I egzamin poprawkowy z matematyki dyskretnej M Id Zestaw A 06.09

I egzamin poprawkowy z matematyki dyskretnej M Id
Zestaw A
06.09.2010
5
Z. 1. Ile liczb spośród 1, 2, . . . , 10 nie dzieli się ani przez 2, ani przez 5, ani przez 7?
Od wszystkich odejmujemy te, ktore dzielą się przez 2, lub przez 5, lub przez 7 i dalej z zasady włączaniawyłączania.
Z. 2. Pewna cząsteczka porusza się w kierunku poziomym i w każdej sekundzie pokonuje odległość równą podwojonej odległości pokonanej w sekundzie poprzedzającej. Niech an oznacza pozycję cząteczki po n
sekundach. Podać rekurencyjną zależność dla an , wiedząc, że a0 = 3, zaś a3 = 10.
a0 = 3, a1 = a0 + x, a2 = a1 + 2x, a3 = a2 + 4x, czyli 10 = a3 = a0 + 7x, skąd x = 1. Rekurencyjna
zależność może być: a0 = 3, a1 = 4, an = an−1 + 2(an−1 − an−2 ), n ­ 2 (pozycja po n sekundach, to
pozycja po n − 1 sekundach plus podwojona różnica pomiedzy sekundą n − 1 a n − 2). Może też być a0 = 3,
an = an−1 + 2n−1 , n ­ 1.
5
Z. 3. Korzystając z tożsamości rekurencyjnej obliczyć
.
3
Tożsamość
rekurencyjną
(nie wzór jawny) należało stosować do momentu otrzymania liczb Stirlinga typu
k
k
= 1 lub
= 1.
k
1
Z. 4. 8 kul białych, 4 czarne i 5 zielonych wkładamy do czterech ponumerowanych pudełek. Na ile sposobów
możemy to zrobić, jeśli chcemy, aby w każdym pudełku była przynajmniej jedna kula biała?
Najpierw wkładamy po jednej kuli białej
1 sposób
Później
do każdego pudełka (jest 4+4−1
- kule są jednakowe).
4+4−1
5+4−1
resztę kul białych wkładamy na
kule czarne na
, a zielone na
sposobów.
4 sposobów,
4
5
5+4−1
4+4−1
Wszystkich możliwości jest więc 4+4−1
·
·
.
4
4
5
Z. 5. Ile razy musimy rzucić dwiema różnokolorowymi kostkami do gry, aby mieć pewność, że co najmniej 5
razy otrzymamy ten sam wynik? A jeśli kostki są takie same?
Dla kul różnokolorowych wynik jest dwuelementowym ciągiem, dla jednakowych
multizbiorem utworzonym
ze zbioru 6-elementowego. Czyli wyników jest odpowiednio 62 i 6+2−1
.
Musimy
więc rzucić co najmniej
2
6+2−1
2
4 · 6 + 1 (odpowiednio 4 ·
+ 1) razy.
2
Z. 6. Mamy talię 52 kart. Na ile sposobów można wylosować dwie z nich kolejno tak, aby
a) pierwszą kartą był król, a drugą nie była dziesiątka,
4 · 47 – króla wybieramy jednego z czterech, a z pozostałych 51 kart odrzucamy 4 dziesiątki i wybieramy drugą
kartę
b) pierwszą była karta koloru pik, a drugą nie była dziesiątka?
1 · 48 + 12 · 47 – pierwszą wybieramy albo 10 pik i wtedy odrzucamy jeszcze 3 dziesiątki i wybieramy drugą
albo innego pika i wtedy odrzucamy 4 dziesiątki i wybieramy drugą.
Z. 7. Na ile sposobów możemy ustawić 8 jednakowych wież na szachownicy tak, aby każda stała w innym
wierszu i innej kolumnie? A jeśli są trzy wieże białe i pięć czarnych?
W pierwszym wierszu wybieramy kolumnę na 8 sposobów, w drugim na 7, itd., czyli jest 8! mozliwości (tyle
ile bijekcji ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} na zbiór {a, b, c, d, e, f, g, h}). Gdy mamy trzy wieże białe, musimy
z tych miejsc
wybrać trzy, na których je postawimy (oczywiście na pozostałych 5 stawiamy czarne). Wtedy
jest 8! · 83 .
jnk n − 1
­
Z. 8. Wykazać, że
dla każdego n ∈ N.
2
2
Wystarczy rozważyć n parzyste i nieparzyste.
Z. 9. Do turnieju szachowego zgłosiło się 30 graczy. Turniej będzie rozgrywany systemem każdy z każdym. Ile
bedzie rozegranych partii? A na ile sposobów można turniej rozpocząć? (Zakładamy, że na początku rozgrywa
się równolegle możliwie największą liczbę partii.)
Tyle będzie partii, ile możemy utworzyć par wśród zawodników, czyli 30
2 . Tyle bedzie sposobów rozpoczęcia
turnieju, ma ile zbiór 30 zawodników możemy podzielić (równocześnie) na pary nieuporządkowane, czyli
30
30!
2,2,...,215! = (2!)2 15!
Z. 10. Na parterze dziesięciopiętrowego wieżowca wsiadło do windy jadącej na ostatnie piętro 8 osób. Na ile
sposobów mogą oni opuścić windę? A jeśli każda z osób wysiada na innym piętrze?
Gdy osoby mają zupełną dowolność, to każda z osób ma do wyboru 10 pięter, czyli możliwości jest 108 .
Gdy każda musi wysiąść na innym piętrze, to pierwsza ma 10 pięter do wyboru, druga 9, itd., ósma 3, czyli
10!
możliwości jest 10 · 9 · · · · · 3 = (10−2)!
.
Część teoretyczna:
P. 1. Podać definicję i przykład ciągu określonego rekurencyjnie.
P. 2. Podać zasadę szufladkową i przykład jej zastosowania.
P. 3. Co to jest współczynnik dwumianowy? Podać jego wartość liczbową i interpretację kombinatoryczną.
P. 4. Co to jest permutacja? Ile możemy utworzyć permutacji w zbiorze n-elementowym?
P. 5. Niech X i Y będą zbiorami takimi, że |X| = n and |Y | = m. Ile jest funkcji różnowartościowych
odwzorowujących X w Y ? A ile jest funkcji „na”?