Makroekonomia II – wykład prof. Marka Góry Zadania - E-SGH

Makroekonomia II – wykład prof. Marka Góry
Zadania przygotowawcze (sem. zimowy 2014/2015)
Podaż i popyt na pieniądz
Zadanie 1.
Rozpatrzmy gospodarkę, w której jednostki utrzymują gotówkę w stałej relacji α > 0 do całkowitej
wielkości zgromadzonych depozytów, ponadto niech β oznacza część agregatu M 1 wypływającą za
granicę. Zakładamy, że baza monetarna pozostaje w kraju. Stopa rezerw obowiązkowych ustalona
jest na poziomie γ. Wyprowadź mnożnik kreacji pieniądza.
Zadanie 2. (Model popytu na pieniądz Baumola-Tobina)
Majątek może być utrzymywany w postaci gotówki lub na rachunku bankowym. Popyt na pieniądz
rozumiemy jako zasób gotówki, jaki chce utrzymywać jednostka. Żadna forma majątku nie daje
użyteczności sama w sobie, ale tylko gotówka umożliwia dokonywanie transakcji. Majątek na rachunku
bankowym jest znacznie mniej płynnym aktywem, ale daje nominalną stopę zwrotu i. Akt konwersji
form majątku każdorazowo wiąże się z kosztem transakcyjnym c, niezależnym od wielkości transakcji.
W danym okresie jednostka dysponuje realnym dochodem Y , a poziom cen wynosi p. Liczbę wypraw
do banku w celu wypłaty gotówki oznaczmy przez n. Popyt na pieniądz odzwierciedla minimalizację
kosztów ponoszonych przez jednostkę.
• Wobec jakich kosztów związanych z pieniądzem stoi jednostka?
• Zapisz funkcję kosztu ponoszonego przez jednostkę.
• Znajdź optymalną liczbę wypraw do banku i popyt na pieniądz zgłaszany przez jednostkę. Zinterpretuj uzyskany wynik.
• Oblicz elastyczności popytu na pieniądz względem poszczególnych zmiennych.
• Jeżeli majątek utrzymywany w postaci niepłynnych aktywów uznamy za przybliżenie oszczędności, jak kształtować się będą stopy oszczędności w zależności od dochodu?
• Jaki motyw utrzymywania pieniądza wyjaśnia powyższy model?
1
Zadanie 3. (Pieniądz w modelu OLG - model Samuelsona)
Rozważmy tzw. model nakładających się pokoleń (OLG). Każda jednostka żyje w nim dwa okresy
s
- młodość i starość, konsumując odpowiednio cm
t i ct+1 - po czym opuszcza model. Jednostka uzyskuje
m
w ciągu całego życia użyteczność U = u(ct ) + βu(cst+1 ), przy czym pierwsze pokolenie osób starszych
w chwili t = 0 bierze pod uwagę tylko jeden okres U = log(cs0 ). Populacja rośnie w tempie n.
Jednostki pracują jedynie w pierwszym okresie życia uzyskując dochód realny ytm = y0m = 1. Nie
istnieje możliwość przechowywania wytwarzanych dóbr.
• Napisz ograniczenie budżetowe osoby młodej urodzonej w chwili t > 0 w takiej gospodarce
barterowej. Czy jest ona w stanie dokonać alokacji konsumpcji w cyklu życia?
• Wiarygodna instytucja, np, rząd, wprowadza do obiegu kompletnie podzielne i nic nie warte
kawałki papieru zwane powszechnie pieniądzem. Początkowa generacja osób starych otrzymuje
także transfer M > 0 jednostek pieniężnych. Niech relatywna cena jednostki dobra konsumppt
.
cyjnego między okresami t i t + 1 wynosi Rt = pt+1
• Dlaczego kolejne pokolenia chcą przyjmować pieniądz od pokoleń starszych? Co jest warunkiem,
by pieniądz był akceptowany w takiej gospodarce?
• Zapisz funkcję użyteczności i ograniczenie budżetowe dowolnego kolejnego pokolenia. Pokaż, że
popyt na pieniądz zgłaszany przez osoby młode w chwili t ≥ 0 jest funkcją Rt tzn. MtD =
pt
MtD ( pt+1
). Jaką postać ma ta funkcja jeżeli przyjmiemy u(c) = ln c
• Jak zmienia się zagregowany popyt na pieniądz a jak zagregowana podaż pieniądza?
• Jak zmieniają się ceny dóbr w równowadze? Jeżeli pieniądz jest rodzajem aktywa, jaki jest zwrot
z jego utrzymywania?
• Od czego zatem zależy popyt na pieniądz w modelu Samuelsona?
• Jeżeli istnieje technologia przechowywania dóbr, dająca z okresu na okres zwrot r, kiedy pieniądz
będzie akceptowany i używany w takiej gospodarce? (przypomnij sobie pojęcia dynamicznej
efektywności i nieefektywności).
2
Zadanie 4. (Pieniądz w modelu OLG 2 - model Samuelsona)
Rozpatrz model z poprzedniego zadania dokonując następujących modyfikacji:
• Załóżmy, że rząd w każdym okresie dodrukowuje pieniądz według stałej stopy γ tak, że Mt =
(1 + γ)Mt−1 i jeszcze przed dokonaniem wymiany na rynku dóbr przekazuje nowododrukowany
pieniądz γMt−1 pokoleniu starszemu. Ile wynosi inflacja w równowadze w tej gospodarce? Co
ją wyznacza?
• Załóżmy, że oprócz przyrostu naturalnego w gospodarce obserwujemy wzrost gospodarczy tzn.
m
produkt wytwarzany przez osoby młode rośnie w tempie g tak, że yt+1
= (1 + g)ytm . Ile wynosi
popyt na pieniądz, a ile inflacja w równowadze?
Zadanie 5. * Model popytu na pieniądz
Problem decyzyjny reprezentatywnej jednostki mającej przed sobą dwa okresy życia (indeksowane
i = 1, 2) jest następujący: maksymalizuje ona użyteczność z konsumpcji u(ci ) w obu okresach nie
uwzględniając dyskonta. Jednostka nie wie jednak a priori, kiedy będzie chciała dokonać wydatków,
tzn. może ona konsumować albo w okresie pierwszym albo w okresie drugim (tylko w jednym z nich),
lecz w momencie podejmowania decyzji wie, w którym z okresów dokona konsumpcji. Prawdopodobieństwo, że będzie ona konsumować w pierwszym okresie wynosi q, a że w drugim - oczywiście 1 − q.
W momencie podejmowania decyzji jednostka dysponuje majątkiem w wysokości Y . Majątek może
zostać podzielony pomiędzy zasób pieniądza M oraz zasób aktywów B, przynoszących nominalną
stopę zwrotu równą i. Pieniądz M można wydać - czyli finansować za jego pomocą konsumpcję - w
obu okresach, natomiast zasób aktywów B można wydać jedynie w drugim okresie. Poziomy cen w
kolejnych okresach to odpowiednio p1 i p2 .
• Zapisz funkcję użyteczności w ciągu życia, którą maksymalizuje jednostka.
• Określ, jak zrealizowane wielkości c1 i c2 powiązane są z M , B, i oraz poziomami cen.
• Zapisz ograniczenie budżetowe i funkcję Lagrange’a dla tego problemu.
• Zapisz warunki pierwszego rzędu maksymalizacji użyteczności z konsumpcji w obu okresach.
• Jaki motyw utrzymywania pieniądza wyjaśnia powyższy model?
3
Kursy walutowe, efekt Balassy-Samuelsona
Zadanie 6.
Załóż, że w pewnej gospodarce jest tylko jeden czynnik produkcji X, którego zasób wynosi X i
jest dzielony między dwa sektory: dóbr wymienialnych (tradables) i niewymienialnych (nontradables)
tzn. X = XT + XN . Funkcje produkcji obu sektorów dóbr to odpowiednio YT = AT (XT )α i YN =
AT (XT )β . Jednocześnie niech funkcja użyteczności reprezentatywnego gospodarstwa domowego z
konsumpcji dóbr wymienialnych i niewymienialnych ma postać U (YT , YN ) = (YT )θ (YN )1−θ .
• Pokaż, że krzywa możliwości produkcyjnych ma postać
YN
AN
β1
+
YT
AT
α1
= X.
• Korzystając z metody mnożników Lagrange’a znajdź optymalne poziomy produkcji YT i YN . Ile
T
wynosi cena względna obu dóbr λ = PP N w optimum?
• Niech AT = AN = 10, α = β = 21 , θ = 12 , X = 1. Wyznacz YT , YN oraz λ w optimum.
Zadanie 7.
Spełnione są wszystkie założenia modelu Samuelsona-Balassy. W szczególności, produktywność
pracy w sektorach dóbr niewymiennych w kraju i za granicą jest identyczna (M P LN = M P LN ? ), a
produktywność w sektorze dóbr wymiennych wyższa jest za granicą (M P LT < M P LT ? ). Jednakże
tempo wzrostu produktywności pracy w sektorze dóbr wymiennych wyższe jest w kraju, formalnie
d
d
?
?
ˆ?
dt (M P LT ) = g < ĝ = dt (M P LT ). Udział obu rodzajów dóbr w strukturze produkcji obu państw
1−α
?
? α ? 1−α
. Znajdź relację pomiędzy
jest identyczny i opisany równaniami: p = pα
T pN , p = (pT ) (pN )
tempami wzrostu płac realnych w obu krajach.
4