Konkurs dla licealistów

Konkurs dla licealistów
opracowa³a
EL¯BIETA JANKOWSKA (Lwówek Œl¹ski)
W roku szkolnym 2002/2003 prowadziłam dla uczniów wszystkich klas Liceum Ogólnokształcącego „Szkolny Konkurs Matematyczny”. Zadania konkursu były tak dobrane,
aby mogli wziąć w nim udział zarówno pierwszoklasiści, nie operujący jeszcze szeroką
wiedzą matematyczną, jak i uczniowie starszych klas, dla których przedstawione zadania
są doskonałym treningiem przed egzaminem dojrzałości. Po każdej z czterech serii zadań,
rozwiązania uczniowskie były punktowane, a wzorcowe rozwiązania przedstawiane na kółku
matematycznym.
Konkurs cieszył się dużym zainteresowaniem wśród młodzieży, nauczycieli i dyrekcji
szkoły. Sponsorzy przyczynili się do uhonorowania pracy najlepszych uczestników. Drugi
etap konkursu odbył się w kwietniu, a nagrody dla laureatów zostały rozdane na apelu
kończącym rok szkolny.
Regulamin konkursu (LO Lwówek Śląski)
1. W konkursie może uczestniczyć każdy uczeń naszej szkoły.
2. Konkurs odbywa się w dwóch etapach;
– etap pierwszy polega na samodzielnym rozwiązywaniu przez zainteresowanych
uczniów czterech serii zadań. Każda seria składa się z siedmiu zadań. Rozwiązania tych
zadań mają być czytelne i staranne. W rozwiązaniu należy podawać nie tylko odpowiedź,
ale pełny tok rozumowania matematycznego.
Termin ostateczny oddawania rozwiązań to: I seria – koniec grudnia, II seria – koniec
stycznia, III seria – koniec lutego, IV seria – koniec marca.
Szkolna Komisja Konkursowa sprawdza i ocenia prace uczniów. Za rozwiązanie każdego zadania uczestnik może otrzymać od 0 do 10 punktów. Dwudziestu uczestników
z największą liczbą punktów przechodzi do etapu drugiego.
– etap drugi odbywa się w kwietniu, w pracowni matematycznej, trwa 120 minut
i polega na samodzielnym rozwiązaniu sześciu zadań. Szkolna Komisja Konkursowa sprawdza i ocenia prace uczniów. Za rozwiązanie każdego zadania uczestnik może otrzymać
od 0 do 20 punktów.
3. Nagrody za najlepsze wyniki w konkursie:
– Szkolną Encyklopedię Matematyczną otrzymuje laureat konkursu.
– Ocenę celującą z wagą 0,35 otrzymują uczestnicy etapu drugiego.
– Ocenę celującą z wagą 0,2 otrzymują uczestnicy etapu pierwszego.
SERIA I
1. Stosunek promienia okręgu wpisanego do promienia okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy k. Obliczyć w jakim stosunku środek okręgu wpisanego w ten trójkąt,
dzieli dwusieczną kąta prostego. Określić jakie wartości może przyjmować parametr k.
2. Różnica promienia kuli opisanej na czworościanie foremnym i promienia kuli wpisanej w niego jest równa 1. Obliczyć objętość tego czworościanu.
3. Obliczyć wszystkie te wartości rozwinięcia dwumianu 3 + 3 2 11 , które są liczbami
całkowitymi.
4. Sześcian o krawędzi 3 cm ma taką samą objętość, jak dwa sześciany, których suma
długości obu krawędzi wynosi 4 cm. O ile centymetrów pole powierzchni dużego sześcianu jest mniejsze od sumy pól powierzchni dwóch mniejszych sześcianów?
5. Niech [x] oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od x. Udowodnić, że dla
każdej liczby naturalnej n liczba ¬Ä n + 4 â + 3n - 2 £ -1 n jest podzielna przez 7.
­ 2 ä́
> x@
= 2
6. Rozwiąż równanie x - 1 +
> x@ x
x
2
3
7. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba n + n + n jest całkowita.
3 2
6
SERIA II
1. Student w ciągu pięciu lat zdał 31 egzaminów. Na każdym kolejnym roku studiów zdawał więcej egzaminów niż w roku poprzednim. Liczba egzaminów na piątym roku była
trzy razy większa niż na pierwszym. Ile egzaminów zdał student na czwartym roku?
2. Oblicz wartość wyrażenia
8 - 2 15 + 5 - 2 6 + 8 + 2 2 - 2 5 - 2 10
3.a) Wykaż, że w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych a, b i przeciwprostokątnej c zachodzi nierówność a + b £ 2 c.
b) Wykaż, że w prostopadłościanie o wymiarach: a, b, c i przekątnej d zachodzi nierówność a + b + c £ 3 d.
4. Iloczyn pewnych trzech liczb pierwszych jest równy ich pięciokrotnej sumie. Co to za liczby?
5. Czy istnieje trójkąt o bokach a, b, c takich, że
a + b + c = 2?
b + c a+ c a+ b
2
6. Wykaż, że dla b ³ -1 i b ¹ 0 prawdziwa jest nierówność 4 b + b + 1 Ì 4 b + 1.
_ b_
7. Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie 12 + 1 + 12 = 1.
xy y
x
SERIA III
1. Rozwiąż układ
Æ
a=1
À
À a - 3b + 2 c Ì 0
À
À
® b - 3c + 2 d Ì 0
À
Àc - 3d + +2 a Ì 0
À
À¯ d - 3a + 2 b Ì 0
2. Rozwiąż nierówność |x4 + x2 + 2|+|x3 + x| £ 2.
3. Parostatek płynie z Warszawy do Gdańska 2 dni. Ten sam parostatek z takim samym
zanurzeniem płynie z Gdańska do Warszawy 3 dni. Ile dni płynąć będą tratwy z Warszawy
do Gdańska?
4. Dla jakich całkowitych wartości x wyrażenie |x2 + 6x + 8| jest liczbą pierwszą?
5. Wykaż, że liczba 2001 × 20033 - 2002 × 20003 jest sześcianem liczby naturalnej.
6. W czasie ferii zimowych 200 kolegów pewnej szkoły zadeklarowało swój udział w zabawach rekreacyjnych na śniegu. Część jednak wyjechała na zimowisko, 1/8 pozostałych
wolała zostać w domu i grać na komputerze, trzy osoby zachorowały i musiały również
pozostać w domu. Gdy uczniowie spotkali się na boisku, 1/6 stała z boku, a pozostali
bawili się w ośmiu jednakowo licznych grupach. Ile osób pojechało na zimowisko?
7. Skonstruuj kwadrat mając dany odcinek, którego długość jest równa sumie długości
boku i przekątnej. Podaj opis konstrukcji.
SERIA IV
1. Rozwiąż układ równań
Æ x + > y@ + m z = 11
À
À
® m x + y + > z @ = 22
À
À¯> x@ + m y + z = 33
2. Rozwiąż równanie [x + 3] = [3x].
3. Rozwiąż układ równań
Æa + b + 2 c = 2
À
®
À̄ a2 + b2 + 4 c2 + 3a - 3b - 2 c + 4 = 0
4. Rozwiąż równanie
x 2 - 1_ x _ +1
= > x + 1@.
x + VJQ x
5. Znajdź wszystkie funkcje f: R ® R spełniające równanie funkcyjne f(x) + 2f(1/x) = x.
6. W trapezie ABCD poprowadzono odcinki równoległe do podstaw tak, że:
odcinek EF dzieli trapez na dwa trapezy o równych polach,
odcinek GH łączy środki boków nierównoległych,
odcinek IJ dzieli trapez na dwa trapezy podobne,
odcinek KL przechodzi przez punkt przecięcia przekątnych trapezu.
Oblicz długości tych odcinków.
7. Diabeł i czarownica wylecieli równocześnie z tego samego miejsca i podążyli w stronę
Łysej Góry. Diabeł leciał najpierw z prędkością 50 km/h, po dwóch godzinach lotu wylądował w spróchniałej wierzbie. Przespał się kilka godzin w dziupli i poleciał dalej. Czarownicę dogonił po godzinie lotu, poruszając się tym razem z prędkością 60 km/h. Tymczasem czarownica leciała początkowo na miotle z prędkością 30 km/h. Po dwóch godzinach lotu miotła złamała się. Czarownica przesiadła się więc na chmurkę i dryfowała
z prędkością 10 km/h. Ile godzin diabeł spał w spróchniałej wierzbie?
UWAGA. Symbol [a] oznacza część całkowitą liczby a, symbol m(a) oznacza mantysę
liczby, tj. m(a) = a - [a], symbol sgn(a) oznacza znak liczby a.
Etap II – finał
1. Rozwiąż równanie ||x - 1|- 1| = ||x - 2|- 2 |.
2. Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność x4 - x + 1 ³ 0.
3. Oblicz wartość funkcji f(x) = x3 - 9x2 + 27x - 27 dla argumentu 2003.
4. Rozwiąż równanie [x] + [1 - x] = 1.
5. Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma długości przyprostokątnych jest mniejsza
od sumy długości przeciwprostokątnej i opuszczonej na nią wysokości.
6. W dwa przeciwległe naroża sześcianu o boku a = 1 wpisano dwie kule wzajemnie ze
sobą styczne. Oblicz odległość środków tych kul.