7. Ciągi

7. CIĄGI
7.1. Ciąg
i jego własności
a) Definicja ciągu
Ciągiem nazywamy funkcję
f : N+ → A .
f (1) = a1 - pierwszy wyraz ciągu , f (2) = a 2 - drugi wyraz ciągu,
f (n) = a n - n –ty wyraz ciągu
f (3) = a3 - trzeci wyraz ciągu......
b) Monotoniczność ciągu
(an ) jest rosnący ⇔ dla kaŜdego n ∈ N + zachodzi a n +1 > a n
Ciąg (a n ) jest malejący ⇔ dla kaŜdego n ∈ N + zachodzi a n +1 < a n
Ciąg (a n ) jest stały ⇔ dla kaŜdego n ∈ N + zachodzi a n +1 = a n
Ciąg (a n ) jest nierosnący ⇔ dla kaŜdego n ∈ N + zachodzi a n +1 ≤ a n
Ciąg (a n ) jest niemalejący ⇔ dla kaŜdego n ∈ N + zachodzi a n +1 ≥ a n
Ciąg
KaŜdy z ciągów: rosnący, malejący, stały, nierosnący, niemalejący jest ciągiem monotonicznym.
Aby zbadać monotonicznośc ciągu naleŜy zbadać znak róŜnicy
a n +1 − a n > 0 - ciąg rosnący
a n +1 − a n < 0 - ciąg malejący
a n +1 − a n = 0 - ciąg stały
a n +1 − a n ≤ 0 - ciąg nierosnący
a n +1 − a n ≥ 0 - ciąg niemalejący
c) Suma częściowa ciągu
(an )
S n = a1 + a 2 + a3 + ... + a n
a n +1 − a n
7.2.
Ciąg arytmetyczny
a) Definicja ciągu arytmetycznego
(an ) jest ciągiem arytmetycznym
Ciąg
gdzie
r∈R
⇔ dla kaŜdego n ∈ N + zachodzi a n +1 = a n + r ,
r – stała róŜnica ciągu arytmetycznego
b) Wzór ogólny ciągu arytmetycznego
c)
a n = a1 + (n − 1) ⋅ r
Monotoniczność ciągu arytmetycznego
Monotoniczność ciągu
arytmetycznego
d)
rosnący
malejący
stały
Znak
r
r >0
r<0
r =0
d) ZaleŜność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego
JeŜeli a
e)
, b, c są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego , to zachodzi 2b = a + c
Suma częściowa ciągu arytmetycznego
a + an
Sn = 1
⋅n
2
2a + (n − 1) ⋅ r
Sn = 1
⋅n
2
7.3. Ciąg
geometryczny
a)
Definicja ciągu geometrycznego
Ciąg
(an ) jest ciągiem geometrycznym
gdzie
q∈R
⇔ dla kaŜdego n ∈ N + zachodzi a n +1 = a n ⋅ q ,
q – stały iloraz ciągu geometrycznego
b) Wzór ogólny ciągu geometrycznego
c)
a n = a1 ⋅ q n −1
Monotoniczność ciągu geometrycznego
q<0
q=0
0 < q <1
q =1
q >1
a1 < 0
a1 > 0
a1 = 0
nie jest monotoniczny
nie jest monotoniczny
stały
niemalejący
nierosnący
stały
rosnący
malejący
stały
stały
stały
stały
malejący
rosnący
stały
d) ZaleŜność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego
JeŜeli a
e)
, b, c są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego , to zachodzi b 2 = a ⋅ c
Suma częściowa ciągu geometrycznego
1− qn
S n = a1 ⋅
dla q ≠ 1
1− q
S n = a1 ⋅ n
dla
q =1
7.4. Procent składany
Procent składany , to sposób oprocentowania kapitału K polegający na tym, Ŝe dochód w postaci
odsetek jest doliczany do kapitału i procentuje wraz z nim w następnym okresie kapitalizacji
n
Po n okresach kapitalizacji kapitał początkowy
p 

K 0 wzrośnie do kwoty K = K 0 ⋅ 1 +
 ,
 100 
gdzie p – stopa procentowa w okresie kapitalizacji.