zadanie Napoleona

Zadanie 23.
„Zadanie Napoleona”
Na bokach dowolnego trójkąta budujemy trójkąty równoboczne, w których
zaznaczamy środki ciężkości. Wykazać, że środki te tworzą trójkąt
równoboczny.
Łączymy punkty C, Q i P. Powstał  QPC.
2
wysokości  równobocznego ACB o boku b
3
2b 3 b 3
CQ 

3 2
3
a 3
analogicznie CP 
3
CQ 
QCP    60
Zastosujemy twierdzenie cosinusów.
QP 2  CQ 2  CP 2  2CQ  CP  cos60    

b2 a2
ab

 2 cos  cos 60  sin 60 sin   
3
3
3

b2 a2
ab  1
3


 2  cos  
sin   
3
3
3 2
2

a2 b2 1
3


 ab cos  
ab sin  
3
3 3
3
1
(S= ab sin   2  P bo P  ab sin  )
2
a2 b2 1
2 3


 ab cos  
S
3
3 3
3
tw. cosinusów dla  ABC:
c 2  a 2  b 2  2ab cos 
ab cos  
a2  b2  c2
2

QP 2 
a2 b2 1 a2  b2  c2 2 3



S
3
3 3
2
3
a2  b2  c2 2 3


S
6
3
a2  b2  c2
- jest zapisem symetrycznym, nie wyróżnia żadnego z boków, więc
6
jeżeli przeprowadzimy rozumowanie analogiczne dla  CPB i  BRA otrzymamy takie samo rozwiązanie, a więc  QPR jest równoboczny.