Zadania na wtorek, 7 kwietnia Zadanie 1. Niech amplituda

Zadania na wtorek, 7 kwietnia
Zadanie 1. Niech amplituda prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie x
w chwili t będzie zadana wzorem (tak zwany zależny od czasu pakiet falowy)
1 Z k0 +∆k ik(x−ct)
ψ(x, t) =
e
dk.
2∆k k0 −∆k
Obliczyć prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w punkcie x w chwili t. Jak zachowuje
się pakiet z upływem czasu? Czy pakiet zmienia kształt?
Zadanie 2. W chwili t = 0 amplituda znalezienia cząstki w punkcie x zadana jest
przez funkcję gaussowską
2
1
− x2
4σ .
ψG (x, 0) = √
e
4
2πσ 2
(i) Obliczyć rozkład prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie x w chwili t.
(ii) Przypuśćmy, że pakiet opisuje elektron zawarty w obszarze o rozmiarach rzędu
1 Å. Ile czasu upłynie do chwili gdy pakiet zwiększy swój rozmiar dwa razy?
Ile potrzeba czasu aby pakiet „zajął” cały pokój?
(iii) Rozważyć dla porównania cząsteczkę kurzu o masie 10−3 g i rozmiarze rzędu
10−4 cm zlokalizowanej w obszarze odpowiadającej jej rozmiarowi. Ile potrzeba
czasu aby pakiet zwiększył swoje rozmycie dwa razy?
Zadanie 3.
Propagator dla cząstki o masie m znajdującej się w potencjale U (x) = mω 2 x2 /2 (oscylator harmoniczny) ma postać
1/2
i
mω
imω h 2
exp
(x + x20 ) cos ωT − 2xx0 ,
2πi~ sin ωT
2~ sin ωT
gdzie T = t − t0 . Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa w chwili t, jeżeli w chwili
początkowej t = 0 cząstka była opisana funkcją falową
mω
ψ(x, 0) = exp −
(x − a)2 .
2~
Zadanie 4. Rozważyć dwie funkcje falowe w reprezentacji położeń
K(x, t; x0 , t0 ) =
ψ1 (x) = Ae−|x|/a ,
ψ2 (x) = Aeikx e−|x|/a ,
gdzie A jest pewną stałą.
(i) Jakie jest prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w przedziale położeń x1 ¬
x ¬ x2 ?
(ii) Jakie jest prawdopodobieństwo znalezienia cząstki o pędzie w przedziale p1 ¬
p ¬ p2 ?
Uwaga: nie należy zapominać o poprawnej normalizacji.
Zadanie 5. Udowodnić, że zmiana reprezentacji operatora z położeniowej na pędową
wyraża się wzorem
Z
i 0 0
i
A(p, p0 ) = dxdx0 e− ~ px A(x, x0 )e ~ p x .
∂
dla cząstek na nieskończonej prostej
Zadanie 6. Pokazać, że operator pędu p̂ = ~i ∂x
jest hermitowski (w przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem).