Własności funkcji

Własności funkcji
Gdy mamy daną funkcję, poza określeniem jej dziedziny i miejsca zerowego możemy badad
szczególne własności, takie jak: monotonicznośd, różnowartościowośd, parzystośd,
nieparzystośd. Na temat monotoniczności znajdziesz informacje w zasobie ”Podstawowe
pojęcia - własności funkcji 1”. Zajmiemy się teraz różnowartościowością.
Definicja 1
Funkcja
jest różnowartościowa w zbiorze A
wtedy i tylko wtedy, gdy różnym
argumentom funkcja ta przyporządkowuje różne wartości.
Przykład 1
Wykaż, że funkcja
a) jest różnowartościowa w zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich ,
b) nie jest różnowartościowa w zbiorze liczb rzeczywistych.
Rozwiązanie:
a)
Założenia:
1.
2.
- nierównośd jest równoważna nierówności:
Teza:
Funkcja jest różnowartościowa w podanym zbiorze.
.
Na mocy definicji funkcji różnowartościowej wystarczy udowodnid, że przy podanych
założeniach wartości funkcji
są różne. Udowodnimy nierównośd równoważną,
czyli
.
Dowód:
albowiem
- na mocy założenia 1,
- zgodnie z założeniem 2 oraz iloczyn liczb
różnych od zera jest liczbą różna od zera. Ponieważ dla dowolnych, różnych, dodatnich liczb
rzeczywistych odpowiadające im wartości funkcji są różne, to na mocy definicji funkcja f jest
różnowartościowa w zbiorze
.
b)
Aby wykazad, że funkcja nie jest różnowartościowa w zbiorze R, wystarczy wskazad dwa
różne argumenty, dla których odpowiadające im wartości funkcji są równe. Przyjmijmy
zatem np.
i
. Oczywiście
. Obliczamy
,
podobnie
. Zatem: dla różnych argumentów wartości funkcji są równe,
więc funkcja nie jest różnowartościowa w zbiorze R.
Ćwiczenie 1
Udowodnij, że funkcja
a) jest różnowartościowa w zbiorze ,
b) nie jest różnowartościowa w zbiorze R.
Funkcje nie tylko dla maturzystów – Barbara Chudolińska
Strona 1
Własności funkcji
Mając wykresy, możemy łatwo określid, która z funkcji jest różnowartościowa. Poniższe
wykresy stanowią ilustrację problemu. W przypadku funkcji różnowartościowej dowolna
prosta o równaniu
przecina wykres co najwyżej w jednym punkcie (patrz rys.1.1).
Jeśli funkcja nie jest różnowartościowa, istnieją proste równoległe do osi x (przynajmniej
jedna), które przecinają wykres funkcji w więcej niż jednym punkcie (rys.1.2).
Rys.1.1 Wykres funkcji różnowartościowej
Rys.1.2 Wykres funkcji, która nie jest
różnowartościowa
Z różnowartościowością związane jest istnienie funkcji odwrotnej do danej.
Definicja 2
Jeśli funkcja
element
jest różnowartościowa i odwzorowuje zbiór X na zbiór Y, to funkcję
określoną następująco: dla dowolnego
wartością
taki, że
, nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f.
jest jedyny
Funkcję, która ma funkcję odwrotną, nazywamy odwracalną. Funkcją odwrotną do funkcji
jest funkcja .
Aby otrzymad wzór funkcji odwrotnej do funkcji
należy:
wyznaczyd x w zależności od y,
zamienid zmienne – aby można było narysowad wykresy w tym samym układzie
współrzędnych.
Przykład 2
Wyznacz funkcję odwrotną do funkcji
Przekształcamy wzór
i narysuj obydwa wykresy.
;
Funkcje nie tylko dla maturzystów – Barbara Chudolińska
Strona 2
Własności funkcji
otrzymujemy kolejno:
,
, teraz zamieniamy zmienne, otrzymujemy wzór funkcji odwrotnej
:
.
Poniżej znajduje się ilustracja przykładu:
Rys.1.3 Wykresy funkcji
i
To, co łatwo zauważyd na powyższym rysunku, że wykresy funkcji: danej i odwrotnej są
symetryczne względem prostej y =x zachodzi nie tylko dla przypadku wyżej omówionego,
ale dla dowolnej pary funkcji wzajemnie odwrotnych.
Rys.1.4 Jeszcze jedna para wykresów funkcji wzajemnie odwrotnych.
Funkcje nie tylko dla maturzystów – Barbara Chudolińska
Strona 3
Własności funkcji
Ćwiczenie 2
Zbadaj, czy funkcja
jest różnowartościowa. Jeśli tak, to wyznacz funkcję do
niej odwrotną.
Kolejne własności, które omówimy, to parzystośd i nieparzystośd funkcji.
Definicja 3
Funkcja
jest parzysta w zbiorze
wtedy i tylko wtedy gdy dla każdej liczby
należącej do dziedziny funkcji, liczba przeciwna
również należy do dziedziny tej
funkcji oraz wartości funkcji dla danego argumentu x i dla argumentu przeciwnego są równe.
Symbolicznie możemy zapisać:
Funkcja f jest parzysta w zbiorze
Rys.1.5 Wykres funkcji parzystej
Z definicji wynika, że wykres dowolnej funkcji parzystej jest symetryczny względem osi y.
Zatem, aby sporządzid wykres funkcji parzystej, wystarczy narysowad wykres dla
argumentów nieujemnych a następnie przekształcid go przez symetrię względem osi y.
Przykład 3
Wykaż, że
a) funkcja
b) funkcja
c) funkcja
jest parzysta w zbiorze liczb rzeczywistych
nie jest parzysta w —
nie jest parzysta w zbiorze —
Funkcje nie tylko dla maturzystów – Barbara Chudolińska
,
.
Strona 4
Własności funkcji
Rozwiązanie:
a)
Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych , zatem dla dowolnego argumentu
argument przeciwny
. Wystarczy więc sprawdzid, czy
. Obliczamy
więc:
. Zatem na mocy definicji funkcja jest parzysta w
zbiorze .
b)
Dziedziną funkcji jest zbiór —
, zatem istnieje element należący do dziedziny,
który nie ma w tej dziedzinie elementu przeciwnego. Jest nim np. argument – 3 lub 4.
Wobec tego funkcja nie jest parzysta w zbiorze —
,
c)
Dziedzina jest zbiorem symetrycznym względem zera, zatem dowolny argument posiada w
niej element do siebie przeciwny. Sprawdzamy, czy
. Otrzymujemy:
,
. Zatem funkcja nie jest parzysta, ponieważ nie jest spełniony jeden z
warunków definicji.
Ćwiczenie 3
Wykaż, ze funkcja:
a) funkcja
jest parzysta w zbiorze liczb rzeczywistych
nie jest parzysta w —
b) funkcja
c) funkcja
nie jest parzysta w zbiorze —
,
.
Definicja 4
Funkcję
nazywamy nieparzystą w zbiorze
wtedy i tylko wtedy gdy dla każdej
liczby należącej do dziedziny funkcji, liczba przeciwna
również należy do dziedziny tej
funkcji oraz wartości funkcji dla danego argumentu x i dla argumentu przeciwnego są
liczbami przeciwnymi.
Symbolicznie możemy zapisać:
Funkcja f jest nieparzysta w zbiorze
Funkcje nie tylko dla maturzystów – Barbara Chudolińska
Strona 5
Własności funkcji
Z definicji wynika, że wykres dowolnej funkcji nieparzystej jest symetryczny względem
początku układu współrzędnych O =(0,0). Zatem, aby sporządzid wykres funkcji nieparzystej,
wystarczy narysowad wykres dla argumentów nieujemnych a następnie przekształcid go
przez symetrię względem punktu O =(0,0).
Poniższy rysunek stanowi ilustrację funkcji nieparzystej.
Rys.1.6 Wykres funkcji nieparzystej.
Przykład 4
Wykaż, że funkcja
jest nieparzysta w zbiorze liczb rzeczywistych różnych od
zera.
Dziedziną funkcji jest zbiór
. Jest to zbiór symetryczny względem zera, zatem każdy
argument z tego zbioru ma w nim element przeciwny. Sprawdzamy zatem drugi warunek
definicji. Obliczamy:
. Zatem na mocy definicji
funkcja f jest nieparzysta w zbiorze
.
Ćwiczenie 4
Udowodnij, że
jest nieparzysta w zbiorze liczb rzeczywistych różnych od -1 i 1.
Zajmijmy się wreszcie funkcjami okresowymi, które są bardzo przydatne do opisu zjawisk,
w których pewne wielkości cyklicznie się powtarzają. Mają zastosowanie głównie w fizyce,
biologii, chemii.
Funkcje nie tylko dla maturzystów – Barbara Chudolińska
Strona 6
Własności funkcji
Definicja 5
Funkcję f nazywamy okresową w dziedzinie
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba
T różna od zera, że dla każdej liczby x należącej do dziedziny funkcji, liczba x+T również
należy do dziedziny tej funkcji oraz zachodzi równośd f(x + T) = f(x). Liczba T nazywana jest
okresem tej funkcji.
Symbolicznie możemy zapisad:
Funkcja jest okresowa
.
Najmniejszą liczbę dodatnią T o własności podanej w definicji nazywamy okresem
zasadniczym.
Poniżej znajdują się przykłady wykresów funkcji okresowych:
Przykład 5
.
Rys. 1.7 Funkcja okresowa o okresie T =
Rys. 1.8 Funkcja okresowa o okresie T =
.
Funkcje nie tylko dla maturzystów – Barbara Chudolińska
Strona 7