Probabil

Zestaw 6
Semestr zimowy 2015/2016
Kraków, 12 listopad 2015
Probabil
Dyskretne zmienne losowe: kontynuacja
Zadanie 1 (Problem Banacha). Nałogowy palący matematyk nosi ze sobą dwa pudełka
z zapałkami. Jedno w lewej, a jedno w prawej kieszeni. Oba pudełka mają początkowo
po 100 zapałek. Zapalając papierosa matematyk sięga po zapałkę z losowego pudełka.
Rozważ moment w którym matematyk chciał wziąć zapałkę z pudełka ale było ono puste.
Niech X będzie zmienną losową określającą liczbę zapałek w drugim pudełku. Wyznacz
rozkład X.
Zadanie 2. Policz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej X o rozkładzie hipergeometrycznym o parametrach m, N i n, czyli
m N −m
P(X = k) =
k
n−k
N
n
,
dla k = 0, 1, . . .
Zadanie 3. Korektor robi w książce przeciętnie 2 poprawki na stronę. Oblicz prawdopodobieństwo, że na stronie będą przynamniej 3 poprawki, jeśli liczba poprawek ma rozkład
Poissona.
Zadanie 4. Piekarnia wypieka w jednym cyklu 10000 ciastek. Zawierają one w sumie
5000 rodzynek. Przyjmujemy, że rodzynka wpada do każdego ciastka z równym prawdopodobieństwem i niezależnie od innych rodzynek. Kupiliśmy jedno ciastko. Jaka jest w
przybliżeniu szansa, że będzie w nim co najmniej jedna rodzynka?
Zadanie 5. Przyjmijmy, że szansa trafienia szóstki w tot-lotku wynosi 7/108 . Załóżmy,
że w dzisiejszym losowaniu wzięło udział 107 kuponów (z jednym typowaniem każdy).
Uzasadnij, że z prawdopodobieństwem większym od 0, 95 w losowaniu padły co najwyżej
trzy szóstki.
Zadanie 6. n par, zatem 2n osób, siada losowo przy okrągłym stole.
(i) Jakie jest prawdopodobieństwo, że konkretna para siądzie obok siebie?
(ii) Z jakim prawdopodobieństwem i-ta para siadzie obok siebie przy założeniu, że j-ta
para siadła koło siebie?
(iii) Oszacuj prawdopodobieństwo (przy założeniu, że n jest duże), że nie ma pary która
siedzi koło siebie.
Zadanie 7. Przy okrągłym stole stoi 101 talerzy, ponumerowanych 0, 1, . . . , 100 zgodnie
ze wskazówkami zegara. Gorące ciasto zostaje podane na talerzu numer 0 i zaczyna krązyć
po stole jak w symetrycznym spacerze losowym (1/2 szansy na ruch zgodny jak i przeciwny do wskazówek zegara; ruchy są od siebie niezależne). Z jakim prawdopodobieństwem
ostatnim talerzem które ciasto jeszcze nie odwiedziło jest talerz o numerze k?
Zadanie 8. Niech T będzie dowolnym drzewem z dwoma wyróżnionymi wierzchołkami:
startowym i końcowym. Pionek w sposób losowy porusza się po drzewie rozpoczynając w
wierzchołku startowym. W każdym kroku pionek przemieszcza się na losowo wybranego
sąsiada aktualnego wierzchołka. Czy dla dowolnego drzewa pionek dojdzie, z prawdopodobieństwem 1, do wierzchołka końcowego?
Strona 1/2