Matematyka Dyskretna – Elektronika 25.03.2016 Lista 5. Indukcja i

Matematyka Dyskretna – Elektronika
Lista 5. Indukcja i rekurencja.
25.03.2016
1. Za pomocą indukcji matematycznej wykaż prawdziwość wzorów:
a) 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2 ;
b) 1 · 2 + 2 · 3 + . . . + n(n + 1) =
n(n+1)(n+2)
.
3
2. Odgadnij wzór na sumę i wykaż jego prawdziwość za pomocą indukcji matematycznej:
1√
1√
1 √
1
1
1
a) 1 + √1+
+ √2+
+ . . . + √n−1+
;
b) 1 + 1·3
+ 3·5
+ . . . + (2n−1)(2n+1)
.
n
2
3
3. Z szachownicy o wymiarach 2n × 2n usunięto jedno pole. Wykaż, że otrzymaną figurę można pokryć tryminami, tzn.
kostkami złożonymi z trzech jednostkowych kwadratów, w kształcie równoramiennej elki.
4. Wykaż błąd w następującym rozumowaniu. Teza: wszystkie kobiety mają ten sam kolor oczu.
Dowód indukcyjny: dla n = 1 teza jest oczywista. Ustalmy n i załóżmy, że dla dowolnego n-osobowego zbioru kobiet
wszystkie mają ten sam kolor oczu. Rozważmy teraz zbiór (n + 1) kobiet i przyjmijmy, że dwie z nich to Ala i Basia.
Bez Ali zbiór ten jest n elementowy, więc z założenia indukcyjnego Basia ma ten sam kolor oczu co pozostałe panie.
Podobnie (bez Basi) wnioskujemy, że Ala ma ten sam kolor oczu co reszta. Zatem, wszystkie (n + 1) kobiet ma ten
sam kolor oczu, co kończy indukcję i cały dowód.
5. Liczby Fibonacciego Fn określone są rekurencją F1 = F2 = 1 oraz Fn+2 = Fn+1 + Fn . Wykaż, że
a) F1 + F2 + . . . + Fn = Fn+2 − 1; b) F1 + F3 + F5 + . . . + F2n−1 = F2n ; c) F12 + F22 + . . . + Fn2 = Fn Fn+1 .
6. Na ile sposobów można pokonać drogę złożoną z n schodków, gdy za każdym razem przeskakujemy jeden stopień lub
dwa? Rozwiązując to zadanie na dwa sposoby wykaż, że zachodzi tożsamość
( ) (
) ( n−2 )
Fn+1 = n0 + n−1
+ 2 + ... .
1
{ }
7. Liczbę Stirlinga II rodzaju nk określamy jako liczbę podziałów zbioru {1, 2, . . . , n} na k niepustych części dla
{ }
0 6 k 6 n, przyjmując, że 00 = 1.
{ } { } { }
{ n }
a) Podaj wzory dla n1 , n2 , nn oraz n−1
.
{4}
b) Oblicz 3 przez bezpośrednie wskazanie odpowiednich podziałów. Następnie sprawdź otrzymany wynik,
{ } {
}
{ n−1 }
korzystając z rekurencji z wykładu: nk = n−1
k−1 + k
k
{ }
c) Korzystając ze wzoru włączeń i wyłączeń, wyznacz wzór na n3 .
[ ]
[ ]
[
] [ n−1 ]
[ ]
8. Liczby Stirlinga I rodzaju nk zadane są rekurencją nk = (n − 1) n−1
+ k−1 , z warunkami: nn = 1 dla n > 0,
k
[n]
[2] [3] [n] [ n ]
0 = 0 dla n > 0. Oblicz: 1 ,
2 ,
1 ,
n−1 .
9. Znajdź rozwiązanie ogólne dla każdego z poniższych równań rekurencyjnych:
a) an+2 = 2an+1 + 3an ;
b) bn+2 = 6bn+1 − 9bn ;
c) cn+3 = −2cn+2 + cn+1 + 2cn ;
d) en+2 = 2en+1 − 4en .
10. Znajdź rozwiązanie szczególne dla każdego z poniższych równań rekurencyjnych:
a) a1 = 2, a2 = 3, an+2 = 6an+1 − 5an ;
b) b1 = 3, b2 = 1, bn+2 = 6bn+1 − 9bn ;
c) c1 = 7, c2 = 10; cn+2 = 2cn+1 − 4cn ;
d) d1 = 2, d2 = 3, d3 = 5, dn+3 = 7dn+1 − 6dn .
11. Wyznacz rozwiązania szczególne następujących równań rekurecnyjnych:
a) a0 = 1, an = 2an−1 + 3;
b) a0 = 0, an = 2an−1 + 5n.
12. Na ile sposobów można zbudować:
a) prostokąt 2 × n za pomocą kwadratów 1 × 1 oraz 2 × 2;
b) wieżę o wymiarach 2 × 2 × n z klocków o wymiarach 2 × 2 × 1?
13. Dla poniższego wyznacznika znajdź zależność rekurencyjną i oblicz
2 1 0 ... 0
1 2 1 ... 0
0 1 2 ... 0
Dn = . . . .
. . ...
.. .. ..
0 0 0 ... 2
0 0 0 ... 1
jego wartość:
0 0 0 .. . 1 2 n×n
14. Oznaczmy przez dn liczbę wszystkich ciągów długości n o wyrazach ze zbioru {0, 1, 2}, w których nie występują ani
dwie jedynki pod rząd, ani dwie dwójki pod rząd. Np. d3 = 17, gdyż żądanymi ciągami są 000, 001, 002, 010, 012,
020, 021, ***, 101, 102, 120, 121, ***, ***, 202, 210, *** (uzupełnij brakujące ciągi ***). Wyznacz wzór na wyraz
ogólny ciągu dn .