Notatki do wykładu oraza zadania na ćwiczeniach

Funkcje analityczne. Wykład 11
Twierdzenie o jednoznaczności, zasada maksimum, twierdzenie Liouville’a
Paweł Mleczko
Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017)
Plan wykładu
W czasie wykładu omawiać będziemy
| miejsca zerowe funkcji holomorficznych
| twierdzenie o jednoznaczności
| zasadę maksimum
| twierdzenie Liouville’a
1. Zera funkcji analitycznych
Twierdzenie o dychotomii
Miejscem zerowym (lub zerem) funkcji f : A → C, A ⊂ C, nazywamy taki punkt a ∈ A, że f (a) = 0.
Oznaczmy zbiór zer funkcji f symbolem Z(f ), czyli
Z(f ) = z ∈ A : f (z) = 0
Twierdzenie 2. Jeśli A jest obszarem, f ∈ H(A), to zachodzi jeden z dwóch warunków:
| Z(f ) = A (czyli f (z) = 0 dla każdego z ∈ A)
| Z(f ) nie ma punktów skupienia w A. W tym przypadku dla każdego z0 ∈ Z(f ) (czyli dla każdego
miejsca zerowego z0 funkcji f ) istnieje taka liczba naturalna m (nazywana krotnością zera), że
f (z) = (z − z0 )m g(z)
z ∈ A,
gdzie g ∈ H(A), g(z0 ) 6= 0.
W konsekwencji zbiór zer funkcji holomorficznej jest albo równy dziedzinie funkcji (przypadek funkcji
zerowej), albo jest co najwyżej przeliczalny.
Twierdzenie o dychotomii: dowód – am 6= 0
2◦ Istnieje liczna naturalna m, dla której am 6= 0. Zdefiniujmy funkcję g : A → C wzorem
(
f (z)
z ∈ A \ {w}
m,
g(z) = (z−w)
am ,
z = w.
Jest jasne, że g ∈ H(A \ {w}). Z przedstawienia w szereg potęgowy funkcji f oraz tego, że ai = 0 dla
i = 0, 1, . . . , m − 1 wynika, że dla z ∈ D
g(z) =
=
∞
∞
X
X
f (z)
1
n
=
a
(z
−
w)
=
an (z − w)n−m
n
(z − w)m
(z − w)m n=0
n=0
∞
X
an (z − w)n =
n=m
∞
X
am+n (z − w)n .
n=0
Zatem g ∈ H(D) oraz g(w) 6= 0. Z ciągłości g wynika, że istnieje takie otoczenie punktu w, w którym g
nie przyjmuje zera. W konsekwencji w jest punktem izolowanym zbioru Z(f ).
Twierdzenie o jednoznaczności
1
Twierdzenie 3. Niech A będzie obszarem, niech f, g ∈ H(A). Jeśli
f (z) = g(z)
z ∈ B ⊂ A oraz B ma punkt skupienia w A,
f (z) = g(z)
dla każdego z ∈ A
to
Dowód 1. Dowód wynika z twierdzenia o dychotomii – wystarczy rozważyć funkcję f −g i przeanalizować
jej zera w zbiorze A.
Twierdzenie o jednoznaczności: porównanie z funkcjami rzeczywistymi
Zdefiniujmy funkcję f : R → R
( 1
e− x , x > 0
f (x) =
0,
x ¬ 0.
Wówczas f ma nieskończenie wiele pochodnych ale
Z(f ) = (−∞, 0].
Im
f
Re
2. Zasada maksimum
Ważny lemat
Lemat 1. Niech D = {z ∈ C : |z − w| < R}, R > 0, f ∈ H(D) oraz
f (z) =
∞
X
an (z − w)n
z ∈ D.
n=0
Wówczas dla dowolnych r ∈ (0, R)
∞
X
n=0
2 2n
|an | r
1
=
2π
2π
Z
|f (w + reit )|2 dt.
0
Zasada maksimum
Twierdzenie 4. Niech f ∈ H(A), gdzie A ⊂ C jest obszarem. Przypuśćmy również, że f ma lokalne
maksimum w z0 ∈ A. Wówczas f jest funkcją stałą w A.
Lemat Schwarza
Twierdzenie 5. Niech f będzie funkcją holomorficzną na dysku D oraz f (0) = 0. Wówczas
|f (x)| ¬ |z| sup |f (w)|.
w∈D
Równość w powyższej formule zachodzi tylko wtedy, gdy f (z) = cz dla z ∈ D, c ∈ C.
2
3. Twierdzenie Liouville’a
Twierdzenie Liouville’a
Funkcję, która jest holomorficzna na całej płaszczyźnie (czyli f ∈ H(C)) nazywać będziemy funkcją
całkowitą.
Twierdzenie 6. Jeśli f jest funkcją całkowitą oraz f ma ograniczony moduł na płaszczyźnie, to f jest
stała.
Sposród wielu dowodów przesdtawimy ten, który wykorzystuje formułę Cauchy’ego.
Zasadnicze twierdzenie algebry
Pierwiastkiem funkcji f nazywamy jej miejce zerowe.
Twierdzenie 7. Niech P będzie wielomianem zespolonym stopnia n, n ∈ N. Wówczas istnieje n pierwiastków wielomianu P , tzn. liczby zi , dla których
P (zi ) = 0
i = 1, 2, . . . , n.
W powyższym twierdzeniu pierwiastki liczone są z uwzględnieniem ich krotności, tzn. pierwiastek o
krotności m liczony jest jako m pierwiastków.
Twierdzenie powyższe w (trochę bardziej zaawansowanym pojęciowo) języku algebry orzeka, że ciało
liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte, tzn., że każdy wielomian stopnia n, n ∈ N, o współczynnikach zespolonych ma co najmniej jeden pierwiastek.
4. Zadania na ćwiczenia
1. Co można powiedzieć o funkcji holomorficznej na kole |z| < 1, dla której
f ni = i, gdzie n = 2, 3, 4, . . . .
2. Czy istnieje funkcja analityczna na kole |z| < 2, która w punktach 1, 1/2, 1/3, . . . przyjmuje odpowiednio wartości 1, 0, 1/3, 0, 1/5, . . . ?
Czy istnieje funkcja analityczna na kole |z| < 2, dla której
| f (1/n) = f (−1/n) = 1/n2 ,
| f (1/n) = f (−1/n) = 1/n3 ?
3. Co można powiedzieć o funkcji f holomorficznej na zbiorze D = {z ∈ C : |z| < 1}, jeśli
√
|f (z)| ¬ 1
oraz
2
4
f
+
√ i 2
4
√
=
2
2
−
√
i 2
2 .
4. Proszę znaleźć maksimum funkcji
f (z) = 2z + 3 + i
na dysku o promieniu 2.
5. Udowodnić, że jeżeli f ∈ H(C) oraz |f (z)| ¬ A + |z|k dla z ∈ C, A > 0 i k ∈ N, to f jest wielomianem.
Wywnioskować stąd twierdzenie Liouville’a.
6. Pokazać, że jeśli część rzeczywista funkcji całkowitej jest ograniczona z góry, to funkcja jest stała.
7. Co można powiedzieć o funkcji całkowitej f , jeżeli wiadomo, że dla dowolnych z ∈ C spełnione są
jednocześnie równości:
| f (z + 1) = f (z)
| f (z + i) = f (z)?
3