Wiadomosci Matematyczne 47(1)

152
Recenzje
jakiejkolwiek wskazówki bibliograficznej może być dla czytelnika nieco
dokuczliwy.
Materiał prezentowany w książce można uznać za kompletny w swoim
zakresie, co nie oznacza, że nie można w nim znaleźć drobnych luk. Na
przykład, w książce zabrakło twierdzenia o strukturze zbioru rozwiązań
niejednorodnego układu równań liniowych i zadań ilustrujących to twierdzenie. Inny przykład dotyczy rozdziału ósmego: w podrozdziale 8.4
są sformułowane dwa ważne twierdzenia o strukturze endomorfizmów
unitarnych, ale nie ma tam żadnych zadań ilustrujących te twierdzenia.
Warto by pomyśleć o uzupełnieniu tych luk w trakcie przygotowywania
kolejnego wydania książki.
Podsumowując, można powiedzieć, że mamy do czynienia z dobrym
zbiorem zadań, mającym także walory podręcznika, który może służyć
jako cenna pomoc dydaktyczna do nauczania algebry liniowej. Warto
dodać, że – po książce Algebra abstrakcyjna w zadaniach – jest to już
drugi udany zbiór zadań autorstwa Jerzego Rutkowskiego.
Alfred Czogała
John Stillwell, Mathematics and Its History, Springer, Nowy
Jork 2010, 660 str.
Autor jest profesorem matematyki na Monash University
w Australii. Kiedyś nawiedziła go myśl, że student matematyki musi słuchać wykładów z algebry, geometrii, analizy,
topologii itp., ale nie ma wśród nich wykładu z matematyki jako takiej.
Uznał to za osobliwe i postanowił napisać książkę, która przedstawiałaby
całą matematykę w zakresie wykładanym na uniwersytetach (undergraduate mathematics) i wskazywałaby na dalsze jej horyzonty, a łączące
całość podejście stanowiłaby historia matematyki.
Jak pomyślał, tak zrobił i pierwsze wydanie jego książki ukazało
się w 1989 roku. Książka cieszyła się dużym powodzeniem, były więc
dodruki, a potem wydanie drugie i trzecie. W drugim wydaniu Autor
dodał parę nowych rozdziałów i zwiększył liczbę ćwiczeń, a w trzecim –
książkę „poszerzył i pogłębił”, zwracając uwagę na przeplatanie się
jej treści, czyli na spójność przedstawianej matematyki, bo przecież
c 2011 Polskie Towarzystwo Matematyczne
Recenzje
153
matematyka jest jedna. Za każdym razem książka rosła, od 371 stronic
w pierwszym wydaniu do 660 w obecnym.
Oryginalny swój zamysł Autor zrealizował w ten sposób, że wydzielił tematy-rozdziały (dochodząc do liczby 25 w trzecim wydaniu).
Każdy rozdział poprzedzał „wprowadzeniem”, łączącym matematykę
z jej historią, a następnie przedstawiał najważniejsze problemy i ich
rozwiązania, w tekst rozdziału wplatał ćwiczenia i na koniec dawał
od jednej do trzech not biograficznych najważniejszych matematyków.
Całość książki zamknął obszerną bibliografią (40 stronic!) i indeksem
rzeczowo-imiennym. Ponieważ książka jest adresowana do młodych ludzi zainteresowanych matematyką (ukazała się w serii Undergraduate
Texts in Mathematics), Autor uznał, że jej czytelnik ma już jakąś
wiedzę matematyczną, a zatem przedstawianie treści nie musi być
tak formalne, jak na uczelnianych wykładach, a że nie jest to także historia matematyki, to stara matematyka może być przedstawiana z użyciem współczesnej notacji. Takie założenia sprzyjały oczywiście potoczystości i przejrzystości przedstawienia, a więc i dostępności
lektury.
Pierwsze cztery rozdziały odnoszą się do matematyki starożytnej Grecji i noszą tytuły: Twierdzenie Pitagorasa, Geometria Greków, Grecka
teoria liczb, Nieskończoność w matematyce greckiej (noty biograficzne mają Pitagoras, Euklides, Diofantos, Archimedes). Zachwycające
są „wprowadzenia”, na przykład w rozdziale pierwszym czytamy, że
„twierdzenie Pitagorasa (...) jest nie tylko najstarszym twierdzeniem
matematycznym, ale także początkiem trzech wielkich strumieni myśli
matematycznej: liczby, geometrii i nieskończoności”, którą to myśl Autor
następnie krótko rozwinął, odsyłając do dalszych rozdziałów. Mimo
historycznego kontekstu mamy w tych czterech rozdziałach prawdziwe
problemy matematyczne: liczby niewymierne, krzywe stożkowe i krzywe
wyższych stopni, równania Pella, nieskończoność, co wskazuje zarówno
na odwieczność tych problemów, jak i na korzenie, z jakich wyrastały
i motywacje, jakie im towarzyszyły.
Następne trzy rozdziały mają tytuły: Teoria liczb w Azji, Równania
wielomianowe, Geometria analityczna (noty biograficzne mają: Brahmagupta, Bhaskara, Tartaglia, Cardano, Vieta, Kartezjusz). Według Autora
rozdziały te łączy algebra: w pierwszym mamy równania odnoszące się do
teorii liczb w Chinach i Indiach, w drugim równania jako takie i w trzecim
równania w zastosowaniu do geometrii. Jednocześnie rozdziały te łączą
matematykę starożytną i nowożytną.
154
Recenzje
Kolejne trzy rozdziały mają tytuły: Geometria rzutowa, Rachunek różniczkowy i całkowy, Szeregi nieskończone (biogramy: Desargues, Pascal,
Wallis, Newton, Leibniz, Gregory, Euler). Łączy je nieskończoność – perspektywa, pochodne i całki, nieskończone sumy – a jednocześnie przeplata
się w nich geometria, algebra i arytmetyka. Kończą się na osiągnięciach
matematyków przedstawionych w biogramach, a w ostatnim rozdziale
mamy jeszcze funkcję zeta Riemanna.
Z kolei następują trzy rozdziały tematycznie od siebie odległe: Odrodzenie teorii liczb, Funkcje eliptyczne, Mechanika (biogramy: Fermat,
Abel, Jacobi, rodzina Bernoullich). Tytuły mówią same za siebie: odrodzona teoria liczb to Fermat, funkcje eliptyczne to Gauss i niezależnie
Abel i Jacobi, a mechanika, to badanie ruchu i równania różniczkowe
cząstkowe, gdzie bracia Bernoulli położyli duże zasługi (choć nie tylko
oni – ale książka nie jest podręcznikiem historii).
Następne trzy rozdziały uwydatniają kluczowe znaczenie liczb zespolonych, o czym mówią ich tytuły: Liczby zespolone w algebrze, Liczby
zespolone i krzywe, Liczby zespolone i funkcje (biogramy: d’Alembert,
Riemann, Lagrange, Cauchy). Pierwszy z tych trzech rozdziałów ma
charakter algebraiczny i kończy się podstawowym twierdzeniem algebry,
drugi ma charakter geometryczny, a dochodzimy w nim do powierzchni
Riemanna, w trzecim zaś śledzimy odkrywanie cudownego świata funkcji
analitycznych i konsekwencje nowej teorii dla całej matematyki.
I znów geometria: Geometria różniczkowa, Geometrie nieeuklidesowe
(biogramy: Harriot, Gauss, Bolyai, Łobaczewski). Pomijając wkład Eulera, Autor zaczyna geometrię różniczkową od krzywizny Gaussa i rozwija
ją do twierdzenia Gaussa–Bonneta. Podobnie z geometriami nieeuklidesowymi, gdzie przedstawia koncepcje Bolyai’a i Łobaczewskiego oraz
modele Beltramiego wskazujące na poprawność nowej geometrii.
Kolejne rozdziały doprowadzają do czasów współczesnych. Nawiązują one do rozdziałów wcześniejszych, ale tematycznie są izolowane.
Rozdział Teoria grup (biogram: Galois) opisuje powstanie pojęcia grupy,
związek grup z teorią równań i z geometrią, kombinatoryczną teorię grup
i skończone grupy proste.
W rozdziale Hypercomplex numbers (biogram: Hamilton) mamy liczby
zespolone, kwaterniony, oktawy Cayleya oraz ich specjalny charakter
(nie ma „porządnych” liczb wyższych rzędów).
Rozdział Algebraiczna teoria liczb (biogramy: Dedekind, Hilbert,
Noether) wraca do teorii liczb i algebry, ale tym razem chodzi o ideały,
pierścienie i ciała.
Recenzje
155
Rozdział Topologia (biogram: Poincaré) opowiada o tym nowym
dziale matematyki od jego początków w formule Eulera o wielościanach
po grupę podstawową i hipotezę Poincarégo.
W rozdziale Grupy proste (biogramy: Lie, Killing, Cartan) Autor
wraca do grup prostych i opowiada ich historię aż do odkrycia osobliwej
grupy prostej skończonej, zwanej monstrum.
Rozdział Zbiory, logika, obliczanie (biogram: Gödel) opowiada o autonomizacji pojęcia zbioru, aksjomacie wyboru i dużych liczbach kardynalnych, o zagadnieniu obliczalności (Turing) i komputerach, wreszcie
o dowodzeniu i prawdzie (twierdzenie Gödla).
Ostatni rozdział Kombinatoryka (biogram: Erdös) traktuje o teorii
grafów, twierdzeniach Ramseya i najnowszych twierdzeniach kombinatorycznych.
W takim pobieżnym przeglądzie trudno oddać całe bogactwo książki
Stillwella, przebija jednak z niego oryginalny zamysł Autora i sposób jego
realizacji. Oczywiście można krytykować takie szczegóły, jak rozłożenie
akcentów, dobór tematów i matematyków opisywanych w biogramach
itp., nie można jednak odmówić jej oryginalności, poprawności (autor zna
najnowsze wyniki, np. wspomina dowód Perelmana hipotezy Poincarégo)
i – last but not least – lekkiego pisania, co sprawia, że książkę czyta się
z prawdziwym zainteresowaniem, a nawet trudno się od niej oderwać.
Każdy zainteresowany matematyką – miłośnik, student i profesjonalista –
znajdzie w niej dla siebie rzeczy ciekawe, a niekiedy zmuszające do
refleksji czy dyskusji z autorem.
Na polskim rynku brak takiej książki. Nie ma na nim dobrej współczesnej książki „o matematyce” (książka R. Couranta i H. Robbinsa Co
to jest matematyka? zachowuje urok i wartość, ale była pisana ponad
pół wieku temu, eseje wydane przez L. A. Steena mają inną formułę,
a wydawnictwa encyklopedyczne odpowiadają na inne zapotrzebowanie).
Jeśli książka J. Stillwella zostanie dobrze przełożona (tzn. poprawnie
matematycznie i gładko literacko), to z pewnością będzie się cieszyła
dużym powodzeniem i w Polsce.
Roman Duda (Wrocław)