eksperymentalna identyfikacja parametrów modalnych

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
32, s. 309-316, Gliwice 2006
ISNN 1896-771X
EKSPERYMENTALNA IDENTYFIKACJA PARAMETRÓW MODALNYCH
NIESTACJONARNYCH UKŁADÓW MECHANICZNYCH
Z ZASTOSOWANIEM EKSPLOATACYJNEJ ANALIZY MODALNEJ
JACEK KROMULSKI
TADEUSZ PAWŁOWSKI
JAN SZCZEPANIAK
Przemysłowy Instytut Maszyn Rolniczych, Poznań
Streszczenie. Eksploatacyjna analiza modalna pozwala na identyfikację
parametrów modalnych układu tylko na podstawie pomiaru jego odpowiedzi
eksploatacyjnych. Bazuje ona na założeniu, że wymuszenie układu podczas pracy
ma charakter przypadkowy. W wielu przypadkach, szczególnie podczas pracy
układu, mierzony sygnał odpowiedzi układu może być niestacjonarny (zmienny w
czasie). W artykule przedstawiono możliwości zastosowania eksploatacyjnej
analizy modalnej do identyfikacji parametrów modalnych układu mechanicznego
wymuszanego różnymi niestacjonarnymi sygnałami:
-poziom siły wymuszającej jest zmienny w czasie pomiaru,
-wymuszenie ma charakter harmoniczny i zależy od prędkości obrotowej
maszyny ( zmiennej w czasie pomiarów).
Metoda została zastosowana do identyfikacji parametrów modalnych
rzeczywistego układu mechanicznego – maszyny wiatrowej.
1. WSTĘP
W klasycznej analizie modalnej zadawane jest wymuszenie w czasie sterowanego
eksperymentu. Na podstawie zmierzonych sygnałów wymuszających oraz odpowiedzi układu
na wymuszenie wyznacza się model funkcjonalny w postaci charakterystyk czasowych lub
częstotliwościowych i na ich podstawie dokonuje się estymacji parametrów modalnych.
Wyznaczane w warunkach laboratoryjnych własności układu mogą jednak odbiegać od
własności charakteryzujących układ w warunkach eksploatacyjnych. Jest to spowodowane
zmianą warunków brzegowych układu (np. w wyniku kontaktu maszyny z medium roboczym
lub glebą). Charakterystyki dynamiczne układów o ciągłym rozkładzie parametrów fizycznych
charakteryzują się dużą wrażliwością na zmiany warunków brzegowych.
Zmiany warunków brzegowych układu traktować można jako lokalne zmiany parametrów
fizycznych układu. Charakterystyki dynamiczne maszyny są funkcją parametrów fizycznych
(masa, sztywność, tłumienie). Każda zmiana parametrów fizycznych układu powoduje zmianę
charakterystyk częstotliwościowych układu (opisanych przez funkcję transmitancji widmowej).
310
J. KROMULSKI, T. PAWŁOWSKI, J. SZCZEPANIAK
Wymienione wyżej niedoskonałości klasycznej analizy modalnej mogą być zminimalizowane
poprzez zastosowanie eksploatacyjnej analizy modalnej realizowanej na podstawie pomiarów
przeprowadzonych podczas eksploatacji.
Eksploatacyjna analiza modalna w porównaniu z metodą klasyczną ma wiele zalet. Do
najważniejszych z nich należą [6,7]:
- zidentyfikowany model lepiej modeluje rzeczywistą konstrukcję, gdyż uwzględnia
eksploatacyjne warunki brzegowe i wymuszenia eksploatacyjne,
- daje dobre przybliżenie dla układów nieliniowych,
- umożliwia analizę konstrukcji, dla których test laboratoryjny jest niemożliwy lub
trudny do zrealizowania (np. dla konstrukcji o dużej masie),
- daje mniejsze koszty przeprowadzenia eksperymentu identyfikacyjnego.
2. ALGORYTMY IDENTYFIKACJI PARAMETRÓW MODALNYCH METODAMI
EKSPLOATACYJNEJ ANALIZY MODALNEJ
Metody identyfikacji parametrów modalnych oparte na pomiarach odpowiedzi
eksploatacyjnych można podzielić na metody realizowane w dziedzinie czasu lub
częstotliwości. Bazują one na założeniu, że wymuszenie układu podczas pracy ma charakter
przypadkowy.
Do najczęściej stosowanych algorytmów realizowanych w dziedzinie czasu należą [5,7,9]:
- metody BR (ang. Balanced Realization), CVA (ang. Canonical Variate Analysis), SSI
(ang. Stochastic Subspace Identication) realizowane w podprzestrzeni stochastycznej,
- metody realizowane na bazie korelacji własnej i wzajemnej sygnałów, np. oparte na
aproksymacji przebiegu korelacji sumą zanikających wykładniczo funkcji
harmonicznych LSCE (ang. Least Square Complex Exponentional) lub metodzie
Ibrahim Time Domain (ITD),
W dziedzinie częstotliwości najczęściej stosuje się [5,9]:
- metodę PP (Peak-Picking) opartą na analizie maksimów w widmach wzajemnych lub
własnych odpowiedzi układu na wymuszenie,
- metodę CMIF (Complex Mode Indication Function) opartą na analizie wartości
szczególnych macierzy wzajemnych widm mocy odpowiedzi,
- metody realizowane na bazie transmitancji eksploatacyjnej (np. metoda PolyMax
Polyreference Least-Squares Complex Frequency-Domain lub metoda Maximum
Likelihood ),
W wielu przypadkach, szczególnie podczas pracy układu, mierzony sygnał odpowiedzi
układu może być niestacjonarny (zmienny w czasie). W ostatnim okresie opracowane zostały
algorytmy identyfikacji parametrów modalnych metodami eksploatacyjnej analizy modalnej dla
przypadków, gdy wymuszenie jest złożeniem wymuszenia przypadkowego i składowych
harmonicznych [5]. Są to zmodyfikowane metody realizowane w dziedzinie czasu wymagające
znajomości częstotliwości harmonicznych a priori:
- zmodyfikowana metoda Least Squares Complex Exponential (LSCE) – metoda oparta
na aproksymacji przebiegu korelacji sumą zanikających wykładniczo funkcji
harmonicznych,
- zmodyfikowana metoda Ibrahim Time Domain (ITD) oparta na analizie korelacji,
- zmodyfikowana metoda ERA.
EKSPERYMENTALNA IDENTYFIKACJA PARAMETRÓW MODALNYCH NIESTACJONARNYCH...311
3.
ZASTOSOWANIE
EKSPLOATACYJNEJ
ANALIZY
MODALNEJ
DO WYZNACZENIA CZĘSTOTLIWOŚCI MODALNYCH MASZYNY WIATROWEJ
Obiektem badań jest stacjonarna maszyna wiatrowa napędzana silnikiem spalinowym z
wolnoobrotowym wentylatorem umieszczonym na wieży. Maszyna wiatrowa stosowana jest
do ochrony upraw ogrodniczych przed przymrozkami. W trakcie pracy maszyny:
- poziom siły wymuszającej jest zmienny w czasie (zależny od prędkości wiatru
i położenia śmigła względem kierunku wiatru),
- wymuszenie ma charakter harmoniczny i zależy od prędkości obrotowej maszyny
(zmiennej w czasie pracy).
Podczas rozmieszczenia czujników przyspieszeń wzięto pod uwagę przede wszystkim
wyniki obliczeń dynamicznych konstrukcji nośnej maszyny wiatrowej. Położenie czujników
pokrywa cię z miejscami największych przemieszczeń konstrukcji dla pierwszych sześciu
postaci drgań własnych słupa, które pokazano na rysunku poniżej.
Rys.1. Analiza dynamiczna MES konstrukcji słupa punkty największych przemieszczeń
Schemat rozmieszczenia punktów pomiarowych pokazano na rysunku 2.
Rys.2. Rozmieszczenie czujników pomiarowych na konstrukcji maszyny wiatrowej
312
J. KROMULSKI, T. PAWŁOWSKI, J. SZCZEPANIAK
Podczas badań rejestrowano sygnały pomiarowe w takcie pracy maszyny wiatrowej.
Pomiary obejmowały przebiegi rejestrowane w czasie:
- rozruchu i zatrzymania maszyny,
- w ustalonych warunkach pracy, to jest przy ustabilizowanej prędkości śmigła 540
obr/min (czas pomiaru obejmował kilka cykli obrotu głowicy wokół osi słupa).
Wyznaczono widma gęstości mocy przyspieszeń drgań mechanicznych w węzłowych
punktach maszyny. Do wyznaczenia estymat widmowych zastosowano krótkoczasową
transformatę Fouriera (STFT - Short Time Fourier Transform).
STFT można zdefiniować jako transformatę Fouriera wykonywaną dla określonego okna
czasowego (widmowego) o zmiennej w czasie pozycji okna:
S b (t ) = ∫ s(t ) g ∗ (t − b)e − j 2πf ( t −b ) dt = s, gb , f
przy czym
(1)
gb , f (t ) = g (t − b)e j 2πf ( t −b )
gdzie s(t) - jest sygnałem, b - parametrem czasu, f -parametrem częstotliwości.
Na rysunku 3 zamieszczono przykładowe trójwymiarowe (amplituda, czas, częstotliwość)
widmo STFT (widmo własne gęstości mocy przyspieszeń drgań mechanicznych) wyznaczone
w warunkach eksploatacyjnych dla maszyny wiatrowej (końcowa faza rozruchu - stan
ustalony).
Rys 3. Przykładowe widmo STFT własne gęstości mocy przyspieszeń drgań
mechanicznych wyznaczone dla końcowej fazy rozruchu i stanu ustalonego
maszyny wiatrowej (punkt C4 kierunek „x”)
W analizowanych widmach gęstości mocy odpowiedzi eksploatacyjnych występują
maksima. Mogą one pochodzić od wymuszeń harmonicznych (częstotliwości eksploatacyjne)
lub stochastycznych (częstotliwości własne układu). Oceny, czy maksima w widmach
EKSPERYMENTALNA IDENTYFIKACJA PARAMETRÓW MODALNYCH NIESTACJONARNYCH...313
odpowiedzi pochodzą od wymuszeń harmonicznych lub stochastycznych, można dokonać na
podstawie analizy własności statystycznych sygnałów odpowiedzi.
Gęstość prawdopodobieństwa odpowiedzi na wymuszenie statystyczne charakteryzuje się
rozkładem podobnym do rozkładu Gaussa. Gęstość prawdopodobieństwa odpowiedzi na
wymuszenie harmoniczne posiada rozkład z dwoma maksimami. Rozkłady gęstości
prawdopodobieństwa można wyznaczyć po dokonaniu separacji sygnałów z zastosowaniem
filtracji cyfrowej. Badanie rozkładu gęstości prawdopodobieństwa może być wskaźnikiem
identyfikującym częstotliwości modalne układu [3].
Częstotliwości rezonansowe (własne) układu można określić na podstawie analizy funkcji
koherencji między sygnałami odpowiedzi eksploatacyjnych. Funkcja koherencji między dwoma
jednocześnie rejestrowanymi sygnałami odpowiedzi eksploatacyjnych przyjmuje wysokie
wartości (≈1) dla częstotliwości własnych układu [2].
Rys.4. Przykładowa funkcja koherencji między sygnałami rejestrowanymi
w czasie pracy maszyny (w punktach pomiarowych C3”x” i C4„x” )
Analizowano wartości współczynnika koherencji dla poszczególnych składowych
dominujących w widmie przyspieszeń drgań. Najwyższe wartości współczynnika koherencji
występują dla częstotliwości 2,05 Hz (wsp. koherencji = 0,99) oraz 14,7 Hz (wsp. koherencji
= 0,97). Na podstawie analizy funkcji koherencji można stwierdzić, że częstotliwości 2,05 oraz
14,7 Hz mogą być częstotliwościami modalnymi układu.
Dla częstotliwości związanych z wymuszeniami harmonicznymi (9 Hz i harmoniczne)
współczynnik koherencji jest mniejszy niż 0,5.
Wyznaczono funkcje transmitancji widmowej Tij (ω ) ; Tij (ω ) jest zespoloną funkcją
transmitancji widmowej typu przyśpieszenie/przyśpieszenie.
314
J. KROMULSKI, T. PAWŁOWSKI, J. SZCZEPANIAK
Można ją zapisać jako:
X (ω )
Tij (ω ) = i
=
X j (ω )
∑H
∑H
ik
(ω ) Fk (ω )
k
jk (ω ) Fk (ω )
(2)
k
Wielkość Tij (ω ) jest stosunkiem widm fourierowskich przyspieszeń drgań mechanicznych
wyznaczonych w punktach pomiarowych („i” i „j”), wzbudzanych w wyniku działania sił
wymuszających Fk (ω ) w eksploatacyjnych warunkach pracy maszyny
Rys.5. Przykładowa funkcja transmitancji eksploatacyjnej TC 3X ,C 4 X (ω) wyznaczona
w czasie pracy maszyny
W transmitancjach eksploatacyjnych
częstotliwości około 2,1 Hz oraz 14-16 Hz.
największe
uwielokrotnienia
występują
dla
Estymacja parametrów modalnych układu może być realizowana przez algorytm oparty na
analizie wskaźnika identyfikacji częstotliwości modalnych układu CMIF (Complex Mode
Indication Function). W eksperymentalnej analizie modalnej wskaźnik CMIF wyznacza się z
rozkładu na wartości własne µ (lub szczególne σ) macierzy funkcji odpowiedzi
częstotliwościowych układu (FRF) [1,6]:
[ H ( j ω )] H [ H ( j ω )] = [V ( jω )][ Σ 2 ( j ω )][V ( j ω )] H
(3)
CMIFk ( jω ) = µ k ( jω ) = σ k2 ( jω )
(4)
gdzie: Σ macierz diagonalna zawierająca wartości szczególne
EKSPERYMENTALNA IDENTYFIKACJA PARAMETRÓW MODALNYCH NIESTACJONARNYCH...315
W eksploatacyjnej analizie modalnej wskaźnik CMIF można wyznaczyć z analizy rozkładu
na wartości szczególne macierzy G wzajemnych gęstości widmowych mocy sygnałów
odpowiedzi eksploatacyjnych:
[G ( jω )] = [V ( jω )][Σ 2 ( jω )][V ( jω )]H
(5)
Rys.4. Przykładowy wskaźnik CMIF wyznaczony dla przebiegu zawierającego rozruch, stan
ustalony i wybieg maszyny
Wskaźnik CMIF przyjmuje najwyższe wartości dla częstotliwości modalnych układu. W
przypadku, gdy układ posiada podwójne częstotliwości własne występują dla tych
częstotliwości dwie dominujące wartości szczególne.
Na podstawie analizy wskaźnika CMIF można stwierdzić, że największe wartości występują
dla częstotliwości 2,05 i 14,7 Hz (częstotliwości modalne) oraz dla częstotliwości 9 Hz i
harmonicznych (składowe związane z wymuszeniami pochodzącymi od pracujących
mechanizmów maszyny).
4. WNIOSKI
1. Istnieje potrzeba doskonalenia metod identyfikacji parametrów modalnych na
podstawie analizy odpowiedzi wyznaczanych podczas pracy maszyny (metoda
eksploatacyjnej analizy modalnej).
2. W widmach eksploatacyjnych wyróżnić można częstotliwości związane z pracą
mechanizmów oraz związane z własnościami struktury (modalne). Oceny, czy są to
częstotliwości modalne lub pochodzące od wymuszeń harmonicznych można dokonać
na podstawie badania rozkładu gęstości prawdopodobieństwa sygnałów odpowiedzi
lub poprzez analizę funkcji koherencji.
316
J. KROMULSKI, T. PAWŁOWSKI, J. SZCZEPANIAK
LITERATURA
1. Allemang R. J., Brown D. L., A unified matrix polynomial approach to modal
identification, Journal of Sound and Vibration (1998) 211(3), 301-322
2. Bendat J.S. Piersol, A.G. Engineering applications of correlation and spectral analysis ,
John Wiley & Sons, New York, NY, USA, 1993.
3. Brincker R., Andersen P., Mřller N.. An indicator for separation of structural and
harmonic modes in output-only modal testing, Proceedings of The 18th International
Modal Analysis Conference (IMAC) San Antonio, Texas, 2000.
4. Hermans L., Van der Auweraer H., Modal testing and analysis of structures under
operational conditions: Industrial applications, Materiały firmy LMS International, Leuven,
Belgium.
5. Mohanty, P. Operational modal analysis in the presence of harmonic excitations, delft
dissertations, Technische Universiteit Delft, 2005
6. Shih C. Y. Tsuei Y. G. Allemang R. J. Brown D. L., Complex mode indication function
and its applicationsto spatial domain parameter estimation, Proceedings of The
International Modal Analysis Conference (IMAC VII), 1989
7. Uhl T., Lisowski W., 1999, Eksploatacyjna analiza modalna i jej zastosowania, AGH,
Kraków.
8. Uhl T., Kurowski P., VIOMA – User’s Guide, AGH, Kraków, 2000.
9. Uhl T., 1997, Komputerowo wspomagana identyfikacja modeli konstrukcji
mechanicznych, WNT, Warszawa
EXPERIMENTAL IDENTIFICATION OF MODAL PARAMETERS
OF NONSTACJONARY MECHANICAL SYSTEMS ON THE BASIS
OF OPERATIONAL MODAL ANALYSIS TECHNIQUES
Summary. Operational Modal Analysis (OMA) is a technique for identification of
modal parameters by measurement of only the system’s response. It is based on the
assumption that the non-measured excitation to the system in operation must a
stochastic white noise. In many cases, especially in operational condition, the
measurement signals of response may be nonstationary (time varying). This paper
presents possibility of application OMA for identification of modal parameters of
mechanical system excited with different types of nonstationary signals: excitation
force levels change during the measurement time period; the excitation are
harmonic and are related to a rotational speed in the machine (which changes
during the measurement time period). The methods were used to identify modal
parameter of a real mechanical system – wind machine.