Wirowość planetarna i względna oraz wirowość

Wydział Fizyki
Uniwersytet Warszawski
Julita Biszczuk
Nr albumu:178930
Wirowość planetarna i względna oraz wirowość
potencjalna w przepływach atmosferycznych w skali
synoptycznej
Praca licencjacka wykonana
w Zakładzie Fizyki Atmosfery
pod kierunkiem
dr hab. Szymona Malinowskiego
1
Warszawa 2002
2
1. STRESZCZENIE. ................................................................................................................ 5
2. WSTĘP. ................................................................................................................................. 5
3. METODY OPISU RUCHU. ................................................................................................ 6
4. ANALIZA SKALI ................................................................................................................ 7
5. FUNDAMENTALNE SIŁY RZĄDZĄCE PRZEPŁYWAMI ATMOSFERYCZNYMI.
.................................................................................................................................................... 8
5.1 SIŁA ZWIĄZANA Z GRADIENTEM CIŚNIENIA ........................................................................ 8
5.2 SIŁA GRAWITACJI ............................................................................................................... 9
5.3 SIŁA TARCIA .................................................................................................................... 10
5.4 SIŁA ODŚRODKOWA ......................................................................................................... 13
→
5.5 EFEKTYWNA SIŁA CIĘŻKOŚCI ( g ef ) ................................................................................. 14
5.6 SIŁA CORIOLISA ............................................................................................................... 15
6. STATYCZNA STRUKTURA ATMOSFERY................................................................. 17
6.1 RÓWNANIE HYDROSTATYKI ............................................................................................. 17
6.2 CIŚNIENIE JAKO WSPÓŁRZĘDNA PIONOWA........................................................................ 19
7. PODSTAWOWE ZASADY ZACHOWANIA................................................................. 20
7.1 RÓŻNICZKA ZUPEŁNA ...................................................................................................... 20
7.2 WEKTOROWA FORMA RÓWNANIA RUCHU WE WSPÓŁRZĘDNYCH WIRUJĄCYCH ................ 22
7.3 SKŁADOWE RÓWNANIA RUCHU WE WSPÓŁRZĘDNYCH SFERYCZNYCH .............................. 23
7.4 ANALIZA SKALI RÓWNAŃ RUCHU ..................................................................................... 26
7.4.1 Przybliżenie geostroficzne ........................................................................................ 29
7.4.2 Przybliżone równanie prognostyczne, liczba Rossby’ego ........................................ 31
7.4.3 Przybliżenie hydrostatyczne ..................................................................................... 31
7.5 RÓWNANIE CIĄGŁOŚCI ..................................................................................................... 33
7.6 RÓWNANIE ENERGII TERMODYNAMICZNEJ ....................................................................... 35
8. WIROWOŚĆ ...................................................................................................................... 38
8.1 WIROWOŚĆ ABSOLUTNA (CAŁKOWITA), WZGLĘDNA I PLANETARNA ................................ 38
8.2 ZWIĄZEK MIĘDZY WIROWOŚCIĄ I CYRKULACJĄ ............................................................... 40
3
8.3 WIROWOŚĆ POTENCJALNA ............................................................................................... 41
9. ZAKOŃCZENIE................................................................................................................ 44
BIBLIOGRAFIA:................................................................................................................... 45
4
1. Streszczenie.
Celem tej pracy jest przedstawienie niektórych zagadnień z dynamiki atmosfery.
Opisane tu zostały podstawowe siły rządzące ruchami powietrza, czyli siła związana z
gradientem ciśnienia, siła grawitacji, tarcia, odśrodkowa, efektywna siła ciężkości i siła
Coriolisa. Omówiono także podstawowe równania stosowane w meteorologii, które opisują
własności przepływów atmosferycznych, a mianowicie równanie ruchu, równanie ciągłości i
równanie energii termodynamicznej oraz najczęściej stosowane przybliżenia otrzymane na
podstawie tych równań:, przybliżenie geostroficzne, przybliżone równanie prognostyczne,
przybliżenie hydrostatyczne. Oprócz tego omówiono podstawy alternatywnego opisu
przepływów atmosferycznych w języku wirowości.
2. Wstęp.
Badaniem przepływów w atmosferze oraz ich związków z pogodą i klimatem zajmuje
się meteorologia dynamiczna. Zakres skal tych przepływów sięga od bezładnych ruchów
właściwych cząsteczkom, aż do cyrkulacji globalnej, obejmującą całą atmosferę. Przepływy
atmosferyczne, tak jak ruchy jakichkolwiek obiektów w fizyce klasycznej, podporządkowane
są zasadom dynamiki Newtona. Do zrozumienia zawiłych własności przepływów
atmosferycznych niezbędna jest wiedza na temat natury sił oddziałujących na cząstkę
powietrza.
Podstawowe prawa rządzące ruchami atmosfery spełniają zasadę zgodności
wymiarów. Znaczy to, iż wszystkie składniki w równaniach wyrażające te prawa musza mieć
takie same wymiary fizyczne. Wymiary te mogą być wielokrotnością bądź stosunkiem
czterech, wymiarowo niezależnych własności: długości, czasu, masy i temperatury
5
termodynamicznej. By mierzyć i porównywać skale składników praw ruchu, musi zostać dla
tych czterech fundamentalnych własności zdefiniowany zestaw jednostek miary. Zatem
będziemy korzystać z międzynarodowego układu jednostek (SI), gdzie długość wyrażana jest
w metrach [m], masa w kilogramach [kg], czas w sekundach [s], temperatura w Kelwinach
[K].
3. Metody opisu ruchu.
Do opisu ruchu powietrza można używać dwóch sposobów. Jeden z nich zwany jest
opisem metodą Eulera, drugi zaś metodą Lagrange’a.
Metoda Eulera polega na określeniu właściwości powietrza jako funkcji położenia w
→
przestrzeni ( r ) i czasu (t). Podstawową wielkością charakteryzującą ruch powietrza jest
→
→
→
prędkość V , która zależy od położenia i czasu: V ( r , t ). Opis tą metodą można uznać za
obraz przestrzennego rozkładu prędkości powietrza w każdej chwili podczas jego ruchu.
Oczywiście jeśli skupimy uwagę na określonym elemencie objętości, to powietrze, które
wypełnia ten element, będzie się nieustannie zmieniało.
Metoda Lagrange’a traktuje powietrze jako zbiór małych cząstek. Prędkość każdej
cząstki jest funkcją czasu. Metoda ta opisuje historię ruchu każdej cząstki powietrza w
atmosferze. Niestety, nie da się nią w prosty sposób wyznaczyć przestrzennych gradientów
prędkości, niezbędnych do określenia oddziaływań między cząstkami, natomiast stosunkowo
łatwo jest śledzić ruch każdej cząstki.
Przy rozpatrywaniu przepływów atmosferycznych molekularną naturę powietrza
można zignorować i rozpatrywać atmosferę jako ciągły płynny ośrodek czyli continuum
materialne. Za „punkt” w continuum uważa się część składową objętości, która jest bardzo
mała w porównaniu z objętością atmosfery, ale jednocześnie zawiera dużą liczbę cząsteczek.
Wyrażenia objętość próbna powietrza, cząstka powietrza czy pakiet są zwykle używane w
odniesieniu do takiego punktu. Zakłada się, że różnorodne wielkości fizyczne opisujące stan
atmosfery (np. ciśnienie, gęstość, temperatura) mają określone wartości w każdym punkcie
continuum atmosferycznego. Ponadto zakłada się, iż parametry te i ich pochodne są ciągłymi
funkcjami przestrzeni i czasu. Fundamentalne prawa mechaniki płynów i termodynamiki,
rządzące ruchami atmosfery mogą więc być wyrażone za pomocą równań różniczkowych
6
cząstkowych, w których parametry pola pełnić będą funkcję zmiennych zależnych, a
przestrzeń i czas zmiennych niezależnych.
4. Analiza skali
Analiza skali, lub skalowanie, jest wygodną techniką szacowania wielkości wyrażeń w
równaniach opisujących określone typy ruchu. W skalowaniu określone są charakterystyczna
długość, głębokość i skale czasu, w których zachodzą przepływy które chcemy opisać oraz
charakterystyczne zakresy zmienności pól (temperatury, ciśnienia, prędkości i.t.p.)
obserwowane w tych skalach. Te typowe wartości są następnie użyte do porównania
wielkości różnych wyrażeń w równaniach ruchu . Charakter przepływów atmosferycznych
silnie zależy od skali poziomej, skala ta stanowi wygodne narzędzie klasyfikacji układów.
Typy przepływów
Skala pozioma (m)
Cząsteczkowa średnia droga swobodna
10 − 7
Przepływy bezwirowe
10 − 3
Najmniejsze wiry turbulencyjne
10 − 2 -10 − 1
Małe wiry
10 − 1 -1
Zawirowania unoszące kurz czy piasek
1-10
Podmuchy wiatru
10-10 2
Tornada
10 2
Chmury cumulonimbus
10 3
Fronty, linie szkwałowe
10 4
Huragany
10 5 -10 6
Niże i wyże
10 6
Cyrkulacja globalna
10 7
W wyżej podanej tabeli przykłady różnorakich przepływów są sklasyfikowane według ich rozmiarów
horyzontalnych w zakresie skal od 10
−7
do 10
7
m.
7
5. Fundamentalne siły rządzące przepływami atmosferycznymi.
Siły wpływające na przepływy atmosferyczne mogą być sklasyfikowane jako siły
masowe bądź siły powierzchniowe. Siły masowe działają na środek masy pakietu cieczy;
mają one wielkości proporcjonalne do masy pakietu. Przykładem siły masowej jest
grawitacja. Siły powierzchniowe działają wzdłuż powierzchni granicznej oddzielającej pakiet
cieczy od jego otoczenia; ich wielkości nie są zależne od masy pakietu. Za przykład może
posłużyć gradient ciśnienia.
Druga zasada dynamiki Newtona mówi, że tempo (pochodna po czasie) zmiany pędu
danego obiektu mierzone w absolutnym układzie współrzędnych, równe jest sumie
wszystkich działających sił. Dla przepływów atmosferycznych istotnych dla meteorologii
najważniejszymi siłami są: gradient ciśnienia, siła grawitacji oraz tarcia. Gdy ruch opisujemy
w układzie odniesienia obracającym się wraz z Ziemią druga zasada dynamiki Newtona może
być w dalszym ciągu stosowalna z zastrzeżeniem, że uwzględnia się siły bezwładności: siłę
odśrodkowa i siłę Coriolisa.
5.1 Siła związana z gradientem ciśnienia
Ciśnienie wywierane na powierzchnię cząstki powietrza zdefiniowane jest jako
składowa normalna siły wywieranej przez jej otoczenie, przypadająca na jednostkę pola
powierzchni. Ta siła skierowana jest zawsze do wnętrza cząstki, co ilustruje poniższy
rysunek:
8
Cząstka dozna oddziaływania siły wypadkowej tylko wówczas, gdy ciśnienia na jej
przeciwległych powierzchniach nie będą równe. Tę siłę nazywa się siłą gradientu ciśnienia.
Całkowity gradient ciśnienia na jednostkę masy wyraża się wzorem:
→
F
=
m
1→
∇ p,
ρ
gdzie: ρ - gęstość powietrza, p – pole ciśnienia w atmosferze. Siła ta jest proporcjonalna do
gradientu ciśnienia, a nie samego ciśnienia.
5.2 Siła grawitacji
Newtonowskie prawo powszechnego ciążenia mówi, że każde dwa ciała masywne we
wszechświecie przyciągają się wzajemnie siłą wprost proporcjonalną do ich mas i odwrotnie
proporcjonalną do kwadratu odległości między nimi. Dlatego, jeżeli dwa ciała M i m są
→
→
oddalone od siebie o r ≡ r (gdzie wektor r skierowany jest ku m), to siła wywierana przez
masę M na masę m z powodu grawitacji opisana jest zależnością:
→
Fg =
→
GMm  r 
,
r 2  r 
 
gdzie G jest stałą uniwersalną zwaną stałą grawitacyjną. Prawo grawitacji wyrażone
powyższym wzorem ma właściwie zastosowanie jedynie do hipotetycznych mas
→
„punktowych”, ponieważ w przypadku rzeczywistych obiektów o skończonych rozmiarach r
będzie wahać się między jedną a drugą częścią obiektu. Mimo to dla ciał skończonych podany
→
wzór może w dalszym ciągu mieć zastosowanie, jeżeli r zostanie zinterpretowane, jako
odległość pomiędzy środkami mas ciał. Dlatego, jeżeli masę Ziemi oznaczymy przez M, a m
będzie infinitezymalnym elementem masy atmosfery, wtedy siła wywierana na jednostkę
masy atmosfery przez przyciąganie grawitacyjne Ziemi będzie:
→
Fg
m
→
GM  r 
.
r 2  r 
 
→
∗
≡g =
9
W meteorologii dynamicznej zwykło się używać jako współrzędnej pionowej wysokości nad
poziomem morza. Średni promień Ziemi jest oznaczony przez a, a odległość nad średnim
poziomem morza przez z, wtedy zaniedbując niewielkie odchylenie kształtu Ziemi od
kulistości, r = a + z. Zatem dany wzór możemy zapisać jako:
→
g 0∗
g =
(1 + z a )2
→
∗
→
gdzie g 0∗ =
(GM a ) r r 
→
2


,
jest wartością siły grawitacyjnej na średnim poziomie morza.
Dla zastosowań meteorologicznych z << a , więc z pomijalnym błędem można założyć
→
→
g ∗ = g 0∗ i traktować siłę grawitacyjną jako stałą.
5.3 Siła tarcia
Między atmosferą i powierzchnia Ziemi występuje znaczna siła tarcia. Wiadomym
jest, że na przykład podłoże wywiera hamujący wpływ na najniższe warstwy poruszającego
się nad nim powietrza. Nieregularności powierzchni Ziemi czasami uwydatniają to wyraźniej:
wiemy, że wysokie drzewa osłabiają wiatry i zmniejszają ich niszczycielski wpływ na
uprawy. Siła tarcia może występować również między cząsteczką powietrza i jej otoczeniem.
Każda
rzeczywista
ciecz
podlega
wewnętrznemu
tarciu
(lepkości),
które
przeciwstawia się skłonności do przepływu. Wyczerpujące omówienie działania siły lepkości
byłoby raczej skomplikowane, ale podstawowe pojęcie fizyczne można zilustrować przez
prosty eksperyment. Warstwa nieściśliwej cieczy jest zawarta pomiędzy dwiema poziomymi
płytkami, które dzieli odległość l . Niższa płytka jest nieruchoma, a wyższa jest wprawiona w
ruch w kierunku x z prędkością u0 . Lepkość zmusza cząsteczki cieczy w warstwie stykającej
się z płytką do ruchu z prędkością tej płytki. Dlatego dla z = l ciecz porusza się z prędkością
u (l ) = u0 , a dla z = 0 ciecz nie porusza się. Siła styczna do górnej płytki utrzymująca ją w
jednostajnym ruchu okazuje się być proporcjonalna do powierzchni płytki A, jej prędkości
oraz odwrotności odległości l dzielącej płytki. Dlatego można zapisać że F = µAu0 l , gdzie
µ jest współczynnikiem proporcjonalności. Siła ta musi dokładnie równać się sile
wywieranej przez górną płytkę na ciecz znajdującą się bezpośrednio pod nią. W przypadku
10
ruchu jednostajnego poszczególna pozioma warstwa cieczy o głębokości δz musi wywierać
tą samą siłę F na warstwę cieczy leżącą poniżej. Może to być wyrażone w formie
F = µAδu δz , gdzie δu = uoδz l jest prędkością przepływu wzdłuż warstwy δz . Siła
lepkości na jednostkę powierzchni albo naprężenie styczne może być zdefiniowane jako:
τ zx = lim µ
δz → 0
δu
∂u
=µ
,
δz
∂z
gdzie indeks dolny oznacza, że τ zx jest składnikiem naprężenia stycznego w kierunku x
będącym rezultatem pionowego ślizgu składowej x prędkości.
Z cząsteczkowego punktu widzenia to naprężenie styczne jest rezultatem przenoszenia
ku dołowi pędu poprzez przypadkowy ruch cząsteczek. Ponieważ średni pęd składowej x
wzrasta z wysokością, cząsteczki przechodzące w dół przez płaszczyznę poziomą w każdej
danej chwili niosą większy pęd niż te przenoszące się ku górze przez płaszczyznę. Istnieje
zatem transport pędu x . To przenoszenie pędu ku dołowi na jednostkę czasu, na jednostkę
powierzchni jest po prostu naprężeniem stycznym.
W podobny sposób losowe ruchy cząsteczkowe będą przenosić ciepło przeciwnie do
gradientu średniej temperatury i unosić pasywną domieszkę do płynu przeciwnie do gradientu
jej koncentracji. W tych przypadkach transport nazywa się dyfuzją molekularną. Dyfuzja
molekularna działa zawsze by zredukować nieregularności w polu ulegającemu dyfuzji.
Siłę tarcia możemy również obliczać rozpatrując różniczkę elementu objętości płynu o
bokach δxδyδz , co przedstawia poniższy rysunek.
11
Jeśli naprężenie styczne działające w kierunku x bezpośrednio w centrum tego
elementu oznaczymy przez τ zx , wtedy naprężenie działające wzdłuż górnej granicy na
poniższą ciecz może być w przybliżeniu zapisane jako:
τ zx +
∂τ zx δz
,
∂z 2
podczas gdy naprężenie działające wzdłuż dolnej granicy na powyższą ciecz wynosi:

τ zx

∂τ zx δz 
.
∂z 2 
Wypadkowa siła tarcia działająca w kierunku x na element objętości jest sumą tych dwóch
naprężeń, czyli równa się:
∂τ δz 

τ zx + zx δyδx
∂z 2 


τ zx

∂τ zx δz 
δyδx .
∂z 2 
Stąd możemy zauważyć, że siła tarcia na jednostkę masy spowodowana pionowym
gradientem x - owej składowej prędkości ma postać:
1 ∂τ zx 1 ∂  ∂u 
=
 µ .
ρ ∂z
ρ ∂z  ∂z 
(dla przypomnienia δxδyδz = δV i
δV
1
M
= )
=ρ →
M
ρ
δV
Dla µ = const powyższy wzór daje się zapisać w postaci:
∂ 2u
1 ∂τ zx
=ν 2 ,
ρ ∂z
∂z
gdzie ν = µ ρ jest kinematycznym współczynnikiem lepkości. Dla atmosfery standardowej
na poziomie morza ν = 1.46 × 10 −5 m 2 s −1 .
Analogicznie można wyprowadzić siłę tarcia działającą we wszystkich kierunkach. W
rezultacie składowe siły tarcia na jednostkę masy w trzech współrzędnych kartezjańskich
przedstawiają się jako:
 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 
Frx = ν  2 + 2 + 2 
∂y
∂z 
 ∂x
 ∂ 2υ ∂ 2υ ∂ 2υ 
Fry = ν  2 + 2 + 2 
∂y
∂z 
 ∂x
 ∂2w ∂2w ∂2w 
Frz = ν  2 + 2 + 2 
∂y
∂z 
 ∂x
12
Dla atmosfery poniżej 100 km współczynnik lepkości ν jest tak mały, że lepkość
molekularna jest zaniedbywalna, z wyjątkiem cienkiej, kilkucentymetrowej warstwy tuż przy
powierzchni Ziemi. Powyżej tarcie spowodowane jest głównie ruchami wirowymi i
konwekcją. Dla ruchów turbulencyjnych w małej skali wprowadza się tzw. wirowy
(turbulencyjny) współczynnik lepkości.
5.4 Siła odśrodkowa
Do przedstawienia siły odśrodkowej możemy posłużyć się następującym przykładem.
Mamy kulkę o masie m , która jest zamocowana na sznurze i wiruje po okręgu o promieniu r
ze stałą prędkością kątową ω . Rozpatrujemy ruch kulki z punktu widzenia obserwatora w
układzie inercjalnym. Do obliczenia przyspieszenia musimy uwzględnić zmianę prędkości
→
δ V , występującą w przedziale czasu δt podczas, którego kulka obraca się o kąt δθ . Odtąd
→
→
→
→
δθ jest także kątem pomiędzy wektorami V i V + δ V , a wielkość δ V jest po prostu
→
→
→
δ V = V δθ . Jeśli wykonamy dzielenie przez δt i zauważymy, że w granicy δt → 0 , δ V
jest skierowany ku osi obrotu, otrzymamy:
→
→

→ dθ 
dV
 r
=V
,
dt
dt  r 


→
ale V = ωr i dθ dt = ω , więc:
→
→
dV
= ω2 r .
dt
Jak widzimy to przyspieszenie skierowane ku osi obrotu jest równe co do kwadratu prędkości
kątowej i odległości od osi obrotu. Jest ono nazywane przyśpieszeniem odśrodkowym i jest
wywołane siłą naprężenia sznura.
Teraz zakładamy, że obserwujemy ruch w układzie współrzędnych obracającym się
wraz z kulką. W tym układzie kulka jest nieruchoma, ale poza tym miejscem jest jeszcze siła
działająca na kulkę, mianowicie naprężenie sznura. Dlatego do formalnego zastosowanie
drugiej zasady dynamiki Newtona do opisywania ruchu względem tego obracającego się
13
układu współrzędnych, musimy włączyć dodatkową siłę bezwładności, siłę odśrodkową,
która właśnie równoważy siłę naprężenia sznura.
→
5.5 Efektywna siła ciężkości ( g ef )
Cząstka o jednostkowej masie, spoczywająca na powierzchni Ziemi, obserwowana w
→
układzie obracającym się z Ziemią, jest obiektem działania siły odśrodkowej Ω 2 R , gdzie Ω
→
jest prędkością kątową Ziemi ( Ω = 7.292 × 10 −5 rad s-1) i R odległością cząstki od osi obrotu.
Ciężar cząstki o masie m spoczywającej na powierzchni Ziemi, , jest wtedy mniejszy
→
niż siła ciężkości m g ∗ , ponieważ siła odśrodkowa częściowo równoważy siłę grawitacyjną.
Dlatego wygodnie jest łączyć oddziaływanie siły ciężkości i odśrodkowej wprowadzając
→
efektywną (odczuwalną) siłę ciężkości (ang. gravity) g ef :
→
→
→
g ef ≡ g ∗ + Ω 2 R .
Siła grawitacyjna jest skierowana w kierunku środka Ziemi, podczas gdy siłą
odśrodkowa jest skierowana na zewnątrz od osi obrotu. Dlatego, poza biegunami i równikiem,
efektywna siła ciężkości nie jest skierowana do środka Ziemi. Jeśli Ziemia byłaby idealną
→
kulą, g ef miałaby równikową składową, równoległą do jej powierzchni. Ziemia jako elipsoida
→
obrotowa z równikową wypukłością, ma g ef wszędzie skierowane normalnie do poziomu
powierzchni. W konsekwencji, równikowy promień Ziemi jest o 21 km dłuższy niż promień
→
biegunowy. W dodatku miejscowy pion, który jest brany równolegle do g ef , nie przechodzi
przez środek Ziemi, poza równikiem i biegunami.
Efektywna siła ciężkości może być reprezentowana przez gradient potencjalnej funkcji
Φ zwanej geopotencjałem.
→
∇Φ =
14
→
g ef .
→
Ponieważ g ef =
→
→
g k , gdzie g ≡ g ef , jasnym jest, że Φ = Φ ( z ) i dΦ dz = g . Jeśli wartość
geopotencjału jest zero na średnim poziomie morza, geopotencjał Φ ( z ) na wysokości z jest
pracą wymaganą do podniesienia jednostki masy na wysokość z z średniego poziomu morza:
Φ=
z
∫ gdz .
o
5.6 Siła Coriolisa
Druga zasada dynamiki może być zastosowana we współrzędnych obracających się do
opisania przedmiotu spoczywającego względem obracającego się układu pod warunkiem, że
uwzględnia się oddziaływanie siły odśrodkowej. Jeśli natomiast przedmiot porusza się
względem tego układu, musimy uwzględnić dodatkową siłę bezwładności, siłę Coriolisa.
Zakładamy, że przedmiot porusza się ruchem jednostajnym względem układu
inercjalnego. Jeśli obserwujemy przedmiot z układu wirującego, droga jaką on wykonał
okazuje się być krzywą. Wynika z tego, że na przedmiot działa siła odchylająca go z drogi
prostoliniowej. W rezultacie droga jest krzywą odchyloną w kierunku przeciwnym do
kierunku obrotu układu współrzędnych, a siłą to powodującą jest siła Coriolisa.
Opis matematyczny siły Coriolisa można otrzymać rozpatrując ruch cząstki o
jednostkowej masie, tzn.
ruch swobodny na beztarciowej poziomej powierzchni na
obracającej się Ziemi. Jeśli cząstka jest początkowo w stanie spoczynku względem Ziemi, to
działają na nią tylko siły grawitacji i odśrodkowa. Załóżmy teraz, że cząstka jest w ruchu w
kierunku wschodnim. W efekcie cząstka wiruje teraz szybciej niż Ziemia i siła odśrodkowa
→
działająca na nią wzrasta. Gdy przez Ω oznaczymy prędkość kątową Ziemi, wektor R
położenie cząstki od osi obrotu i u wschodnią składową prędkości cząstki względem podłoża,
to całkowita siła odśrodkowa będzie wyrażała się wzorem:
→
2
→
→
u →
2Ωu R u 2 R

2
+ 2 .
 Ω +  R = Ω R+
R
R
R

Pierwszy człon z prawej strony jest właśnie siłą odśrodkową należącą do obracającej się
Ziemi. Pozostałe dwa człony reprezentują siły odchylające, które działają na zewnątrz wzdłuż
→
wektora R (to jest, prostopadle do osi obrotu). Dla synoptycznej skali ruchów u << ΩR i
15
→
ostatni człon może być zaniedbany w pierwszym przybliżeniu. Człon 2Ωu ( R R ) jest siłą
Coriolisa związaną z ruchem wzdłuż równoleżnika. Siłę tą możemy rozłożyć na składowe w
kierunkach równoleżnikowym i południkowym. Ruch względny w kierunku wschód-zachód
wywołuje przyśpieszenie w kierunku północ-południe:
 dυ 

 =
 dt Co
2Ωu sin φ
i przyspieszenie w pionie:
 dw 

 = 2Ωu cos φ ,
 dt Co
gdzie u,υ , w oznaczają odpowiednio wschodnią, północną i skierowaną ku górze składową
prędkości, φ jest szerokością geograficzną, a indeks Co wskazuje, że jest to przyspieszenie
będące skutkiem działania siły Coriolisa. Cząstka poruszająca się na wschód w płaszczyźnie
poziomej na półkuli północnej jest odchylona przez siłę Coriolisa na południe, podczas gdy
cząstka poruszająca się ku zachodowi jest odchylona na północ. Widzimy więc, że w obu
przypadkach odchylenie działa w prawo od kierunku ruchu. Pionowa składowa siły Coriolisa
jest dużo mniejsza niż siła grawitacji i dlatego ma ona bardzo mały wpływ na zmianę ruchu.
Załóżmy teraz, że cząstka zostaje wprawiona w ruch wzdłuż równika. W tym
przypadku wzrasta odległość do osi obrotu R , zmiana tej odległości wynosi δR dla
południkowego przesunięcia z szerokości geograficznej φ 0 do szerokości φ 0 + δφ .
δu 

2
ΩR 2 =  Ω +
( R + δR ) ,
R + δR 

gdzie δu jest wschodnią składową prędkości względnej kiedy na szerokości φ0 + δφ .
Rozpisując prawą stronę, zaniedbując różniczkę drugiego rzędu i rozwijając dla δu
otrzymujemy:
δu =
gdzie zastosowaliśmy δR =
2ΩδR = +2Ωaδφ sin φ0 ,
aδφ sinφ0 ( a jest promieniem Ziemi).
Dzieląc przez przyrost czasu δt i biorąc granicę δt → 0 , otrzymamy:
dφ
 du 
sin φ0 = 2Ωυ sin φ ,
  = 2Ωa
dt
 dt Co
gdzie υ = a dφ dt jest północną składową prędkości.
16
Podobnie można pokazać, że jeśli cząstka poruszająca się w ruchu pionowym na
szerokości φ0 , doznaje przyspieszenia w kierunku wschód-zachód równego
2Ωw cos φo ,
gdzie w jest prędkością pionową. W ten sposób w ogólnym przypadku zawierającym oba
ruchy względne: poziomy i pionowy, mamy:
 du 
  = 2Ωυ sin φ 2Ωw cos φ .
 dt Co
6. Statyczna struktura atmosfery
Stan termodynamiczny atmosfery w danym punkcie jest określony przez wartość
ciśnienia, temperatury i gęstości (albo objętości właściwej) powietrza w tym punkcie. Te
zmienne pola są powiązane ze sobą przez równanie stanu dla gazu doskonałego.
Wprowadzając oznaczenia p , T , ρ i α na ciśnienie, temperaturę, gęstość i objętość
właściwą, możemy zapisać równanie stanu dla suchego powietrza w postaci:
pα = RT albo p = ρRT ,
gdzie R jest stałą gazową dla suchego powietrza ( R = 287 J kg-1 K-1).
6.1 Równanie hydrostatyki
Przy braku przepływów atmosferycznych efektywna siła ciężkości musi być dokładnie
równoważona przez pionową składową siły gradientu ciśnienia.
dp
=
dz
ρg .
Ten warunek równowagi hydrostatycznej w rzeczywistej atmosferze jest spełniony z bardzo
dobrą dokładnością. Tylko dla niektórych układów w małej skali, takich jak linie szkwałowe i
tornada występują istotne odchylenia od równowagi hydrostatycznej. Całkując powyższe
równanie od wysokości z do nieskończoności, otrzymujemy:
p(z ) =
∫
∞
z
ρgdz ,
stąd ciśnienie hydrostatyczne, w danym punkcie w atmosferze definiuje się jako ciężar
całkowity słupa powietrza o jednostkowej powierzchni podstawy zalegającego nad tym
17
punktem. W ten sposób ciśnienie na średnim poziomie morza
( 1013.25 mb)
jest
po
prostu
proporcjonalne
do
średniej
p (0 ) = 1013.25 hPa
masy
słupa
powietrza
atmosferycznego.
Biorąc dΦ = gdz i α = RT p , możemy wyrazić równanie hydrostatyki w formie:
dΦ =
(RT p )dp =
RTd ln p .
Stąd zmiana geopotencjału przy stałym ciśnieniu zależy tylko od temperatury. Całkując
powyższe równanie w pionie dostajemy równanie hipsometryczne:
Φ ( z2 ) Φ ( z1 ) = R ∫ Td ln p .
p1
p2
Meteorolodzy wolą zastąpić Φ ( z ) przez wielkość zwaną wysokością geopotencjalną,
→
określoną przez Z ≡ Φ( z ) g 0 , gdzie g 0 = 9.80665 ms-2 jest g ef na z = 0 i szerokości
geograficznej 45o. Stąd w troposferze i dolnej stratosferze Z jest liczbowo prawie identyczne
z wysokością geometryczną z . W zmiennej Z równanie hipsometryczne przybiera postać:
ZT ≡ Z 2 Z1 =
R
go
∫
p1
p2
Td ln p ,
gdzie ZT jest grubością warstwy atmosferycznej między powierzchniami ciśnienia p2 i p1 .
Definiując średnią temperaturę:
T =
p1
∫p2 Td ln p ∫p2 d ln p 
p1
−1
i średnią skalę wysokości H ≡ R T g 0 , mamy:
p 
ZT = H ln 1  .
 p2 
Stąd grubość warstwy pomiędzy powierzchniami izobarycznymi jest proporcjonalna do
średniej temperatury warstwy. Ciśnienie maleje szybciej z wysokością w warstwie chłodu niż
ciepła. Z powyższego równania widać, że w izotermicznej atmosferze o temperaturze T ,
wysokość geopotencjalna jest proporcjonalna do ln( p p 0 ) , gdzie p 0 jest ciśnieniem na
z = 0.
Z=
 p
H ln 
 p0 
i stąd:
p ( z ) = p (0 )e − Z H .
18
6.2 Ciśnienie jako współrzędna pionowa
Z równania hydrostatyki dp dz =
ρg , widać, że istnieje jednowartościowa
monotoniczna zależność pomiędzy ciśnieniem i wysokością w każdej pionowej kolumnie
atmosfery. Stąd możemy używać ciśnienia jako niezależnej współrzędnej pionowej i
wysokości (albo geopotencjału) jako zmiennej zależnej. Stan termodynamiczny atmosfery jest
ściśle określony przez pola Φ(x, y, p, t ) i T ( x, y, p, t ) .
Rozpatrując tylko płaszczyznę x, z (powyższy rysunek), mamy:

 ( p0 + δp )

δx





p0 
 ( p0 + δp ) p0   δz 
 =
   ,
δz


  δx  p



z
x
gdzie indeksy wskazują zmienne, które pozostają stałe w oszacowaniu różniczkowym. Stąd,
dla przykładu, w granicy δz → 0 :


 ( p0 + δp ) p0 
 ∂p 

 → 
 ,
δz


 ∂z  x


x
gdzie znak minus występuje ponieważ, δz > 0 dla δp < 0 .
Biorąc granice δx, δz → 0 dostajemy:
19
 ∂p 
 ∂p   ∂z 
  =     .
 ∂x  z
 ∂z  x  ∂x  p
Podstawiając z równania hydrostatyki, dostajemy:
1  ∂p 
  =
ρ  ∂x  z
 ∂z 
 ∂Φ 
g  = 
 ,
 ∂x  p
 ∂x  p
analogicznie:
 ∂Φ 
1  ∂p 
  = 
 .
ρ  ∂y  z
∂
y

p
Gęstość nie pojawia się explicite w sile gradientu ciśnienia, co jest wielką zaletą
izobarycznego układu jednostek.
7. Podstawowe zasady zachowania
7.1 Różniczka zupełna
Pole prędkości w opisie eulerowskim określa się jako funkcję położenia i czasu.
Przyśpieszenie cząstki w danym punkcie w chwili t składa się z dwóch wyraźnie różnych
składników. Pierwszy składnik jest skutkiem tempa, z jakim prędkość płynu zmienia się w
danym punkcie i nazywany jest pochodną lokalną. Drugi składnik jest skutkiem ruchu samej
cząstki.
Wyprowadzenie związku między pochodną lokalną i zupełną przedstawimy dla
temperatury T. Dla cząstki powietrza położenie (x, y, z ) jest funkcją czasu, tak że: x = x(t ) ,
y = y (t ) , z = z (t ) . Wielkość T może być rozpatrywana jako tylko funkcja czasu i jej
szybkość zmian jest właśnie pochodną zupełną dT dt . Chcąc związać pochodną zupełną z
lokalną rozważmy zmianę temperatury w balonie, który porusza się z wiatrem. Zakładamy, że
temperatura wynosi T0 w punkcie x0 , y0 , z0 i czasie t0 . Jeśli balon przemieści się do punktu
x0 + δx, y0 + δy, z0 + δz w przyroście czasu δt , wtedy zmiana temperatury w balonie wyniesie
δT i może być wyrażona po rozłożeniu w szereg Taylora jako:
 ∂T 
 ∂T 
 ∂T 
 ∂T 
δy + 
δT = 
δt + 
δx + 
δz + (wyrazy wyższego rzędu).
 ∂t 
 ∂x 
 ∂z 
 ∂y 
Jeśli:
20
δT
dT
= lim
,
dt δt → 0 δt
to można zapisać, że:
dT ∂T  ∂T  dx  ∂T  dy  ∂T  dz
 +
=
+
 +
 .
∂t  ∂x  dt  ∂y  dt  ∂z  dt
dt
Gdy:
dx
dy
dz
≡u,
≡ v,
≡ w,
dt
dt
dt
wtedy u , v , w są składowymi prędkości w kierunkach x , y , z i :
dT ∂T  ∂T
∂T
∂T 
+v
+ w  ,
=
+  u
∂t  ∂x
∂y
∂z 
dt
lub w notacji wektorowej:
∂T dT → →
=
U ⋅ ∇T ,
∂t
dt
→
→
→
→
gdzie U = i u + jv + k w jest wektorem prędkości. Wyraz
→ →
U ⋅ ∇ T zwany jest członem
adwekcyjnym.
Jeśli mamy wektor w układzie obracającym się, to:
→
→
→
→
A = i Ax + j Ay + k Az
→
w układzie nie rotującym. W układzie rotującym z prędkością kątową Ω :
→
→
→
→
A = i ' Ax' + j ' Ay' + k Az' .
→
→
Przez d a A dt oznaczmy pochodną substancjalną (zupełną) A w układzie inercjalnym:
→
→
 →'

'
' 
'
→
→ dA'
→

da A
dA
dA
dA
dA
d i ' d j ' d k' ' 
y
= i x+ j
+ k z = i' x + j '
+ k' z  + 
Ax +
Ay +
Az .

dt
dt
dt
dt
dt
dt   dt
dt
dt
 dt


→
→
→
dAy
→
W układzie nieinercjalnym zdefiniujmy:
→
'
d A → dAx' → dAy → dAz'
≡ i'
+ j'
+ k'
.
dt
dt
dt
dt
Poza tym:
→
→
→
d i ' → →, d j ' → →' d k ' → →'
= Ω ×i ,
=Ω× j i
= Ω ×k ,
dt
dt
dt
21
więc:
→
→
da A d A → →
=
+Ω × A.
dt
dt
7.2 Wektorowa forma równania ruchu we współrzędnych wirujących
W układzie inercjalnym druga zasada dynamiki Newtona może być symbolicznie
zapisana jako:
→
→
da U a
= ∑F .
dt
Lewa strona przedstawia szybkość zmiany prędkości absolutnej w układzie inercjalnym.
Prawa strona przedstawia sumę rzeczywistych sił działających na jednostkę masy.
Przekształcenie tego wyrażenia do współrzędnych wirujących wymaga znalezienia związku
→
→
między U a i prędkością względną w układzie wirującym, którą oznaczymy przez U . Ten
→
→
→
→
związek uzyskamy przez zastosowanie równania d a A dt = d A dt + Ω × A do wektora
→
położenia r dla cząstki powietrza na obracającej się Ziemi:
→
→
da r d r → →
=
+Ω×r .
dt
dt
→
→
→
→
Ale d a r dt ≡ U a i d r dt ≡ U , dlatego powyższe równanie możemy zapisać jako:
→
→
→
→
Ua = U + Ω × r ,
które przedstawia prędkość absolutną przedmiotu na obracającej się Ziemi jako sumę
prędkości względnej i prędkości wirującej Ziemi.
→
→
→
→
→
Teraz zastosujmy równanie d a A dt = d A dt + Ω × A do wektora prędkości U a ,
otrzymamy:
→
→
da U a d U a → →
=
+ Ω ×Ua .
dt
dt
→
→
→
→
Podstawiając do powyższego wyrażenia prawa stronę z równania U a = U + Ω × r ,
otrzymujemy:
22
→
→
→
→
→
da U a
d  → → → →  → → → dU
= U + Ω × r  + Ω × U + Ω × r  =
+ 2 Ω × U Ω2 R ,
dt
dt 
dt



→
→
gdzie Ω jest stałą, a R wektorem prostopadłym do osi obrotu. Równanie to przedstawia
przyśpieszenie w układzie inercjalnym jako sumę szybkości zmian prędkości względnej w
układzie wirującym, przyśpieszenia Coriolisa i przyśpieszenia dośrodkowego .
Jeśli przyjmiemy że jedyne rzeczywiste siły działające na cząstkę powietrza to siła
gradientu ciśnienia, grawitacja i tarcie, możemy przepisać drugą zasadę Newtona z pomocą
powyższego równania jako:
→
dU
=
dt
→
→
1→
∇ p + g ef + Ft ,
ρ
→
→
2Ω ×U
→
gdzie Ft oznacza siłę tarcia. Widać, że przyspieszenie cząstki wywoływane jest przez siłę
→
Coriolisa, siłę gradientu ciśnienia, g ef i tarcie. Ta forma równania ruchu stanowi podstawę
meteorologii dynamicznej.
7.3 Składowe równania ruchu we współrzędnych sferycznych
Rozwińmy teraz wektorową postać równania ruchu na składowe. Odstępstwo od
kulistego kształtu Ziemi jest mało znaczące dla meteorologii, dzięki temu wygodnie jest
rozwinąć to równanie we współrzędnych sferycznych z powierzchnią Ziemi jako
powierzchnią odniesienia. Osiami współrzędnych są wtedy (λ ,φ , z ) , gdzie λ jest długością
geograficzną, φ szerokością geograficzną, a z wysokością nad powierzchnią Ziemi. Jeśli
wektory jednostkowe
→ → →
i , j, k
odpowiadają kierunkom: wschodniemu, północnemu i
pionowemu, to względna prędkość staje się:
→
→
→
→
U = i u + jv+ k w,
gdzie składowe u , v i w są zdefiniowane jako:
u ≡ r cos φ
dλ
dφ
dz
, v≡r
, w≡
.
dt
dt
dt
Tutaj r jest odległością od środka Ziemi, a jest promieniem Ziemi oraz r = a + z . Dalej w
równaniach zmienna r zostanie zastąpiona przez stałą a . Jest to bardzo dobre przybliżenie
gdyż z << a dla obszaru atmosfery, którym zajmuje się meteorologia. Dla uproszczenia
23
definiujemy x i y jako współrzędne wschodnią i północną, tak że dx = a cos φdλ i
dy = adφ , a składowe prędkości u i v zapiszmy w postaci u ≡ dx dt i v ≡ dy dt . Układ
współrzędnych zdefiniowany jako (x, y, z ) nie jest kartezjański, ponieważ kierunki wektorów
→ → →
jednostkowych i , j , k nie są stałe, ale są funkcjami położenia na powierzchni Ziemi. Stąd
przyspieszenie zapisujemy jako:
→
→
→
→
di
d j
dk
d U → du → dv → dw
= i
+ j
+k
+u
+v
+w
.
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
W celu otrzymania składowych równania ruchu konieczne jest najpierw oszacowanie
szybkości zmian wektorów jednostkowych.
→
Na początku rozważmy d i dt . Rozwijając różniczkę zupełną jak w równaniu
→
dT dt = ∂T ∂t + (∂T ∂x ) dx dt + (∂T ∂y ) dy dt + (∂T ∂z ) dz dt i zapisując i jako funkcję x ,
otrzymamy:
→
→
di
∂i
=u
.
dt
∂x
Jednak:
→
δ i
→
1
∂i
lim
=
=
δx → 0 δx
a cos φ
∂x
→
i wektor ∂ i ∂x jest skierowany do osi obrotu. Stąd:
→
→

∂i
1 →
 j sin φ k cos φ 
=
∂x a cos φ 

i dlatego:
→
→

di
u →
 j sin φ k cos φ  .
=
dt
a cos φ 

→
Rozważając teraz d j dt , zapiszemy
→
→
j jako funkcję tylko x i y . Stąd dla
→
wschodniego ruchu δ j = δx (a tanφ ) . Dla wektora ∂ j ∂x skierowanego przeciwnie do
kierunku x , mamy:
24
→
∂j
=
∂x
tan φ →
i.
a
→
→
Natomiast dla ruchu północnego δ j = δφ , ale δy = aδφ i δ j jest skierowany do dołu,
więc:
→
∂j
=
∂y
→
k
.
a
Stąd:
→
u tan φ → v →
i
k.
a
a
d j
=
dt
Podobnie można pokazać, że:
→
d k →u →v
= i + j .
dt
a
a
→
→
→
→
Podstawiając powyższe równania na d i dt , d j dt i d k dt do równania na d U dt
i uporządkowując wyrażenia otrzymamy:
→
d U  du
= 
dt
 dt
Następnie
→
→
uv tan φ uw  →  dv u 2 tan φ uw  →  dw u 2 + v 2  →
 j+ 
k .
i+ +
+
+
a
a   dt
a
a   dt
a 
rozpisujemy
→
→
→
na
składowe
siły
w
równaniu
→
d U dt = 2 Ω× U 1 ρ ∇ p + g ef + Ft . Siłę Coriolisa rozkładamy w następujący sposób:
→
→
→
2 Ω× U =
→
i
j
2Ω 0 cos φ
u
v
→
k
→
→

→
sin φ =  2Ωw cos φ 2Ωv sin φ  i 2Ωu sin φ j + 2Ωu cos φ k .


w
Siła gradientu ciśnienia może być zapisana jako:
→
→
∇p= i
∂p → ∂p → ∂p
+ j
+k
∂z
∂x
∂y
→
a g ef :
→
g ef =
Siłę tarcia przedstawiamy w formie:
25
→
gk,
→
→
→
→
Ft = i Ftx + j Fty + k Ftz .
Ostatecznie otrzymujemy wyrażenia:
du
dt
uv tan φ uw
+
=
a
a
dv u 2 tan φ vw
+
+
=
dt
a
a
dw u 2 + v 2
=
dt
a
1 ∂p
+ 2Ωv sin φ 2Ωw cos φ + Ftx
ρ ∂x
1 ∂p
2Ωu sin φ + Fty
ρ ∂y
1 ∂p
g + 2Ωu cos φ + Ftz ,
ρ ∂z
które są odpowiednio wschodnią, północną i pionową składową równania ruchu.
7.4 Analiza skali równań ruchu
Analiza ta polega na oszacowaniu wielkości poszczególnych składników w
równaniach ruchu. Dzięki temu, dla ruchów obejmujących tylko niektóre skale wszystkich
przepływów atmosferycznych niektóre człony można pominąć.
Rozmiary charakterystyczne przepływów w skali synoptycznej to 2000 km. Są one
mniejsze niż rozmiary ruchów w skali globalnej, jednak wystarczająco duże, aby można je
było wyodrębnić za pomocą konwencjonalnej sieci obserwacji meteorologicznych. Odległości
między stacjami obserwacyjnymi w takiej sieci są rzędu kilkudziesięciu kilometrów.
Przykładami ruchów o skali synoptycznej są antycyklony i cyklony.
Obszar względnie wysokiego ciśnienia atmosferycznego nazywany jest wyżem
atmosferycznym. Ciśnienia wzrasta ku środkowi tego obszaru i największe jest w jego
centrum. Wyż na mapie pogody objęty jest zamkniętymi izobarami. Cyrkulacja powietrza w
wyżu atmosferycznym ma charakter ancykloniczny: na półkuli północnej ma ona kierunek
zgodny z ruchem wskazówek zegara, a na półkuli południowej powietrze przemieszcza się w
kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Antycyklony są charakterystyczne dla
stref zwrotnikowych, a w ich obszarze panuje zazwyczaj pogoda z małym zachmurzeniem.
Na poniższej mapce przedstawiony jest wyż atmosferyczny. Widoczne są izobary o
wartościach ciśnienia rosnących do środka obszaru gdzie przyjmują wartość 1040 hPa.
26
Niżem atmosferycznym nazywany jest obszar względnie niskiego ciśnienia. W tym
układzie ciśnienie maleje ku środkowi i tam ma najniższą wartość. Na mapie pogody niż
również jest objęty zamkniętymi izobarami. Cyrkulacja powietrza w niżu atmosferycznym ma
charakter cykloniczny. Na półkuli północnej odbywa się w kierunku przeciwnym do ruchu
wskazówek zegara, a na południowej odwrotnie. Cyklony charakterystyczne są zwłaszcza dla
umiarkowanych i wysokich szerokości geograficznych. Przechodzeniu cyklonów towarzyszą
zmiany pogody, związane z frontami atmosferycznymi (zmiany temperatury, ciśnienia,
prędkości i kierunku wiatru, zachmurzenie, opady).
Na poniższej mapce przedstawiony jest niż atmosferyczny. Ciśnienie maleje do środka
obszaru gdzie ma wartość 975 hPa.
27
Ażeby uprościć równania ruchu atmosfery tak, żeby dobrze opisywały przedstawione
wyżej przepływy w synoptycznej skali ruchów, zdefiniujmy następujące charakterystyczne
skale w średnich szerokościach geograficznych:
U ~ 10 m s −1 - skala prędkości horyzontalnej
W ~ 1 cm s −1 - skala prędkości pionowej
L ~ 106 m - skala długości - 1000 km
D ~ 10 4 m - skala głębokości - 10 km
δP ρ ~ 103 m 2 s −2 - horyzontalna skala fluktuacji ciśnienia
L U ~ 105 s - skala czasu
Horyzontalne fluktuacje ciśnienia δP są znormalizowane przez gęstość ρ , ażeby wytworzyć
skalę, która jest ważna na wszystkich wysokościach w troposferze, mimo wykładniczego
zmniejszania z wysokością obydwu: δP i ρ . δP ρ ma jednostki geopotencjału. Odnosząc
się do równania
1 ρ (∂p ∂y )z =
(∂Φ ∂y )p , zobaczymy jakie wielkości w fluktuacji
δP ρ
na powierzchni na stałej wysokości, muszą równać się wielkości fluktuacji geopotencjału na
powierzchni izobarycznej. Skala czasu jest tutaj adwekcyjną skalą czasu, która jest stosowana
28
dla systemu ciśnienia, które porusza się w przybliżeniu z szybkością horyzontalnego wiatru,
jak jest obserwowane dla skali synoptycznej. W ten sposób L U jest czasem potrzebnym do
pokonania drogi L z prędkością U i pochodną substancjalną operatora d dt ~ U L dla
takich ruchów.
Możemy teraz oszacować wielkość każdego wyrazu w równaniach na wschodnią i
północną składową równania ruchu dla skali synoptycznej w danej szerokości geograficznej.
Poniższa tabela pokazuje właśnie te charakterystyczne wielkości.
A
B
C
D
E
F
G
x-owa
du
dt
składowa
uw
a
uv tan φ
a
=
1 ∂p
ρ ∂x
+ Ftx
vw
+
a
u 2 tan φ
+
a
=
1 ∂p
ρ ∂y
+ Fty
2Ωv sin φ + 2Ωw cos φ
+
y-owa
składowa
dv
dt
skale
U2
L
f 0U
wielkości
10 −4
10 −3
+ 2Ωu sin φ
f 0W
UW
a
U2
a
δP
ρL
vU
D2
10 −6
10 −8
10 −5
10 −3
10 −12
7.4.1 Przybliżenie geostroficzne
Z powyższej tabeli widać, że pierwsze przybliżenie równań ruchu daje:
1 ∂p
, fu ≈
ρ ∂x
fv ≈
1 ∂p
,
ρ ∂y
gdzie f ≡ 2Ω sin φ zwane jest parametrem Coriolisa. Prędkość powietrza, określona z
warunku równowagi między siłą Coriolisa i siłą gradientu ciśnienia dana wzorem
→
→
→
Vg ≡ i u g + j vg nazywa się wiatrem geostroficznym. Jego definicję można zapisać w postaci:
→
→
Vg ≡ k ×
1 →
∇p.
ρf
29
W średnich szerokościach geograficznych wiatr geostroficzny przybliża rzeczywistą prędkość
przepływu powietrza z dokładnością 10-15%.
Dla porównania, jeżeli weźmiemy równania ruchu na równiku, to zredukują się one do
innej postaci, ze względu na to, że φ = 0 . W tym przypadku otrzymamy:
du
uw
1 ∂p
+ 2Ωw +
=
dt
a
ρ ∂x
dv vw
1 ∂p
+
=
.
dt
a
ρ ∂y
Równania te różnią się od przybliżenia geostroficznego, nie ma już równowagi między siłą
Coriolisa i siłą gradientu ciśnienia. Ten fakt ma wpływ na to, że na równiku nie ma dużej
różnicy ciśnień. Można to zaobserwować na poniższej mapce:
Widoczne jest, że na równiku mamy tylko jedną izobarę, a na wyższych szerokościach
geograficznych jest ich znacznie więcej.
30
7.4.2 Przybliżone równanie prognostyczne, liczba Rossby’ego
Z uwzględnieniem przyspieszenia przybliżenie horyzontalnych równań ruchu ma
postać:


du
1 ∂p
= fv
= f  v vg ,
dt
ρ ∂x




dv
1 ∂p
= fu
= f  u u g 
dt
ρ ∂y


Przyspieszenia w powyższych równaniach są proporcjonalne do różnicy między
rzeczywistym wiatrem i wiatrem geostroficznym. Przybliżenie to nazywamy quasigeostroficznym.
Zwykle stosowaną miarą wielkości przyspieszenia w stosunku do efektu siły Coriolisa
jest wyrażenie:
U2 L
U
=
≡ R0 ,
f 0U
fo L
gdzie R0 nazywa się liczbą Rossby’ego. Liczba ta jest miarą przybliżenia geostroficznego, im
mniejsza tym lepsze przybliżenie.
7.4.3 Przybliżenie hydrostatyczne
Podobną analizę skali można też przeprowadzić dla pionowej składowej równania
ruchu:
P0 H - aproksymacja pionowego gradientu ciśnienia
P0 - ciśnienie na powierzchni
H - głębokość troposfery.
31
A
B
C
D
E
F
z-owa
składowa
dw
dt
skale
UW
L
f 0U
wielkości
10 −7
10 −3
2Ωu cos φ
(u
+ v2
a
)
1 ∂p
ρ ∂z
g
+ Ftz
U2
a
P0
ρH
g
vWH −2
10−5
10
10
10−15
2
=
Zdefiniujmy p0 (z ) i ρ 0 ( z ) , które są normalnym ciśnieniem i normalną gęstością i
spełniają warunek równowagi hydrostatycznej, czyli:
1 dp0
≡
ρ 0 dz
g.
Możemy zapisać całkowite pola ciśnienia i gęstości jako:
p ( x, y, z , t ) = p0 (z ) + p ' ( x, y, z , t )
ρ ( x, y, z , t ) = ρ 0 ( z ) + ρ ' ( x, y, z , t ),
gdzie p ' i ρ ' są odchyleniami od normalnych wartości ciśnienia i gęstości. Używając
powyższych definicji i zakładając
ρ ' ρ 0 << 1
tak, że
( ρ 0 + ρ ' ) −1 ≅ ρ 0−1 (1 − ρ ' ρ 0 )
znajdujemy:
1 ∂p
g=
ρ ∂z

1
∂
( p0 + p') g ≈ 1  ρ ' dp0
ρ 0 + ρ ' ∂z
ρ 0  ρ 0 dz
∂p' 
=
∂z 
1 
∂p' 
 ρ' g +
.
ρ0 
∂z 
Dla synoptycznej skali ruchów, wyrażenia w powyższym równaniu wielkości są rzędu:
1 ∂p '
δP
ρ' g
~
~ 10 −1 m s −2 ,
~ 10 −1 m s −2 .
ρ 0 ∂z
ρo H
ρ0
Porównując to z powyższą tabelą możemy zapisać:
∂p '
+ ρ' g = 0
∂z
i widzimy, że pionowe przyspieszenie nie występuje w tym przybliżeniu.
32
7.5 Równanie ciągłości
Teraz zajmiemy się drugą z trzech fundamentalnych zasad zachowania, zasadą
zachowania masy. Matematyczny związek wyrażający tę zasadę dla płynu jest nazwany
równaniem ciągłości.
Rozpatrzmy element objętości δx δy δz , ustalony we współrzędnych kartezjańskich.
Rozważmy przepływ masy w kierunku x . Przez lewą stronę wpływa:


∂
(ρu ) δx δyδz
 ρu
∂x
2

masy, podczas gdy przez prawą wypływa:
∂
δx 

(
)
ρ
u
+
ρ
u
δyδz

∂x
2 

masy. Wypadkowo więc w kierunku x przepływa:


∂
(ρu ) δx δyδz  ρu + ∂ (ρu ) δx δyδz =
 ρu
∂x
2
∂x
2


∂
(ρu )δxδyδz .
∂x
Podobne wyrażenia dostaniemy dla y i z składowej. Stąd przepływ masy jest:
∂

∂
∂
 ( ρu ) + ( ρv ) + ( ρw)δxδyδz
∂y
∂z
 ∂x

33
→
→
∇⋅ ( ρ U ) , który musi być
i przepływ masy na jednostkę objętości jest właśnie
równy przyrostowi masy na jednostkę objętości. Teraz przyrost masy na jednostkę objętości
jest właśnie lokalną zmianą gęstości ∂ρ ∂t . Dlatego:
∂ρ →  → 
+ ∇⋅  ρ U  = 0 .
∂t


Alternatywna forma równania ciągłości jest otrzymywana przez zastosowanie
wektorowej tożsamości:
→
→ →
→ →
 →
∇⋅  ρ U  ≡ ρ ∇⋅ U + U ⋅ ∇ ρ


i związku:
d
∂ → →
≡ +U⋅∇
dt ∂t
do otrzymania:
1 dρ → →
+ ∇⋅ U = 0 .
ρ dt
Dla równania ciągłości można również przeprowadzić analizę skali. Napiszmy:
1  ∂ρ ' → → '  w dρ 0 → →

+ U ⋅ ∇ ρ  +
+ ∇⋅ U ≈ 0
ρ 0  ∂t
 ρ 0 dz
A
B
C,
gdzie ρ ' oznacza lokalne odchylenie gęstości od jej pionowej przeciętnej wartości, ρ 0 ( z ) . Dla
synoptycznej skali ruchów ρ ' ρ 0 ~ 10−2 , używając taj charakterystycznej skali znajdujemy
wyraz A, mający wielkość:
1  ∂ρ ' → → '  ρ ' U

+ U ⋅ ∇ ρ  ~
≈ 10 − 7 s −1 .
ρ 0  ∂t
 ρ0 L
Dla ruchów, w których skala głębokości H jest porównywalna do gęstości w skali pionowej
H , d ln ρ 0 dz ~ H −1 , więc wyraz B skalujemy jako:
w dρ 0 W
~
≈ 10 − 6 s −1 .
ρ 0 dz
H
Rozwijając wyraz C we współrzędnych kartezjańskich, mamy:
→ →
∇⋅ U =
∂u ∂v ∂w
+
+
.
∂x ∂y ∂z
34
Dla skali synoptycznej wyrażenia ∂u ∂x i ∂v ∂y dążą do tej samej wielkości, ale z
przeciwnymi znakami. Stąd dążą one do równowagi:
 ∂u ∂v 
U
 +  ~ 10−1 ≈ 10 − 6 s −1
L
 ∂x ∂y 
i również:
∂w W
~
≈ 10 − 6 s −1 .
∂z H
Stąd wyrazy B i C są wielkościami wyższymi niż wyraz A i dlatego:
∂u ∂v ∂w
d
+
+
+ w (ln ρ 0 ) = 0 .
∂x ∂y ∂z
dz
W formie wektorowej:
→
 →
∇⋅  ρ 0 U  = 0 .


7.6 Równanie energii termodynamicznej
Teraz powróćmy do trzeciej fundamentalnej zasady zachowania, zachowania energii.
Pierwsza zasada termodynamiki mówi, że zmiana energii wewnętrznej układu (będącego w
równowadze termodynamicznej) jest równa różnicy pomiędzy ciepłem dodanym do układu i
pracy wykonanej przez układ. W przypadku atmosfery układem termodynamicznym może
być element objętości w ujęciu Lagrange’a. Jednak jeśli płyn nie jest w spoczynku, to nie
może być w równowadze termodynamicznej. Mimo tego ograniczenia pierwszą zasadę
termodynamiki stosuje się do analizy zachowania energii.
Zapiszmy całkowitą energię termodynamiczną od elementu objętości jako sumę
energii wewnętrznej i energii kinetycznej należącej do makroskopowych ruchów płynu.
Szybkość zmian tej całkowitej energii termodynamicznej jest równa sumie szybkości
diabatycznego nagrzewania i szybkości pracy wykonanej nad elementem płynu przez siły
zewnętrzne.
Jeśli przez e oznaczymy energię wewnętrzną na jednostkę masy, wtedy całkowita
energia termodynamiczna dotycząca w elemencie Lagrange’a płynu o gęstości ρ i objętości
→ →


δV jest ρ e + (1 2 )U ⋅ U δV . Siły zewnętrzne działające na płyn mogą być podzielone na siły


35
powierzchniowe (gradient ciśnienia i tarcie) i siły masowe ( g ef i siła Coriolisa). Szybkość z
którą praca jest wykonana nad płynem przez x składową siły gradientu ciśnienia jest
zilustrowana na rysunku poniżej.
Tempo, z którym siła wykonuje pracę jest dana przez iloczyn skalarny siły i wektora
prędkości. Wobec tego tempo, z którym otoczenie wykonuje pracę nad elementem płynu
przez siły ciśnienia działającego na dwie granice powierzchni w płaszczyźnie y z wynosi:
( pu )A δyδz ( pu )B δyδz .
(Znak minus jest potrzebny przed drugim wyrazem, ponieważ praca wykonana nad
elementem płynu jest dodatnia jeśli u przez ściankę B jest ujemne.)
Teraz przez rozwinięcie w szereg Taylora możemy napisać:
( pu )B = ( pu )A +  ∂ ( pu )
 ∂x
A
δx + ⋅ ⋅ ⋅ .
Stąd:

( pu )A


( pu )B δyδz =

∂

 ∂x ( pu ) δV ,

A
gdzie δV = δxδyδz .
Podobnie jest dla y i z składowej ruchu:
∂

 ( pv )δV i
 ∂y

∂

 ∂z ( pw)δV .


Stąd dla wszystkich składowych ciśnienia możemy napisać:
36
→
 →
∇⋅  p U δV .


Obliczmy jeszcze tempo w jakim prace nad naszą cząstką wykonują siły masowe. Siła
Coriolisa jako prostopadła do prędkości nie wykonuje pracy, lepkość jest zaniedbywalnie
mała (w przybliżeniu w którym pracujemy). Pozostaje tylko działanie efektywnej siły
→
→
ciężkości wyrażające się zależnością ρ g ef ⋅ U δV .
Stosując zasadę zachowania energii do elementu objętości Lagrange’a (zaniedbując,
jak wspomniano, lepkość) otrzymujemy:
→
→
→
d  
1 → → 
 →
ρ
e
+
U
⋅
U
δ
V
=
∇
⋅
p
U
δ
V
+
ρ
g
⋅
U
δV + ρJδV .




ef

dt  
2


 
Tutaj J jest szybkością dopływu (odpływu) ciepła na jednostkę masy. Ciepło może dopływać
wskutek pochłaniania promieniowania, przewodnictwa z otoczenia czy zachodzących w
cząstce przemian fazowych (ciepło utajone).
Z pomocą wzoru na pochodną funkcji złożonej powyższe równanie możemy przepisać jako:
ρδV
→
→ →
1 → → 
1 → →  d ( ρδV )
d
= U ⋅ ∇ pδV
 e + U ⋅U  +  e + U ⋅U 
2
2
dt 
 
 dt
→ →
p ∇⋅ U δV
ρgwδV + ρJδV ,
→
gdzie g ef = g k . Drugi wyraz po lewej stronie równania znika, więc:
ρ
→ →
→ →
de
d 1 → →
+ ρ  U ⋅ U  = U ⋅ ∇ p p ∇⋅ U ρgw + ρJ .
dt
dt  2

→
Jeśli weźmiemy iloczyn skalarny U z równania ruchu, otrzymamy, (zaniedbując tarcie:
ρ
→ →
d 1 → →
 U ⋅ U  = U ⋅ ∇ p ρgw .
dt  2

Odejmując powyższe równanie od wcześniejszego dostajemy:
ρ
de
=
dt
→ →
p ∇⋅ U + ρJ .
Wyrazy usunięte przez to odejmowanie przedstawiają bilans energii mechanicznej ruchu
elementu płynu, a wyrazy pozostałe przedstawiają bilans energii cieplnej.
Używając definicji geopotencjału mamy:
g w=g
dz dΦ
=
,
dt
dt
więc możemy napisać:
37
ρ
→ →
d 1 → →

 U ⋅U + Φ  = U ⋅ ∇ p .
dt  2

Zależność ta jest znana pod nazwą równania energii mechanicznej. Równanie to pokazuje, że
tempo zmian energii mechanicznej na jednostkę objętości zależy od pracy siły gradientu
ciśnienia.
Równanie energii cieplnej może być napisane w bardziej znajomej formie:
1 dρ dα
=
ρ 2 dt
dt
1→ →
∇⋅ U =
ρ
i dla suchego powietrza energia wewnętrzna na jednostkę masy jest dana przez e = cvT , gdzie
cv (=717 J kg −1 K −1 ) jest ciepłem właściwym przy stałej objętości. W ten sposób otrzymamy:
cv
dT
dα
+p
=J,
dt
dt
co jest normalną formą równania energii termodynamicznej. Stąd pierwsza zasada
termodynamiki naprawdę jest odpowiednia dla płynu w ruchu.
8. Wirowość
8.1 Wirowość absolutna (całkowita), względna i planetarna
→
Wirowość absolutna ω a ,zwana też wirowością całkowitą, jest rotacją prędkości
→
absolutnej. Analogicznie wirowość względna ω to rotacja prędkości względnej:
→
→
→
→
→
→
ω a ≡ ∇× U a , ω ≡ ∇× U .
Po rozpisaniu na współrzędne w układzie kartezjańskim wirowość można zapisać jako:
→
 ∂w ∂v ∂u
ω = 
,
 ∂y ∂z ∂z
∂w ∂v ∂u 
.
,
∂x ∂x ∂y 
W skali synoptycznej, ze względu na niewielkie wartości pochodnych prędkości w kierunku
pionowym, istotną rolę odgrywają tylko składowe pionowe wirowości, związane z
pochodnymi prędkości w kierunku poziomym. Pionowe składowe wirowości absolutnej i
względnej oznaczamy odpowiednio przez η i ζ :
→
→
→ → 
→ →
η ≡ k ⋅  ∇× U a  , ζ ≡ k ⋅  ∇× U  .




38
Obszary o dodatnich (ujemnych) wartościach ζ związane są na ogół z cyklonami na półkuli
północnej (południowej). Wynika stąd, że badanie wirowości względnej może być
przydatnym narzędziem dla analizy pogody. Z kolei wirowość absolutna ma tendencję do
zachowania się w przepływach w obszarze środkowej troposfery. Na poniższej mapce mamy
przedstawione przykładowe pole wirowości względnej na powierzchni izobarycznej 500hPa
nad Europą. Kolor czerwony oznacza wirowość dodatnią, a niebieski ujemną. Na tej
wysokości cyrkulacje cykloniczne i antycykloniczne nie są dobrze zaznaczone, widać
natomiast obszary dodatniej i ujemnej wirowości związane z falami planetarnymi. Śledzenie
przesuwania się obszarów dodatniej i ujemnej wirowości pozwala na analizę ewolucji sytuacji
atmosferycznej w środkowej troposferze a ekstrapolacja w czasie przesuwających się wzorów
na prognozę pogody opartą na wspomnianej przed chwilą tendencji do zachowania
wirowości.
Różnica pomiędzy wirowością całkowitą i względną to wirowość planetarna. Jest
lokalną pionową składową wirowości ruchu obrotowego Ziemi :
→ →
→
k ⋅ ∇× U e = 2Ω sin φ ≡ f .
Stąd η = ζ + f , co we współrzędnych kartezjańskich zapisujemy wzorem:
ζ =
∂v
∂x
∂v
∂u
,η=
∂x
∂y
39
∂u
+ f .
∂y
8.2 Związek między wirowością i cyrkulacją
Cyrkulacja C to wielkość skalarna; makroskopowa miara rotacji dla skończonej
powierzchni w płynie. Cyrkulacja wokół zamkniętego konturu pokazanego na poniższym
rysunku:
wyrażona jest wzorem:
→
→
C = ∫ U ⋅ d l = ∫ U cos α ⋅ dl .
Związek między wirowością względną i względną cyrkulacją C można pokazać,
zauważywszy że ζ to dolna granica ilorazu cyrkulacji wokół zamkniętego konturu w
płaszczyźnie horyzontalnej przez pole otoczone tym konturem:
 → →
ζ ≡ lim ∫ V ⋅ d l  A−1 .
A → 0

Równoważność obu definicji ζ można pokazać rozpatrując cyrkulację wokół prostokątnego
elementu o polu δxδy :
40
→
→
Obliczając V ⋅ d l dla każdego boku tego prostokąta:
∂v 

δC = uδx +  v + δx δy
∂x 

 ∂v ∂u 

∂u 
δxδy
 u + δy δx vδy = 
∂y 

 ∂x ∂y 
i dzieląc wynik przez pole δA = δxδy dostaniemy:
δC  ∂v ∂u 
 ≡ζ .
=
δA  ∂x ∂y 
W bardziej ogólny sposób związek między wirowością i cyrkulacją można dostać stosując
twierdzenie Stokes’a do wektora prędkości przepływu:
→
→
→ → →
U
d
l
⋅
=
∫
∫∫A  ∇× U  ⋅ n dA .
→
Tutaj A jest polem otoczonym przez kontur, n jest wektorem normalnym do elementu pola
δA . Widać stąd, że cyrkulacja wokół zamkniętej pętli płynu jest równa całce ze składowej
normalnej wirowości po powierzchni otoczonej konturem. Tak więc, dla skończonej
powierzchni, iloraz cyrkulacji przez powierzchnię daje normalną składową wirowości.
8.3 Wirowość potencjalna
Korzystając z równania gazu doskonałego, możemy wyrazić temperaturę potencjalną
na powierzchni stałego geopotencjału φ przez związek między ciśnieniem i gęstością na tej
powierzchni:
ρ=p
cv c p
(Rθ )−1 ( ps )R c
p
.
Wynika stąd, że na powierzchni stałej temperatury potencjalnej (powierzchni izentropowej)
gęstość jest funkcją samego ciśnienia, co w efekcie daje:
∫
dp
(1− c
∝ ∫ dp v
ρ
cp )
= 0.
W ten sposób dla przepływu adiabatycznego cyrkulacja obliczona dla zamkniętego łańcuchu
cząstek płynu na powierzchni adiabatycznej i twierdzenie Kelvina o cyrkulacji może być
wyrażone wzorem:
d
(C + 2ΩδA sin φ ) = 0 ,
dt
41
gdzie C jest cyrkulacją wzdłuż obejmującej pole δA na powierzchni izentropowej. Jeśli ta
powierzchnia jest w przybliżeniu pozioma to pionowa składowa wirowości względnej dana
jest w przybliżeniu przez:
ζ = lim
δA → 0
C
.
δA
Wtedy dla cząstki powietrza twierdzenie cyrkulacji Kelvina może być wyrażone jako:
δA(ζ θ + f ) = const ,
gdzie ζ θ oznacza pionową składową wirowości względnej na powierzchni izentropowej,
a f = 2Ω sin φ jest parametrem Coriolisa.
Ta cząstka powietrza jest ograniczona powierzchniami o temperaturach potencjalnych


θ 0 i θ 0 + δθ rozdzielonych różnicą ciśnień - δp . Masa cząstki δM =  δp g δA musi być


zachowana podczas ruchu, dlatego:
δA =
 δθ 
δMg  δθ  δMg 

 ,
= 
 = const × g 
δp
 δp  δθ 
 δp 
Podstawiając do powyższego równania δA z poprzedniej zależności i biorąc granicę δp → 0 ,
otrzymamy:

∂θ 
 = const .
P ≡ (ζ 0 + f ) g
∂p 

Wielkość P (jednostki K kg −1 m 2 s −1 ) nazywamy wirowością potencjalną Ertela zapisaną w
formie izentropowej.
Zgodnie z powyższym równaniem wirowość potencjalna jest zachowana podczas
ruchu adiabatycznego zachodzącego bez tarcia. Wirowość potencjalną możemy interpretować
jako stosunek wirowości absolutnej do efektywnej głębokości wiru. Efektywna głębokość
wiru to różnica między temperaturami potencjalnymi powierzchni przez różnicę ciśnień
między tymi powierzchniami ( − ∂θ ∂p ).
W jednorodnym płynie nieściśliwym zachowanie wirowości potencjalnej przybiera
nieco prostszą formę. Ponieważ gęstość jest stała, powierzchnia pozioma na obu końcach
cząstki płynu musi być odwrotnie proporcjonalna do głębokości:
δA = M ( ρδz ) = const δz ,
−1
gdzie δz jest głębokością (grubością) cząstki. Podstawiając do równania δA(ζ 0 + f ) = const
dostajemy:
42
(ζ + f ) δz = const .
Dla przykładu przeanalizujmy przepływ nad przeszkodą górską, tzn. wirowość
potencjalna jest zachowana, chociaż podczas ruchu zmienia się ( − ∂θ ∂p ).
Początkowa wirowość względna jest zerowa. Jako pierwszy rozważmy przepływ zachodni,
który jest zilustrowany na poniższym rysunku ( cześć b przedstawia trajektorię przepływu w
płaszczyźnie x, y ).
Pod wpływem sił ciśnienia wytworzonych przez topografię terenu adiabata θ 0 + δθ jest
nieco odchylona do góry. Deformacja ta jest mniejsza od deformacji adiabaty θ 0 , lecz jest
bardziej rozciągnięta. Stąd wynika, że przed przeszkodą adiabaty te są od siebie bardziej
oddalone, niż na początku ( − ∂θ ∂p jest mniejsza), więc zgodnie z równaniem :

∂θ 
 = const
P ≡ (ζ 0 + f ) g
∂p 

wirowość względna musi się zwiększyć. Gdy masa powietrza zbliża się do przeszkody
rośnie ( − ∂θ ∂p ) i ζ musi być ujemna. Następnie kolumna powietrza porusza się na
południe, f maleje i wirowość względna znowu jest dodatnia. Dalej powietrze pod wpływem
ζ zawraca na północ i osiąga swoją początkową szerokość geograficzną , ale ma jeszcze
składową prędkości w kierunku południowym. Wirowość planetarna zaczyna rosnąć,
izentropy są już do siebie równoległe, więc wzrost f musi skompensować spadek wirowości
względnej i kolumna powietrza znowu zawraca (na południe).
43
Teraz zajmiemy się przepływem wschodnim zilustrowanym poniżej.
Podobnie jak w poprzednim przypadku przed przeszkodą mamy wzrost odległości między
adiabatami, czyli ( − ∂θ ∂p ) maleje, co w konsekwencji daje nam
wzrost wirowości
względnej. Następnie gdy masa powietrza zbliża się do szczytu góry wyraz ( − ∂θ ∂p ) rośnie,
więc ζ musi maleć. Po przekroczeniu bariery górskiej mamy sytuację identyczną jak przed
przeszkodą, czyli wirowość względna jest znowu dodatnia. W końcu przepływ powraca do
stanu początkowego, jest równoleżnikowy na tej samej szerokości geograficznej co
wcześniej.
9. Zakończenie
W tej pracy zostały przedstawione podstawy dynamiki atmosfery w umiarkowanych
szerokościach geograficznych. Znajduje się tu analiza kilku mapek pogody, co powinno
pomóc czytelnikowi w interpretowaniu prognozy pogody prezentowanej przy pomocy takich
mapek. Mam również nadzieję, że praca ta będzie służyła młodszym studentom jako pomoc
naukowa do wykładu z Fizyki Atmosfery i Hydrosfery oraz Meteorologii Teoretycznej.
44
Bibliografia:
[1] J. R. Holton An introduktion to dynamic meteorology
[2] J. V. Iribarne, H. – R. Cho Fizyka atmosfery
[3] M. L. Salby Fundamentals of Atmospheric Physics
[4] H. Wanner, E. Lerch, U. Neu, B. Ihly Dynamik der Atmosphäre
[5] http://www.wetterzentrale.de/topkarten
[6] http://grads.iges.org/pix
45