie 9.4. Wyznaczyć wymiar i bazę jądra przekształcenia f .
(a) f : R3 → R2 , f (x1 , x2 , x3 ) = (2x1 , x2 + x3 ).
(b) f : R2 → R2 , f (x1 , x2 ) = (x1 − x2 , x1 + x2 ).
(c) f : R3 → R3 , f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 − x2 , 0, −x1 ).
Zadanie 9.5. Czy jest możliwe, by jądrem pewnego endomorfizmu przestrzeni R2 był zbiór:
(a)
[ xx12 ] ∈ R2 : x1 = 0 ∨ x2 = 0 ,(c) [ xx12 ] ∈ R2 : x1 + x2 = 0 ,
(b) Q2 ,
(d) {[ 11 ]},
(e) {[ 00 ]},
(f) R2 ?
Zadanie 9.6. Pokazać, że przekształcenie liniowe ϕ : V → V , gdzie V jest przestrzenią liniową nad K
taką, że dimK V = 1, jest postaci ϕ(v) = λv dla pewnego λ ∈ K i każdego v ∈ V .
Zadanie 9.7. Pokazać poniższe własności odwzorowań liniowych.
(a) Przekształcenie liniowe f : V → W jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy Ker f = {0}.
(b) Niech f : V → W będzie przekształceniem liniowym. Wówczas f (ha1 , . . . , an i) = hf (a1 ), . . . , f (an )i.
(c) Złożenie dwóch monomorfizmów (odpowiednio epimorfizmów, izomorfizmów) liniowych między przestrzeniami liniowymi jest monomorfizmem (odpowiednio epimorfizmem, izomorfizmem) liniowym.
(d) Odwzorowanie odwrotne do izomorfizmu liniowego jest izomorfizmem liniowym.
Zadanie 9.8. Czy poniższe przestrzenie liniowe są izomorficzne?
13
Algebra liniowa z geometrią, /
Maciej Karpicz
√
√
(a) (Q[ 2], Q, +, ·) i (Q[ 3], Q, +, ·).
(b) (M2×3 (Q), Q, +, ·) i (R6 , R, +, ·).
Zbiór zadań
(c) (R4 , R, +, ·) i (Fw,3 (R, R), R, +, ·).
√
(d) (Q[ 2], Q, +, ·) i (R, Q, +, ·).
14
Algebra liniowa z geometrią, /
Maciej Karpicz
10
Zbiór zadań
Macierz przekształcenia liniowego
Zadanie 10.1. Wyznaczyć macierz przekształcenia liniowego w bazach standardowych. Znaleźć jądro
i obraz. Czy jest to izomorfizm liniowy?
(a) f : R3 → R2 , f ((x1 , x2 , x3 )) = (2x1 , x2 + x3 ).
(b) f : R2 → R2 , f ((x1 , x2 )) = (x2 , x1 ).
(c) f : R2 → R2 , f ((x1 , x2 )) = (x1 − x2 , x1 + x2 ).
(d) f : C2 → C2 , f ((z1 , z2 )) = (iz1 − z2 , z1 + iz2 ).
Zadanie
10.2. Przekształcenie liniowe ϕ : R3 → R2 określone jest w bazach standardowych macierzą
1 −1
2
.
Aϕ = 0 1 −2
(a) Podać wzór na ϕ.
(b) Obliczyć ϕ(3e2 − e3 ).
(c) wyznaczyć ϕ(he1 + e2 , e2 − 3e3 i).
(d) Czy wektory 2e2 + e3 , e1 − 2e2 − e3 należą do Ker ϕ.
Zadanie 10.3. Znaleźć macierz przekształcenia liniowego f : Fw,3 (R, R) → R3 w bazach standardowych
zadanego wzorem
f (t) =
(f 0 −f )(1)
(f 0 +f )(1)
(f 0 +f )(−1)
,
dla f ∈ Fw,3 (R, R).
Zadanie 10.4. Wyznaczyć macierz przekształcenia liniowego f : R2 → R2 danego wzorem f ((x1 , x2 )) =
(x1 + x2 , −x1 + x2 ) w bazach:
(a) standardowych,
(b) (e2 , e1 ), (e3 , e1 , e2 ),
(c) (e1 + e2 , e1 − e2 ), (e1 , e1 + e2 , e1 + e2 + e3 ).
Zadanie
Przekształcenie liniowe T = TA : R3 → R4 zadane jest w bazach standardowych macierzą:
2 0 110.5.
A = 12 13 23 . Znaleźć bazę podprzestrzeni T −1 (V1 ) oraz T −1 (V2 ), jeżeli
114
(a) V1 = h{b1 , b2 , b3 }i, gdzie b1 =
4
−5 3
1 , b =
1 , b = 3 ,
2
3
1
5
3
1
3
2
1 −2
5
(b) V2 = h{c1 , c2 , c3 }i, gdzie c1 = 9 , c2 = −4 , c3 =
9
−4
5
4
3
1
−1
.
15
Algebra liniowa z geometrią, /
Maciej Karpicz
11
Zbiór zadań
Macierz przejścia
Zadanie 11.1. Dla podanych baz A i B przestrzeni liniowej Rn znaleźć macierz przejścia od bazy A do
bazy B.
1
−2
1 , −1 , B = ([ 31 ] , [ 52 ]).
h 1 i h 2 i h 0 i
h 0 i h 0 i h 1 i
0
0 , 1 , 0
(b) A =
, 0 , 1 ,B=
.
(a) A =
−1
1
0
1
0
0
h 0 i h 0 i h 1 i
h −1 i h 2 i h 0 i
1 , 0 , 0
(c) A =
,B=
, −3 , 0 .
2
0
1
0
3
1
2
1
4
1
1
h 1 i h 2 i h 3 i
h 3 i h 2 i h
2 , 3 , 7
1 , 5 ,
(d) A =
,B=
1
1
1
−6
i
.
Zadanie 11.2. Niech A = (X1 , . . . , Xn ) i B = (Y1 , . . . , Yn ) będą bazami przestrzeni liniowej V nad
ciałem K. Pokazać, że PBA · PAB = IdV , gdzie PBA jest macierzą przejścia od bazy A do bazy B.
Zadanie 11.3. Niech PBA będzie macierzą przejścia od bazy A do bazy B. Znaleźć współrzędne wektora
X w bazie A, gdzie
3 −2 −1 3 −3 , a wektor X ma w bazie B współrzędne −2 .
h 2 −3 0 i
h 1 i
= 3 1 1 , a wektor X ma w bazie B współrzędne −1 .
(a) PBA =
(b) PBA
−1 2 0
2
Zadanie 11.4. Dla podanych baz A i B przestrzeni liniowej Fw,2 (R, R) znaleźć macierz przejścia od
bazy A do bazy B oraz od bazy B do bazy A.
(a) A = (1, X, X 2 ), B = (X 2 , 1, X).
(b) A = (X 2 , 1, X), B = (X 2 + X, X + 1, 2).
Zadanie 11.5. Znaleźć macierz przejścia od bazy B = (e1 , e2 ) do bazy B 0 = [ 23 ] ,
współrzędne wektora [ 58 ] w bazie B 0 .
−1 2
. Wyznaczyć
Zadanie 11.6. Wyznacz macierz przejścia od bazy ([ 10 00 ] , [ 01 00 ] , [ 00 01 ] , [ 00 10 ]) do bazy ([ 10 11 ] , [ 11 00 ] , [ 01 01 ] , [ 00 10 ])
przestrzeni liniowej M2 (R).
h0i
Zadanie 11.7. Wektor b ma w bazie B = (a1 , a2 , a3 ) współrzędne 2 . Pokazać, że B 0 = (a1 , a2 , b) jest
też bazą i wyznaczyć macierz przejścia od bazy B do bazy B 0 .
1
0 1
Zadanie 11.8. Przekształcenie liniowej przestrzeni V w bazie (e1 , e2 , e3 , e4 ) ma macierz
2
54 0
32 0
6 1 −1
3
−1
3
7
.
Wyznaczyć macierz tego przekształcenia w bazach:
(a) (e4 , e3 , e2 , e1 ),
(b) (e1 , e1 + e2 , e1 + e2 + e3 , e1 + e2 + e3 + e4 ).
h0 0 1i
Zadanie 11.9. Niech 0 1 0 będzie macierzą endomorfizmu liniowego przestrzeni Fw,2 (R, R) w bazie
100
(1, X, X 2 ). Wyznaczyć macierz tego przekształcenia w bazie (3X 2 + 2X + 1, X 2 + 3X + 2, 2X 2 + X + 3).
Zadanie
Niech
A = [ 11 ] , −1
oraz
Ah0 = i
[ 10 ] , −1
będą bazami przestrzeni liniowej R2 ,
0
1
h 11.10.
i
h
i
h
i
h
i
h
i
0
0
1
0
1
0
0 , 1 , −1
0 , 1 , −1
aB =
oraz B 0 =
bazami przestrzeni liniowej R3 . Ponadto niech
0
0
0
1
h 2 0−3 i 1
Mf = 3 1 będzie macierzą przekształcenia liniowego f : R2 → R3 w bazach A i B.
−1 2
(a) Znajdź macierz przekształcenia f w bazach A0 i B 0 .
(b) Znajdź macierz przekształcenia f w bazach standardowych.
Zadanie 11.11. Dane jest przekształcenie liniowe T : R2 → R2 zadane w bazie standardowej przez
7 −3
1
3
macierz MT = 10
−4 . Znaleźć macierz tego przekształcenia w bazie f1 = [ 2 ], f2 = [ 5 ]. Czy T jest
automorfizmem?
16
Algebra liniowa z geometrią, /
Maciej Karpicz
Zbiór zadań
Zadanie 11.12. Przekształcenie
if : V → W w bazach BV = (v1 , v2 , v3 , v4 ), BW = (w1 , w2 , w3 )
h 0 liniowe
1 −1 0
1
2
−1
0
. Znaleźć macierz f w bazach BV0 = (v1 , −2v2 , v3 + v1 , v4 ),
zadane jest macierzą Mf =
0
BW
= (w2 , w3 − w1 , w1 ).
−1 −1 0 1
8 ]).
Zadanie 11.13. Niech P będzie macierzą przejścia od bazy B = (e1 , e2 ) do bazy B 0 = ([ 34 ] , [ 11
2
1
Przekształcenie liniowe h ma w bazie B macierz Mh = [ 5 2 ], a przekształcenie liniowe g ma w bazie B 0
macierz Mg = 2P −1 . Wyznacz macierz przekształcenia h ◦ g w bazie B 0 .
0
1 ] , −1
1 ] , −1
Zadanie
11.14.
Niech
A
=
[
oraz
A
=
[
będą bazami przestrzeni liniowej R2 ,
1
0
0
1
h 1 i h 0 i h 0 i
h 1 i h 0 i h 0 i
0 , 1 , −1
0 , 1 , −1
aB =
oraz B 0 =
bazami przestrzeni liniowej R3 . Ponadto niech
0
0
0
1
h 1 02 i 1
0 −1 Mf = −1 0 będzie macierzą przekształcenia liniowego f : R2 → R3 w bazach A i B, a Mg = 12 −1
0
2 −3
macierzą przekształcenia liniowego g : R3 → R2 w bazach A0 i B 0 . Znajdź macierz przekształcenia liniowego g ◦ f w bazach standardowych.
17
Algebra liniowa z geometrią, /
Maciej Karpicz
12
Zbiór zadań
Wartości i wektory własne
3
3
Zadanie
Znaleźć
h 1 112.1.
i
h 1podprzestrzeń
i h 1 i h 0 i niezmienniczą przekształcenia f : R → R zadanego macierzą
0
0 , 1 , 1
Mf = 0 1 0 w bazie
.
002
0
1
0
Zadanie 12.2. Znaleźć wielomian charakterystyczny, wartości własne i wektory własne przekształcenia
liniowego danego macierzą:
h 0 1 0i
(a) [ 12 21 ],
(c) [ 20 32 ],
(e) −4 4 0 ,
−2 1 2
(b)
0
1
0 −1
,
(d)
h
2 −1 2
5 −3 3
−1 0 −2
i
,
h 4 −5 2 i
(f) 5 −7 3 .
6 −9 4
Zadanie 12.3. Wyznacz wektory i wartości własne
(a) operatora różniczkowania w przestrzeni Fw,n (R, R),
(b) przekształcenia liniowego T : Cn → Cn zadanego w bazie (e1 , . . . , en ) następująco T (e1 ) = e2 ,
T (e2 ) = e3 , . . . ,T (en ) = e1 ,
(c) przekształcenia liniowego f : R2 → R2 danego wzorem f (x, y) = (x + 2y, x − y).
Zadanie 12.4. Zbadać czy macierze A i B są podobne, gdzie
(a) A = [ 10 21 ], B = [ 10 11 ],
(b) A = [ 10 12 ], B = [ 10 11 ].
Zadanie 12.5. Które z poniższych macierzy można sprawdzić do postaci diagonalnej przez wprowadzenie
nowej bazy nad ciałem R lub nad ciałem C:
h −1 3 −1 i
h 4 7 −5 i
h 4 2 −5 i
(a) −3 5 −1 ,
(b) −4 5 0 ,
(c) 6 4 −9 .
−3 3 1
1 9 −4
5 3 −7
Zadanie 12.6. Znaleźć ogólny wzór na an , dla n = 1, 2, . . . , jeżeli:
(a) a1 = −1, a2 = 3, an+2 = an+1 + an ,
(b) a1 = 1, a2 = 1, an+2 = 2an+1 + 3an .
Zadanie 12.7. Rozważmy ciąg zadany następująco: a0 = 0, a1 = 21 , . . . , an+2 = 12 (an+1 + an ). Znajdź
wzór jawny na an dla dowolnego n ∈ N i oblicz limn→∞ an .
h1 1i
Zadanie 12.8. Znajdź limn→∞ P n , gdzie Pn = 21 22 .
3
3
18
Algebra liniowa z geometrią, /
Maciej Karpicz
13
Zbiór zadań
Formy kwadratowe
Zadanie 13.1. Sprawdź, które z poniższych odwzorowań są formami dwuliniowymi na odpowiednich
przestrzeniach liniowych:
(a) f (X, Y ) = x2 x0 + xy 0 + z 0 , X, Y ∈ R3 ;
(b) f (X, Y ) = xx0 + 2yz 0 + zz 0 , X, Y ∈ R3 ;
(c) f (X, Y ) = xy 0 + 3, X, Y ∈ R3 ;
(d) f (X, Y ) = 0, X, Y ∈ R3 ;
(e) f (A, B) = At B, A, B ∈ k n ;
(f) f (A, B) = tr(AB), A, B ∈ Mn (R);
(g) f (A, B) = tr(AB − BA), A, B ∈ Mn (C);
(h) f (A, B) = tr(A + B), A, B ∈ Mn (R);
(i) f (A, B) = det(AB), A, B ∈ Mn (C);
(j) f (u, v) = Re(uv), u, v ∈ C, a C rozpatrujemy jako przestrzeń liniową nad R,
gdzie X =
hxi
y
z
,Y =
x0
y0
z0
, jest formą dwuliniową.
Zadanie 13.2. Znajdź macierz formy dwuliniowej f : R3 × R3 → R (w bazach standardowych) zadanej
wzorem:
(a) f (X, Y ) = xx0 + 2yy 0 + zz 0 ,
(b) f (X, Y ) = xx0 + 2xz 0 + 3yy 0 + yz 0 + zx0 ,
(c) f (X, Y ) = xx0 + xy 0 + 2xz 0 + yx0 + yy 0 + zx0 + zz 0 ,
(d) f (X, Y ) = xx0 + xy 0 + 2yy 0 + 2xz 0 + 3yz 0 ,
(e) f (X, Y ) = xx0 − yx0 + xy 0 + yy 0 ,
gdzie X =
0
hxi
x
y , Y =
y 0 . Które z powyższych form są symetryczne, które niezdegenerowane, a które
z
z0
antysymetryczne.
Zadanie 13.3. Wykaż, że funkcja d : Fw,2 ×Fw,2 ×V → R dana wzorem d(f (X), g(X)) =
R1
f (X)g(X)dx
−1
jest symetryczną, niezdegenerowaną formą dwuliniową. Zajdź macierz formy d w bazach standardowych.
Zadanie 13.4. Sprawdź, które z poniższych form kwadratowych, o dwóch zmiennych, określonych nad
R, są dodatnio określone, ujemnie określone, dodatnio półokreślone oraz nieokreślone.
(a) x2 + 2xy,
(b) −x2 2 + 4xy − 4y 2 ,
(c) −x2 + 2xy − 3y 2 ,
(d) 4x2 + 8xy + 5y 2 ,
(e) −x2 + xy − 3y 2 .
Zadanie 13.5. Sprowadź poniższe formy kwadratowe do postaci kanonicznej metodą Lagrange’a lub,
o ile to możliwe, metodą Jacobiego:
19
Algebra liniowa z geometrią, /
Maciej Karpicz
Zbiór zadań
(a) x21 + x22 + 3x23 + 4x1 x2 + 2x1 x3 + 2x2 x3 ;
(b) x21 + 2x22 + x23 + 2x1 x2 + 4x1 x3 − 6x2 x3 ;
(c) x21 − 3x23 − 2x1 x2 + 2x1 x3 − 6x2 x3 ;
(d) x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 .
Zadanie 13.6. Wykorzystując kryterium Sylvestera sprawdź, które z poniższych form są dodatnio określone:
(a) x21 + x2x + x23 + x24 − x1 x2 − x1 x3 − x2 x4 − x3 x4 + x1 x4 ;
(b) x21 + x22 + x23 + x24 − x1 x2 + x1 x3 − x1 x4 − x2 x3 + x2 x4 − x3 x4 ;
(c) x21 + x22 + x23 − x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 ;
(d) x21 + x22 + x23 + x24 − x1 x2 − x1 x3 − x2 x4 − x3 x4 + 2x1 x4 .
20
Algebra liniowa z geometrią, /
Maciej Karpicz
Zbiór zadań
Literatura
[1] I. Nabiałek J. Klukowski. Algebra dla studentów. Wydwanictwa Naukowo-Techniczne, 1999.
[2] A. I. Kostrikin. Zbiór zadań z algebry. Wydawnictwo naukowe PWN, 2005.
[3] A. Szlachtowski S. Przybyło. Algebra i wielowymiarowa geometria analityczna w zadaniach. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1994.
21