przepływy termodyfuzyjne sprzężone z polem naprężeń w

M ECH AN I KA
TEORETYCZNA
I STOSOWANA
3, 26 (1988)
PRZEPŁYWY TERMODYFUZYJNE SPRZĘ Ż ON
E Z POLEM NAPRĘ Ż Ń
E
W LEPKOSPRĘ Ż YSTOŚI C
MAREK WRÓBEL
Wyż sza Szkoł a Inż ynierska, Opole
1. Wstę p
Problematyka przepływów cieplno- dyfuzyjnych sprzę ż onych z polem mechanicznym
jest jedną z podstawowych jakie napotykamy w zagadnieniach naprę ż eń technologicznych
wystę pują cych w dojrzewają cym betonie, naprę ż eń w korodują cych konstrukcjach,
gruntach ekspansywnych, czy też przy nakł adaniu powł ok ochronnych w metalach.
Z punktu widzenia budownictwa szczególnie istotny jest pierwszy przypadek, kiedy wzajemnie oddziaływują ce na siebie przepływy wilgoci i ciepła oraz pola przemieszczeń
determinują póź niejsze wł asnoś ci betonu i konstrukcji wykonanych z tego materiał u.
W pracy podję to próbę iloś ciowego oszacowania wpływu wzajemnych sprzę ż eń mię dzy
tymi polami, oraz wpływu tych sprzę ż ńe na pole naprę ż eń, na podstawie rozwią zania
pewnego zadania począ tkowo- brzegowego. Rozwią zanie oparto na odpowiednim funkcjonale [15], którego warunkami stacjonarnoś ci są równania termodyfuzji podane przez
Nowackiego dla oś rodka sprę ż ysteg
o [10, U ] i uogólnione przez Kubika [6] na zadania
e może być
sprzę ż onej termodyfuzji lepkosprę ż ystej
. Wydaje się , że taka analiza sprzę ż ń
celowa, gdyż autorzy niewielu publikacji z zakresu termodyfuzji sprę ż ystej i lepkosprę ż yste
j skupiają uwagę na teoretycznych podstawach problemu [6, 10, 11, 24]. Znane są
rozwią zania pewnych zagadnień brzegowych [2, 4, 8, 14] lecz brak jest tam przykł adów
liczbowych obrazują cych rozważ ane procesy i mogą cych posł uż yć do analizy sprzę ż ń
e
rozpatrywanych wielkoś ci polowych.
2. Podstawowe założ eni
a i postawienie zadania
Sformułujemy teraz analizowane w pracy zadanie począ tkowo- brzegowe: N ależy
wyznaczyć pola temperatury, koncentracji i przemieszczeń, oraz odkształ ceń i naprę ż eń
zdeterminowane przez zadane na brzegach wartoś ci temperatury i koncentracji, oraz
okreś lić wpływ wzajemnych sprzę ż ń
e mię dzy rozpatrywanymi polami na ich rozkł ad.
7*
508
PRZEPŁ YWY TERMODYFUZYJNE ...
Rozpatrzmy więc warstwę o gruboś ci h, w której wystę puj
e pole temperatury &, koncentracji C i przemieszczenia. Ut (rys. 1). Zakł adamy, że zagadnienie przez nas rozpatrywane
jest jednowymiarowe, tzn. wszystkie pola zależą od jednej zmiennej przestrzennej x3,
oraz że oś rodek jest izotropowy, brak w nim ź ródeł ciepł a i masy oraz sił masowych.
Cb H! ł )
Rys. 1. Warstwa z polem temperatury, koncentracji i przemieszczenia
Warunki brzegowe podamy w temperaturze i koncentracji:
(2.1)
natomiast za warunki począ tkow
e przyjmujemy wartoś ci przyrostów entropii i koncentracji ponad stan naturalny na cał ej gruboś ci warstwy równe zero:
a
, 0 ) = 0, QS(X3, 0) = 0. (2.2)
Wtedy funkcjonał dla sprzę ż onyc
h pól temperatury, koncentracji i przemieszczenia
przyjmie postać (por. (2.31) w pracy [15]):
, C, U3] - A/ 2
1 1 — n*dC*dC- >r — K
m*d6*d0——
K'033*l*dU3, 33*d0, 3+K'®33*n*dU3, 33*dCl3+
K
(2.3)
KIT
W zależ nośi c(2.3) wielkoś ci £3333, 9533, <£ 33, K', K są odpowiednimi do rozpatrywa3
nego zadania skł adowymi tensorów funkcji materiał owych £ "yw[Pa], c)j;[J/ m K], $ij[JI
2
/ kg] i tensorów przewodnictwa dyfuzyjnego K'u [kg / Jms] i cieplnego / ^[J/ msK]. Z ko-
PRZEPŁYWY TERMODYFUZYJNE... 3
509
2
lei / [J/ kgK], m [J/ m K ], n[Jm 3/ kg2] są funkcjami materiał owymi, T„ [K] jest 'temperaturą stanu naturalnego, a S = H(t) oznacza funkcję H eavisid'a (por. [15]).
Powyż sz
e zadanie począ tkowo- brzegowe rozwią ż emy zmodyfikowaną metodą bezpoś rednią Ritza [23].
Przyjmujemy do rozwią zania nastę pują ce funkcje bazy:
— dla koncentracji:
?t(2/ c- l) , , . n{lk- \ ) . 7c(2k- l) fk(x9) = cos — ^ — ' - x3; fk , 3(X3) = - - ^ — ' - sin v ' x3 .. M
(2.4)
— dla temperatury:
. , n(2k- \ ) , gk(^3) = cos —" — —' - x3, gk , 3(x3) = a(2fc- l) . n(2k- l) ±- j—'- sin x3, h .. _
(2.5)
— dla przemieszczenia:
. . . 3i(2A:- 1) , . 7t(2k- l) n(2k- l) uk (x3) = sin —5u_ —L X3s ukt 3 (JC 3 ) = —^ —i - c o s x3. / ; .. , .
(2.6)
Wartoś ci funkcjonał u (2.3) bę dziemy poszukiwali na kombinacjach liniowych mają cych
postać:
n O " go(t) + 2j ak(t)gk(x3), (2.7)
n
C(x3, t) - / O(O + Ę bk(t)fk(x3), (2.8)
J75( *a, O- «o( O+ Xc *W^«). (2- 9)
gdzie: ' (2.10)
(2.11)
«O(O = J ± L [ ^ C + a^Jfi- COJCs = UbH(t)x3, (2.12)
przy czym a T [K ~ 1 ] i a c [m 3/ kg] są współ czynnikami rozszerzalnoś ci cieplnej i dyfuzyjnej natomiast v[ —] jest współ czynnikiem Poissona.
Funkcje gQ,f0 i u0 speł niają niejednorodne, natomiast funkcje gk ,fk iuk — jednorodne
warunki brzegowe w temperaturze, koncentracji i odkształ ceniach. ak {t), bk (t) i ck (t)
są tutaj poszukiwanymi funkcjami czasu. Wystę pują ce w funkcjonale (2.3) funkcje ma^
teriał owe /, m, n przyjmujemy stał e w czasie (por. [2])
l(t)=lH(t), oraz zgodnie z [6, 10, 11, 16]:
m(t) = mH(t), n(t) = nH{t), (2.13)
510 M . WRÓBEL
# 33 = -
y "^ ssss - - y «.<?(*). (2.14)
N atomiast z analizy funkcjonał u danego zależ noś ą ci (2.3) wynika kilka funkcji sprzę gają cych pola termiczne, dyfuzyjne i mechaniczne, które po uwzglę dnieniu (2.14) moż na
przedstawić w postaci:
1. F unkcja sprzę gają a c pole mechaniczne z cieplnym zwią zany
m z przepł ywem ciepł a;
«rt- y«r. (2- 15)
2. F unkcja sprzę gają a c pole mechaniczne z cieplnym zwią zany
m z przepł ywem masy:
3. F unkcja sprzę gają a c pole mechaniczne z dyfuzyjnym:
«r «- |l> c a«. (2.17)
4. F unkcja sprzę gają a c pole cieplne z dyfuzyjnym:
* = A,/ . (2.18)
Wobec zał oż enia (2.13) funkcje sprzę gająe c redukują się do roli współ czynników sprzęgają cych (stał ych w czasie)
3. Rozwią zani
e zagadnienia w warstwie lepkosprę ż yste
j
Przyjmujemy, że materiał warstwy podlega zjawiskom Teologicznym opisywanym teorią
Artuniana [18], w której przyjmuje się, że ją dra w cał kowych równaniach fizycznych są
nieinwariantne wzglę dem przesunięć skali czasowej. N atomiast wraz z upł ywem czasu —
materiał taki może być opisany równaniami liniowej lepkosprę ż ystośi co ją drach typu
splotu (por. [1, 7, 12, 13, 19]). F unkcja relaksacji ma wtedy postać:
(3.1)
1+ ^ o C o
a jej transformata Laplace'a:
P + y
(3.2)
D zię ki zastosowaniu metody bezpoś redniej Ritza zadanie szukania ekstremum funkcjonał u ^ [0", C, U£\ sprowadził o się do zadania poszukiwania ekstremum funkcji, której
argumentami są poszukiwane funkcje czasu ak (t), bk (t) i ck (t). Warunek istnienia ekstremum tej funkcji prowadzi do ukł adu trzech równań Eulera- Lagrange'a. Po dokonaniu
na tym ukł adzie transformacji Laplace'a, uwzglę dnieniu (3.2) i wprowadzeniu oznaczeń
z tabl. 1 otrzymamy:
PRZEPŁYWY TERMODYFUZYJNE...
511
P] ak + [*i««] bk + L xc2
P+ Ko
L Tabela 1. Oznaczenia wprowadzone na ukł adzie równań Eulera- Lagrange'a w przestrzeni obrazu
Warstwa sprę ż ysta
Warstwa lepkosprę ż ysta
E 0H{t)
di = - 3I 2 (2fc- l) 2 —
n
2
2
- n (2Jc- \ ) DT hm
a2 = 3
a3 = —h m
2
2
a* = bt = Ji (2fc- 1) A
a, = d = - n3(2k- l) 3Eo
2
a6 = c2= - 7i(Zk- l)h Eo
b2 =
- h 3n
= C = - J
14
c 5 = -
Dclh
15
c9 = 14
ć
di =
rf, = d3 = (- lY+ lh3E 0U„l(2k- l)©b
(- lf+1h3nl(2k- \ )
dĄ . - i i (
14
da = - ( -
2 H
(3.4)
512
M . WRÓBEL
a7xc2
(3.5)
p + Ro
+
da Xci
Z ukł adu równań (3.3)- *- (3.5) obliczamy wartoś ci poszukiwanych funkcji ak (p),bk {p),
CkU>) w przestrzeni obrazu. Dokonując nastę pnie retransformacji Laplace'a po wstawieniu
do (2.7)- = - (2.9) otrzymujemy poszukiwane wielkoś ci polowe:
#(0 + 4 £ 0
1
3
(3.6)
,
__
C"(x3. 0 - C,f#(0+ 4" 2 **(0cos -
J,J
(3.7)
Tabela 2. Współ czynniki rozwią zania zadania począ tkowo- brzegoweg
o w warstwie lepkosprę ż yste
j
R*- R*A1+R*A2- R*A3 Ba
+ RA<- AS
(JR.~ł ~plk) \ R~\ ~P2k) C^~ł ~j?3Jfc) (- ^ 4"/?4fc) \ R- \ ~p5k)
R'- B*B1+ R> Bt- R*Bi+ XBĄ- Ba
bo
(X +Pik)(R +P2 k)(R +P3k)(R +p*k)(R - hPs*)
R*- R*C1 + R>C2- R 2C3 + RC<- C,
£o
P t k ' P t k ^ 1 *T"J^tk Si
t,
2 - "> P f f t " 3 ~T*^(Jt " 4 . t ^ > 5
(P(t + - R) (Pit - ^ l t ) (Ptk- P2k) (j>lk- P3k) (Plk- P4k) (j>lk - P5k)
Pik +ptkBt +plk B2 +p?k B3 +PikBi. + B,
(Ptk +R) (Ptk - Pik) (Plk—P2k) (pik ~P3k) (Plk - P4k)(Plk - Psk)
Plk^Plk Cl- \ - pik C2 ~ł ~Plk C3 "^PlkC^Ą - Ca
<.Ptk + *.
*.
g»
R)(Pl<i~P1k)(plk- P2k)(pik- P3k)(Plk- p*k)(p,k- pS k)
<
Bez czynnika w minowniku, dla którego wyraż enie w
nawiasach (...) jest
równe zeru.
(Pik + R) 2(Pik—Plk) (Plk —P2k) (plk —P3k) (Plk~P*k) (.Ptk —Psk)
2
Pik+ptkB,.+p?k B2+p KB3+pikBĄ+Bs
2
(p,k + R) (Plk- plk)(ptk- P2k)(Plk- P3k)(Plk- p*k)(P>k- pS k)
ph+ptkCi+p?kC1+p?k C3+ PlkC<+Cs
(Pik+R) 2(Ptk- ptk)(Plk- P2k)(Ptk- P3k)(Plk- P*k)(.Plk- P}k)
Bez czynnika w mianowniku, dla którego wyraż enie w
nawiasach (...) jest
równe zeru.
PRZEPŁ YWY TERMODYFUZYJNE... 513
ck (t)sm . P ^ " 1 ) * 3 ] , ±^ (3.8)
gdzie:
5 .
S«e"«'], (3.9.)
1= 1
(3.10)
/ =i
5
^ Sre"*], (3.11)
a współ czynniki tfj, bt i c ; znajdują się w tabl. 2.
Wielkoś ci .4, y4l9 ...,AS, B,Bt, ..., Bs, C, Ct, ..., Cs z tabl. 2 oraz z zależ nośi c (3.9)- i• i- (3.11) są funkcjami stał ych materiał owych, oraz współ czynników sprzę gają cyc
h (2.15) - J- ł - (2.18). Wystę pująe c w zależ noś ciac
h (3.9),- r(3.M) wie lko ś c ąi (i — 1, ..., 5) są pierwiastkami równania pią tego stopnia (jps+p*D1+p3D2+p2D3+pD4.+Ds = 0), które
rozwią zywano numerycznie.
Pole odkształ ceń dla danego zadania począ tkowo- brzegowego otrzymamy z zależnoś ci n a tensor odkształ cenia Cauchy'ego [6, 10, 11]:
^
^ J (3.12)
Z kolei przystą pimy do wyznaczenia skł adowych tensora naprę ż eni
a [6]:
«r„ a 2fi*dsu- \ ~(X*d8lik - yT *d&Ą - cy*dC) 6tJ. (3.13)
Jeż eli na zależ nośi c(3.13) dokonamy transformacji Laplace'a, skorzystamy ze zwią zków
(3.1) i (3.2), oraz z transformat wielkoś ci polowych (3.6)+ (3.8), t o po retransformacji
otrzymamy nastę pują e c skł adowe tensora naprę ż eni
a w przestrzeni oryginał u:
Ou(x3, t) = o"22(x3,t) = ^^ [j~ ehx(x3, 0 +
- [«c C £ 0c 3 , 0 + <XT®R(X3, 0]J» ah(x3,t) = 0, O-
14
)
(3.15)
gdzie:
®l(Xs, t) - <9,1/7(0 + — ^ L**(0- ai«(0]co8 i ^ ^ . x3f, *• fc= i
(3- 16)
M . WRÓBEL
514
3
}. , t) -
(3.17)
— xX (3.18)
przy czym:
(3.19)
s
2
(3.20)
5
(3.21)
AR = AyE 0 Co, BR = ByE 0 Co, CR = CyE 0 Co, a współ czynniki a0, bQ, c0, qiR, biR, clR znajdują się w tabl. 2.
(3.22)
4. Realizacja numeryczna i zestawienie wyników
W oparciu o przedstawione rozwią zanie analityczne opracowano program na EMC
OD RA 1204 w ję zyku Algol 60. D o przeprowadzenia obliczeń wykorzystano nastę pują ce
wartoś ci odpowiednich współ czynników i funkcji materiał owych dotyczą cych dojrzewają cego betonu (po sprowadzeniu do jednostek ukł adu SI):
— współ czynniki dyfuzji Dc [5, 17, 20] i przewodnoś ci cieplnej DT [3, 9]:
Dc = 6 • 10- 6 [m 2/ h], DT = 4 • 10"2 [m 2/ h], — współ czynniki rozszerzalnoś ci cieplnej xT [3, 9] i dyfuzyjnej a c [5, 7]:
OL T = 4.7 • 10- 6 [l/ K], Q0 0.1 0.2 a c = 1.25 • 10"5 [m 3/ kg], 03 0.4 0.5
Rys. 2. Rozkł ad temperatury w warstwie dla przypadku:
Xu = XT — XC2 = Xci = 0
(4.1)
(4.2)
PRZEPŁYWY
0.1 Q2 515
0.3 0.4 0.5
Rys. 3. Rozkiad koncentracji w warstwie dla przypadku:
K. =. XT = Xci " «C1 =* 0
Q0 Q1 0.2 0.3 0.4 a 5
Rys. 4. Rozkł ad koncentracji w warstwie lepkosprę zystej dla czasu t => 720 h
<D x„ =3 « T = Mca = 0; © x, # 0; x r = Xci " 0; xci # 0 oraz x» = x r = 0; x Ci ?* 0 oraz x, ^ 0; x « # 0; x T «" 0; «ci ^ 0
4
* « ł 0; <3) «» •= 0; x r ?* 0; xCa "• 0; %» # 0 oraz x« - = 0; x T i* 0; © x„ ?4 0; «T / 0 ; xcj = 0; x Ci # 0 oraz x„ ^ 0; « r s 6 0; «ci i* C
x e » ?* 0; xct < A 0; współczynniki materiał owe m [3, 9], n, / [21, 22]:
3
2
/ = 1305.4 [J/ kgK], m m 7862.5 [J/ m K ],
3
2
n m 134.2 [J/ m kg ],
współczynniki Co i y [5, 7]:
9
2
2
Go = 9.75 • 10- [m / N ], y = 12.46 • 10 [l/ h],
«t
xci
(4.3)
(4.4)
516
M . WR Ó BE L
QO 0.1 0,2 a3 0,4 as
Rys. 5. Rozkł ad koncentracji w warstwie lepkosprę ż ystej dla czasu t = 720 h
© xa & 0; O i t , ^ 0 ; xT = xci ~ xci = 0; xr 5 s 0; oraz x„ # 0 ; xT = 0; s
oraz x, = 0; x r 9 0; <3> x„ «= 0; x r 3* 0; Xc2 = x C t = 0
xci = xci = 0 oraz x» # 0 ; x T Ą= 0; KU — XT = 0; Xci # O; «ci ~ 0
xC 2 # 0; xC2 / 0; xci = 0
xC i = 0
x « # 0; «ci = 0
— moduł sprę ż ystośi podł
c uż nej £ 0 [9] i współ czynnik Poissona v [7]:
10
E o = 2- 10 [Pa], v « i - [ - ] , (4.5)
— warunki brzegowe w temperaturze 6b [3] i koncentracji Cj [7]:
0„ = 40.0 [K], C„ = 10.8 [kg/ m 3]. (4.6)
Wyniki numeryczne przedstawiono w postaci graficznej na rysunkach 2- *- 15. Mając
n a uwadze ograniczoną obję tość pracy zilustrowano tu tylko najistotniejsze z nich
Ze wzglę du n a symetrię zadania (rys. 1) na wykresach przedstawiono jedynie wyniki przebiegu procesów dla poł owy rozpatrywanej warstwy. Aby umoż liwić lepszą analizę ilościową prezentowanych wyników wprowadzono nastę pująe c zmienne bezwymiarowe;
*.
(4.7)
przy czym dla temperatury i koncentracji poziomem odniesienia są zadane wartoś ci
temperatury i koncentracji na brzegach, natomiast dla naprę żń e— poziom ustalonych
naprę ż ń e osią ganych, w rozpatrywanym procesie w warstwie sprę ż ystej
. W trakcie analizy
Rys. 6. Rozkł ad naprę ż eń w warstwie lepkosprę ż ystej dla czasu t = 384 h
x„ = o
Xci = 0
x, -
• y XT 7*
* M =
0
0
0
XCI = 0
= 0
(D
Mb
*0.
#r
j*0
©
X CI
®
= 0
X CI
9*0
= 0
5* 0
XCJ
)
».
A
0
0
XT m 0
5*0
= 0
0
xci = 0
«C1 = 0
**« ^
0
"« Ą
Xci =
^0
Xci = o
XC2 7* 0
0
-
M e i- 0
N. fi 0
Xr = 0
«r
5*
A
0
XT — 0
0
K, «r
i*0
i*0
Xci
= 0
Xci
= 0
x. = 0
=0
x, « 0
®
X.
= c
Xci
II %
x„ == 0
XT = 0
Xci
5*C
«r = 0
xca • 0
Xci 5*0
X,
®
X , • A
Xc a 5*0
Xci 5* 0
5*
0
0
Ą 0
Ą 0
5*0
5*0
7*
Xci
XC2
»c
i »0
xc » 5 * 0
0,4
Rys. 7. Rozkł ad naprę ż eń w warstwie lepkosprę ż ystej dla czasu t = 720 h
= 0
= 0
= 0
x.
0
X,
M ci 7 *
0
A
o
XCI =
0
«r = 0
XC2 »0
X c i = 0
7*
0
x«
7*
o
B
0
A
9*0
X, • 0
HT Ą 0
*.
*ciĄ
Kca
oA
<. Ą0
B O
<T *T
= o A
­0
Xci =» 0
Ą 0
4
<C1 ł O
*ci = 0
*. Ą0
= 0
xr ­ 0
HT = 0
*r
® Xci == o A X J . 0 ® xci ­ 0
* d == 0 «C1 # 0
x, = 0
­0
«.
C
X. = 0
xr * 0
Xci *
0
xci Ą 0
A
«.
#0
Xr
= 0
NBl
Xci Ą0
xci Ą 0
x c , # 0
Xc i Ą 0
X. 5*0
Xr
^0
Xr ?* 0
XCI
• 0
* o Ą0
Xci — 0
x. Ą0
x r Ą0
Xci = O
­0
K,
x« Ą0
xr Ą0
XC2 = 0
4 0t5 „ ^ H
Rys. 8. Rozkł ad naprę ż eń w warstwie lepkosprę ż ystej dla przypadku:
x, = xT = xc* = xci = 0.
Dla / = 96 h pojawiają się zauważ alne róż nice mię dzy naprę ż eniami w warstwach sprę ż ystej i lepkosprę ż ystej
96h
Rys. 9. Rozkł ad naprę ż eń w warstwie lepkosprę ż ystej dla przypadku:
* r Ą 0; x, = x C2 = xci = 0
[5181
0,1
0,0
•
0,2
0.2
0,3
Q4
05
— — .
- 1
^
- 2
\
Ł t ^* —^=:
0.4 - - 3
r
~ 720h
«.
0,6
0.8-
1h
38ih
770h
2h
96 h
- 5
- 6
. —7
/
1,0 ' - 8
G L-
V9 6 h
\
1
eh
CCMPa]
1
Rys. 10. Rozkł ad naprę ż eń w warstwie lepkosprę ż ystej dla przypadku:
0,0
Rys. 11. Rozkł ad naprę ż eń w warstwie lepkosprę ż ystej dla przypadku:
Kr # *C2 ^ 0 ; 0,5 1
« u = 0; 16 2 4 4 8 9 6
x C i 5* 0
192 384 720 1440 .2680
t CKI
0.2
0,4
0.6
0,8
1.0
tf[M PQ]
Rys. 12. Warstwa lepkosprę ż ysta. Rozkł ad naprę ż eń w czasie dla przypadku: xu = XT = Xci = «ci = 0.
Linią przerywaną oznaczono poziom ustalonych naprę ż eń (f = 2880h) w warstwie sprę ż ystej
[519J
520
M. WRÓBEL
Q.5 1
192 384 720 1440 2880
tth]
Rys. 13. Warstwa lepkosprę ż ysta. Rozkł ad naprę ż eń w czasie dla przypadku: *:„ ź KC\ Ą= 0; KT ­ xC2
= 0. Linią przerywaną oznaczono poziom ustalonych naprę ż eń (/ = 5760h) w warstwie sprę ż ystej
03 1
16 24 48 96 192 384 720 1440 2880
©
0.2
0,4
ae
-2
- 3
- 4
- 6
©^0.3
- 71.0 - 8
6 [MPa]
8L- 1
Rys. 14. Warstwa lepkosprę ż ysta. RozkJad naprę ż eń w czasie dla przypadku: x„ # xT ^ *C1 ^ xci ^ o.
Linią przerywaną oznaczono poziom ustalonych naprę ż eń (f = 5760 h) w warstwie sprę ż ystej
prezentowanych wykresów korzystać należy z definicji współczynników sprzę gają cych
(2.15)^- (2.18). Każ dy z nich w zależ nośi od stopnia sprzę
c
ż enia rozpatrywanego zadania
przybierać może bowiem wartość równą lub róż ną od zera. W ten sposób zadanie w sposób naturalny dzieli się na szesnaś cie elementarnych przypadków. I tak np. zadaniu
zupeł nie niesprzę ż onermi odpowiada przypadek xu = xT — %c2 = xcl = 0, natomiast
zadaniu w którym wystę puje peł ne sprzę ż enie rozpatrywanych pól — przypadek «u ^
^ H ^ %c2 Ą= «ci Ą= 0.
Brak peł nego kompletu danych dla innych technologii sprawił, że przyję to beton jako
rozpatrywany oś rodek. Należy jednak pamię tać, że w toku rozwią zania postawionego
problemu począ tkowo- brzegowego poczyniliś my szereg zał oż ń
e upraszczają cych, z których najistotniejsze to pominię cie ź ródeł ciepła i masy, oraz przyję cie stał ych (uś rednionych) funkcji materiał owych okreś lają cych własnoś ci fizyczne betonu. Okazuje się , że
w sytuacjach, gdy zmiany temperatury i koncentracji wywołane reakcjami hydratacji
są mał e w porównaniu ze zmianami tych wielkoś ci spowodowanymi przepływami ciepła
i masy, to zaniedbanie ź ródeł ciepł a i masy jest uzasadnione. Przyję cie takiego uproszT
PRZEPŁYWY TERMOD YFUZ YJNE ...
521
Rys. 15. Warstwa lepkosprę ż ysta. Rozkł ad naprę ż eń w czasie dla f = 0.3. Linią przerywaną oznaczono
poziom ustalonych naprę ż eń w warstwie sprę ż ystej
czenia jak również przyję cie stał ych (uś rednionych) wartoś ci współ czynników dyfuzji
i termodyfuzji jest na podstawie prac [17, 20, 22] obszernie uzasadnione w pracy [2].
Analizowane w pracy zadanie począ tkowo- brzegowe należy wię c traktować jako
kolejne przybliż enie tego zł oż oneg
o problemu. Ze wzglę du na ograniczoną obję tość pracy
nie bę dziemy tu przeprowadzali szczegółowej analizy otrzymanych wyników numerycznych. Warto jednak zaznaczyć •— pozostają one w dobrej zgodnoś ci z wynikami innych
autorów. I tak, jeż eli chodzi o wpływ sprzę ż ńe na rozwój pola cieplnego, oraz sprzę ż -e
nia cieplno- dyfuzyjne z pracami [2, 17, 20, 22], natomiast w zakresie zagadnień sprzę ż -e
nia pola mechanicznego Z polem koncentracji — z pracą [16]. Otrzymane wyniki numeryczne w sensie opisanych wcześ niej założ ńe upraszczają cych nabierają znaczenia jako
wyniki iloś ciowe obrazują ce wpływ sprzę ż ńe rozpatrywanych pól na siebie. Mogą się one
okazać pomocne w rozstrzygnię ciu nierzadkiego dylematu, czy dane zadanie począ tkowobrzegowe rozwią zywać jako niesprzę ż one, czy też analizować bardziej zł oż one zadanie
sprzę ż one.
Literatura
1. R. M. CHRISTENSEŃ, Theory of viscoelasticity, Academic Press N ew York and London 1971.
2. F . G AJDA, Sprzę ż enie cieplno- dyfuzyjne w dalach lepkosprę ż ystych, dysertacja doktorska, Politechnika Wrocł awska- 1983.
3. F . G RUDZIŃ SKI
, Procesy cieplne w technologii hetonów, Warszawa 1976.
4. K. GRYSA, R. SZCZEPAŃ SKI
, O pł askim quasi- statycznym zagadnieniu termodyfuzji dla sprę ż ystego
walca koł owego, Mech. Teoret. i Stos. 2, 17, 1979.
8 Mech. Teoret. i Stos. 3/ 88
522 M . WRÓBEL
5. J. Kasperkiewicz, Dyfuzja wilgoci i deformacje skurczowe w betonie, PWN , Warszawa 1972.
6. J. KU BIK, Analogie i podobień stwo
w liniowych oś rodkach odksztalcalnych, Z. N . Poi. Ś , l. Bud. 38,
G liwice 1975. .
7. A. MITZEL, Reologia betonu, PWN , Warszawa 1972.
8. R. MOKRYK, Z . OLESIAK, Termodyfuzja w zagadnieniu kontaktu warstwy i pólprzestrzeni sprę ż ystej
Mech. Teoret. i Stos. 3/4, 20, 1982.
ci
, Warszawa 1977.
9. A. M. N EVILLE, Wł aś ciwoś betonu, PWN
10. W. N OWACKI, Certain problems of thermodiffusion in solids, A.M.S. 23, 6, 1971.
11. W. NOWACKI, Termodyfuzja w ciele stał ym, Mech. Teoret. i Stos. 2, 13, 1975.
12. Z . OLESIAK, Dynamiczne zagadnienia ciał o wł aś ciwoś ciach
lepko- sprę ż ystych, Rozpr. Inż. 9, 3, 1961.
13. Z . PIEKARSKI, G . SZEFER, Peł zanie pół pł aszczyzny przy mieszanych warunkach brzegowych, Rozpr.
Inż. 4, 18, 1970.
14. J. STEFANIAK, J. JANKOWSKI, Pł askie fale harmoniczne i dyfuzja w ciele stał ym, Mech. Teoret. i Stos.
3, 18, 1980.
,
15. M . WRÓBEL, Wariacyjne uję cie przepł ywów termodyfuzyjnych sprzę ż onych z polem naprę ż eń Mech.
Teoret. i Stos. 3, 25, 1987.
16. J. WYRWAŁ, W ariacyjne uję cie termodyfuzji lepkosprę ż ystej, dysertacja doktorska, Politechnika
Krakowska 1979.
17. C . B. AjiEKCAHflPOBCKHH, Pacuein 6emoHHux u 2ice/ te3o6emoHHtix KOHcmpymfuH Ha u3MeHemin meMnepamypbi u eAootcHocmu c ynemoM noMyuecmu, OrpoHH3,naT, MocKBa 1973
18. H . X. ApyxyjHHH, Heuomopbie sonpocu meopuu nojisynecmu, MocKBa 1952
19. H . X. ApyiyH H H j IIoA3yuecm cmapeioufux Mamepuanoe. IIo/ i3yuecm Semoua, M ex. TBepfl. Tejia,
MocKBa 6, 1967
20. H . SL. BOH OCH H J Ten/ to- u Maccoo6Meu npu mepMoo6pa6omKe 6emoHHUx u oicejie3o6emoHHbix u3Óejiuu,
M H H C K 1973
21. A. B. J I Ł I K O B, TeopemuiecKue ocHoeu cmpoume/ ibHoii $U3UKU, M H H C K 1961
22. J I . A. MAJiKHHHAi TenAOBAaoicHocmnax o6pa6omxa mnoicenoio Semona, MocKBa 1977
23. I I . B. U toń, Memodu pacnema omde/ ibHux 3adau menjioMacconepenoca, MocKBa 1971
24. P . H . U I BE U , K. M . JJACIOK, O eapuauuoHHbix meopeitax mepModuc/ )<f)y3uu detfopMupyeMbix meepdux men, M aT. cjura. 22, 1977
P e 3 K> M e
TEPM OJ3;H cl>Oy3H OH H LIE nEPEIU IBIBŁI CBH 3AH H ŁIE C n OJI E M
H AITPJD KEH ira B Bfl3K O yiI P yrO C T H
B paSoxe o6cy>K,neHO TepiwoAHd;cby3H0HHbie nepeiuibiBM CBjmHHBie c MexaHiwecKHM nojiejw B oflH3oTpoiiHOMj BH3i<oynpyroM o io e. npoEtecc Bbi3biBaK>T flMHbie BejiH*WHbi TeiwnepaTypbi
Ha i<pax cnoffj TaK » e i<aK npoHcxoflHT B KJiaccH^ecKOM npouecce 3anapHBaHHH 6eTOHa. J ln a peuieH itrr npoSneMbi ncnonb3oBaHo cooTBeTcrayioinHH dj>yHKi;HoHajt n j«osH<pimHpoBaHHbiH
MCTOA P«Ti;a. P e3ynbiarbi npesciaBJieH o B rpadpH^ecKofi
Summary
H EAT AN D MASS TRAN SFER PROBLEM COU PLED WITH STRESS F IELD
I N VISCOELASTICITY
Problem of heat and mass transfer coupled with stress field in homogeneous and isotropic viscoelastic
layer is treated. The process is based on the value of temperature and concentration on the boundary as
in technological processes in concrete. The solution is based on the appropriate functional and a modified
direct Ritz method is used. The results are represented in the diagram form.
Praca wpł ynę ł a do Redakcji dnia 21 maja 1987 roku.