Okr¦gi i pot¦ga punktu

Okr¦gi i pot¦ga punktu
Teoria
1. K¡t ±rodkowy w okr¦gu to k¡t, którego wierzchoªkiem jest ±rodek danego okr¦gu.
2. K¡t wpisany w okr¡g to k¡t, którego wierzchoªek le»y na okr¦gu, a ramiona zawiera j¡ ci¦ciwy. K¡ty
wpisane oparte na tym samym ªuku s¡ równe.
3.
Twierdzenie 1.1
Je»eli k¡t ±rodkowy i wpisany oparte s¡ na tym samym ªuku, to k¡t ±rodkowy ma
miar¦ dwukrotnie wi¦ksz¡, ni» k¡t wpisany.
4.
Twierdzenie 1.2
K¡t pomi¦dzy ci¦ciw¡ i styczn¡ przechodz¡c¡ przez koniec tej ci¦ciwy równy jest
poªowie k¡ta ±rodkowego opartego na tej ci¦ciwie.
5.
Denicja 1.3
k
okr¦gu
o
o
Niech b¦dzie dany okr¡g
A
przechodzi przez punkt
nazywamy iloczyn
o ±rodku w
i przecina okr¡g
|AB| · |AC|,
o
O
i promieniu
w punktach
je»eli punkt
A
B
i
C.
r
oraz punkt
A.
Niech prosta
A wzgl¦dem
−|AB| · |AC|, je»eli
punktu A jest te» równa
Wtedy pot¦g¡ punktu
le»y na zewn¡trz okr¦gu i
le»y on wewn¡trz. Iloczyn ten jest niezale»ny od wyboru prostej
k.
Pot¦ga
|AO|2 − r2
Zadania
1. Trapez
ABCD,
AB||CD oraz ∠BCA = 90◦
AB . Udowodni¢, »e |SD| = r.
w którym
jest ±rodkiem podstawy
ABC jest opisany
AB, BC, CA odpowiednio.
ABC .
2. Trójk¡t
na okr¦gu.
ABCD, w którym AB||CD
∠BAS = β , zna jd¹ ∠DSC .
4. W tró jk¡cie
ABC ,
w którym
oraz
∠ABC = α,
|AC| = |BC|,
wpisano w okr¡g o ±rodku w
7. Punkty
w
M
A, B, C, D
E, F
Wiedz¡c, »e
75◦ . Udowodnij,
na ABC .
A
»e
o,
»e
|AE| · |BE| = |CE| · |DE|,
to
le»¡cego na zewn¡trz
AB
i
CD
przecinaj¡ si¦ w
E
i zachodzi
le»¡ na jednym okr¦gu.
AC, AB tró jk¡ta ABC odpowiednio. Odcinki BE i CF przecinaj¡ si¦
|M B| · |M E| = |M C| · |M F |. Udowodnij, »e zachodzi |AE| · |AC| = |AF | · |AB|.
le»¡ na bokach
i zachodzi
S
jest niezale»ny od wyboru prostej.
6. Wyka», »e je»eli odcinki
punkty
S.
k¡t przy podstawie ma miar¦
5. U»ywa j¡c oznacze« z punktu pi¡tego teorii, udowodnij, dla punktu
|AB| · |AC|
Punkt
K, L, M s¡ punktami styczno±ci okr¦gu do boków
∠KM L = 40◦ i ∠M KL = 60◦ , wyznacz k¡ty w tró jk¡cie
podstawa tró jk¡ta ma dªugo±¢ równ¡ dªugo±ci promienia okr¦gu opisanego
iloczyn
r.
Punkty
Wiedz¡c, »e
3. Trapez
wpisano w okr¡g o promieniu