Transformata Fouriera 1 Definicje 2 Polecenia w pakiecie MatLAB 3

Teoria Sygnałów
IIr Geofizyka 2016/2017
copyright: M. Dwornik
[email protected]
Transformata Fouriera
1
Definicje
Para transformat Fouriera dana jest wzorami:
Z ∞
f (x)e−iωx dx
F (ω) =
(1)
−∞
f (x) =
1
2π
Z ∞
F (ω)eiωx dω
(2)
−∞
Spektrum Transformaty Fouriera można przedstawić w postaci biegunowej używając widma amplitudowego (|F (ω)|) i fazowego (φ(ω)):
F (ω) = |F (ω)| · eiφ(ω)
|F (ω)| =
q
Re(F (ω))2 + Im(F (ω))2 =
φ(ω) = atan
Im(F (ω))
Re(F (ω))
(3)
q
F (ω) · F ∗ (ω)
(4)
(5)
Para dyskretnych transformat Fouriera (DFT) dana jest wzorami:
−1
−2πikn
1 NX
x(n) exp
X(k) =
N n=0
N
x(n) =
N
−1
X
k=0
2πikn
X(k) exp
N
(6)
(7)
W przypadku tej transformaty spotykany jest również zapis, gdzie mnożenie przez czynnik
1
N z równ.6 występuje w odwrotnej DFT (równ.7) zamiast w prostej DFT.
2
Polecenia w pakiecie MatLAB
•
•
•
•
•
•
•
•
•
3
Prosta i odwrotna szybka transformata Fouriera: fft(x) oraz ifft(X)
Prosta i odwrotna szybka transformata Fouriera 2D: fft2(x) oraz ifft2(X)
widmo amplitudowe i fazowe: abs(X) oraz angle(X)
część rzeczywista i urojona widma: real(X) oraz imag(X)
sprzężenie liczby zespolonej: conj(z)
jednostka urojona: 1i, i, j
wygładzenie widma fazowego: unwrap(angle(X))
przesunięcie zerowej częstotliwości do środka widma: fftshift(X) oraz ifftshift(X)
najmniejsza potęga liczby 2 większa lub równa x: nextpow2(x)
Własności
W tabeli 1 zebrano najważniejsze własności Transformaty Fouriera.
1
Teoria Sygnałów
IIr Geofizyka 2016/2017
copyright: M. Dwornik
[email protected]
Tabela 1: Własności Transformaty Fouriera
(źródło: http://home.agh.edu.pl/˜lesniak/wyklady/geof_syg_w4.pdf)
Własność
Liniowość Transformaty Fouriera
Twierdzenie o podobieństwie
Twierdzenie o przesunięciu I
Twierdzenie o przesunięciu II
Twierdzenie o modulacji
Twierdzenie o różniczkowaniu
Twierdzenie o różniczkowaniu
Transformaty
Twierdzenie o całkowaniu
wzór
F [αf (x) + βf (x)] = αF (ω)
βF (ω)
+
1
ω
F [f (αx)] =
F
|α|
α
F [f (x − α)] = e−iωα F (ω)
F [f (x)eiαx ] = F (ω − α)
1
F [f (x)cos(αx)] = [F (ω − α) + F (ω + α)]
2
F [f n (x)] = (iω)n F (ω)
F [(−ix)n f (x)] = F n (ω)
Z x
f (t)dt =
F
−∞
Z ∞
Twierdzenie Parsevala
Twierdzenie o wzajemności
Rayleigha
Twierdzenie o splocie
4
Z
|f (x)|2 dx =
−∞
∞
Z ∞
|F (ω)|2 dω
Z −∞
∞
f (x)g(x)dx =
−∞
1
F (ω)
iω
F (ω)G(ω)dω
−∞
F [f (x) ∗ g(x)] = F (ω) · G(ω)
Zadania
1. Policz Transformatę Fouriera (analitycznie oraz w MatLABie dla FS = 100Hz)
dla następujących sygnałów:
• Sygnał prostokątny (amplituda 1, szerokość 2, środek 0)
dla x ∈< −π, π >
• Sygnał trójkątny (amplituda 1, szerokość 2, środek 0)
dla x ∈< −5, 5 >
• Sygnał harmoniczny (amplituda 1, okres 1)
dla x ∈< −4π, 4π >
• Sygnał Gaussowski (średnia 0, odchylenie 1)
dla x ∈< −5, 5 >
2. Policz dyskretną Transformatę Fouriera dla wektora: x = [1 0 -2 1]. Dla uproszczenia
przyjmij, że pierwszy element ma indeks zero, tj. x[0]=1.
3. Udowodnij twierdzenia zawarte w tab.1.
2