Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Transkrypt

Wykład 5. Wycena opcji — modele dyskretne
Bartosz Ziemkiewicz
Wydział Matematyki i Informatyki UMK
Kurs letni dla studentów studiów zamawianych
na kierunku „Matematyka w ekonomii i finansach”
Bartosz Ziemkiewicz
1/40
Wycena europejskiej opcji kupna
Zakładać, że nasz rynek jest rynkiem idealnym.
Rozważmy europejską opcję kupna o cenie wykonania K i terminie
wykonania T .
Zakładać będziemy, że instrumentem bazowym są akcje, przez St
oznaczymy cenę akcji w chwili t.
Postaramy się odpowiedzieć na pytanie ile powinien kosztować
instrument dający w chwili T wypłatę równą
(
ST − K , gdy ST > K
f (ST ) = (ST −K )+ = max{ST −K , 0} =
0,
gdy ST 6 K
Bartosz Ziemkiewicz
2/40
Model rynku jednookresowego, dwustanowego
Rynek pracuje w dwóch chwilach czasu 0 i T .
Możliwe są dwa scenariusze wypadków „1”, który interpretujemy
jako korzystny i „-1”, który interpretujemy jako niekorzystny.
Zatem przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = {−1, 1}. Ponadto,
P(ω = 1) = p > 0, P(ω = −1) = 1 − p > 0.
Na rynku istnieją dwa papiery wartościowe: jeden ryzykowny —
akcja i jeden pozbawiony ryzyka (obligacja lub wkład na rachunku
bankowym).
St – cena papieru ryzykownego (akcji) w chwili t (za jedną
jednostkę), t ∈ {0, T }.
Bt – cena papieru pozbawionego ryzyka w chwili t (za jedną
jednostkę), t ∈ {0, T }.
Bartosz Ziemkiewicz
3/40
Model rynku jednookresowego, dwustanowego
Zakładamy, że
B0 = 1,
BT = B0 (1 + r ) = 1 + r ,
gdzie liczbę r > 0 jest stopą procentową wolną od ryzyka,
Natomiast
S0 = s > 0,
(
Su
ST (ω) =
Sd
gdy ω = 1
gdy ω = −1.
Przyjmujemy, że S u > S d , dlatego „1” nazywamy scenariuszem
korzystnym.
Bartosz Ziemkiewicz
4/40
Przykład
Niech r = 0.05, S0 = 100, S u = 120, S d = 70, p = 0.4. Wówczas
BT = B0 (1 + r ) = 1(1 + 0.05) = 1.05
(
120 gdy ω = 1
ST (ω) =
70 gdy ω = −1.
Możemy przedstawić to na następującym „drzewku dwumianowym”:
0.4
120
100
0.6
t=0
Bartosz Ziemkiewicz
70
t=T
5/40
Przykład
Rozważmy europejską opcję kupna o terminie wykonania T i cenie wykonania K = 110. Wartość takiej opcji w chwili T jest równa
(
(120 − 110)+ = 10 gdy ω = 1
+
f (ω) = (ST (ω) − 110) =
(70 − 110)+ = 0
gdy ω = −1.
Ile wynosi wartość tej opcji w chwili 0? (Innymi słowy jaka jest cena
sprawiedliwa tej opcji?)
0.4
10
?
0.6
t=0
Bartosz Ziemkiewicz
0
t=T
6/40
Przykład
Pomysł 1. Inwestor ocenia, że prawdopodobieństwo zajścia korzystnego
scenariusza (tzn. wzrostu ceny akcji do 120) wynosi p = 0.4, a niekorzystnego (tzn. spadku ceny akcji do 70) wynosi 1 − p = 0.6. W tym
pierwszym przypadku nasza wypłata wyniesie 10, a w drugim 0. Wartość
oczekiwana wypłaty opcji w chwili T wynosi więc
E P f = 0.4 · 10 + 0.6 · 0 = 4.
Aby otrzymać wartość opcji w chwili 0 (którą oznaczać będziemy przez C0 )
dyskontujemy powyższy wynik
C0 = (1 + r )−1 · E P f = 1.05−1 · 4 ≈ 3.809 .
Bartosz Ziemkiewicz
7/40
Przykład
Widać, że tak obliczona cena zależy od wyboru prawdopodobieństwa P,
tzn. od oszacowania rynku przez inwestora. Jeżeli inny inwestor uważa,
że prawdopodobieństwo zajścia korzystnego scenariusza wynosi p 0 = 0.3,
a niekorzystnego 1 − p 0 = 0.7, to zdyskontowana wartość oczekiwana
wypłaty wynosić będzie
0
C00 = (1 + r )−1 · E P fT = 1.05−1 · (0.3 · 10 + 0.7 · 0) ≈ 2.857.
Która cena jest więc prawdziwa? Jasne jest, że powyższy sposób obliczania ceny opcji nie jest dobry. Potrzebna jest taka definicja ceny, która
nie zależy od subiektywnych oszacowań inwestorów.
Bartosz Ziemkiewicz
8/40
Przykład
Pomysł 2. Inwestor wystawiający opcję powinien umieć ją zabezpieczyć.
To znaczy zainwestować w chwili 0 pieniądze otrzymane ze sprzedaży
opcji (w akcje i lokatę bankową), aby w chwili T wartość jego inwestycji
była równa wartości opcji.
Załóżmy więc, że inwestor w chwili 0 wpłacił kwotę β na lokatę bankową
i kupił γ akcji (β, γ ∈ R). Wartość jego inwestycji w chwili T (którą
oznaczamy XT ) wynosić będzie w zależności od tego, który scenariusz
zajdzie
XT (1) = β · BT + γ · ST (1) = β · 1.05 + γ · 120
XT (−1) = β · BT + γ · ST (−1) = β · 1.05 + γ · 70
Ponieważ inwestycja ma zabezpieczać opcję o funkcji wypłaty f , zatem
powinno zachodzić:
XT (1) = f (1) = 10,
Bartosz Ziemkiewicz
XT (−1) = f (−1) = 0.
9/40
Przykład
Otrzymaliśmy zatem układ równań
(
β · 1.05 + γ · 120 = 10
β · 1.05 + γ · 70 = 0.
Jego rozwiązaniem jest para (β, γ) = (−13 13 , 51 ).
Obliczmy teraz ile wynosi wartość tej inwestycji w chwili 0
(inaczej mówiąc jaki musimy mieć kapitał początkowy aby dokonać takiej
inwestycji)
X0 = β · B0 + γ · S0 = −13 13 · 1 +
1
5
· 100 = −13 31 + 20 = 6 23 .
Wynika stąd, że jeżeli za sprzedaż opcji dostaniemy 6 32 to możemy zainwestować tą kwotę tak, że niezależnie od scenariusza będziemy w stanie
w chwili T wypłacić należność nabywcy opcji.
Czy C0 = 6 23 jest sprawiedliwą (nie krzywdzącą żadnej ze stron) ceną
opcji?
Bartosz Ziemkiewicz
10/40
Przykład
W chwili 0 wystawca opcji:
Sprzedaje jedną opcję
Bierze kredyt
Kupuje 51 akcji
6 32
13 13
1
− 5 · 100 = −20
6 32 + 13 13 − 20 = 0
W chwili T natomiast:
Realizuje jedną opcję
Spłaca kredyt
Sprzedaje 51 akcji
ω=1
−10
−1.05 · 13 31 = −14
1
5 · 120 = 24
−10 − 14 + 24 = 0
0 − 14 + 14 = 0
Bartosz Ziemkiewicz
ω = −1
0
−1.05 · 13 31 = −14
1
5 · 70 = 14
dla ω = 1,
dla ω = −1.
11/40
Przykład
W chwili 0 nabywca opcji:
Kupuje jedną opcję
Wpłaca na rachunek bankowy
Sprzedaje 51 akcji (krótka sprzedaż)
1
5
−6 32
−13 13
· 100 = 20
−6 32 − 13 13 + 20 = 0
W chwili T natomiast:
Odbiera wypłatę z opcji
Wypłaca pieniądze z rachunku
Odkupuje 15 akcji
ω=1
10
1.05 · 13 31 = 14
− 15 · 120 = −24
10 + 14 − 24 = 0
0 + 14 − 14 = 0
Bartosz Ziemkiewicz
ω = −1
0
1.05 · 13 13 = 14
− 15 · 70 = −14
dla ω = 1,
dla ω = −1.
12/40
Cena sprawiedliwa
Widzimy więc, że cena C0 nie krzywdzi żadnej ze stron. Nikt nie
dokłada do transakcji. Dlatego jest to cena sprawiedliwa.
Cena ta nie zależy od wyboru prawdopodobieństwa P, tzn. od
oszacowania rynku przez inwestora.
Gdyby opcja była sprzedawana po cenie C > C0 to sprzedający
miałby pewny zysk C − C0 > 0, gdyż wydałby tylko C0 aby
zabezpieczyć opcję a resztę zachował dla siebie.
Gdyby opcja była sprzedawana po cenie C < C0 to kupujący
miałby pewny zysk C0 − C > 0, gdyż aby otrzymać wypłatę f
musiałby wydać C0 a tak wydałby tylko C .
W obu przypadkach gdy C 6= C0 można osiągnąć zysk bez
żadnego ryzyka.
Bartosz Ziemkiewicz
13/40
Sposób wyceny w modelu jednookresowym
Wartość opcji
Cena akcji
Su
fu
S0
?
Sd
t=0
fd
t=T
t=0
t=T
Wówczas cena sprawiedliwa opcji jest określona wzorem
C0 = β + γ · S0 ,
gdzie
f d Su − f uSd
fu −fd
,
γ
=
(1 + r )(S u − S d )
Su − Sd
Aby zabezpieczyć opcję należy wpłacić β na lokatę i kupić γ akcji.
β=
Bartosz Ziemkiewicz
14/40
Przykład
Niech r = 0, B0 = 1, K = 11,
Wartość opcji
Cena akcji
12
10
1
?
11
t=0
t=T
0
t=0
t=T
Wówczas
β=
0 · 12 − 1 · 11
1−0
= −11
γ=
=1
(1 + 0)(12 − 11)
12 − 11
C0 = −11 + 1 · 10 = −1 ???
Bartosz Ziemkiewicz
15/40
Arbitraż
Dlaczego cena C0 jest ujemna? Jak należy interpretować taką
sytuację?
Zauważmy, że w opisanym przykładzie, kupno akcji zawsze się
opłaca, możemy osiągnąć zysk nic nie ryzykując, tzn. że na rynku
istnieje możliwość arbitrażu.
Istnienie arbitrażu świadczy o istnieniu poważnych błędów w
wycenie instrumentów na rynku.
Opisany model rynku (jednookresowy, dwustanowy) jest wolny od
arbitrażu wtedy i tylko wtedy, gdy
S d < (1 + r )S0 < S u .
Warunek ten oznacza, że w scenariuszu niekorzystnym akcja musi
przynosić mniejszy zysk niż rachunek bankowy, a w scenariuszu
korzystnym większy.
Bartosz Ziemkiewicz
16/40
Model dwumianowy
Rynek pracuje w chwilach t = 0, 1, 2, . . . , T , gdzie T < +∞,
Zakładamy, że liczba możliwych scenariuszy jest skończona
Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωn }, P(ωi ) > 0, i = 1, . . . , n.
Na rynku istnieją dwa papiery wartościowe: jeden ryzykowny
(którego cena zmienia się w sposób losowy)— akcje, drugi
pozbawiony ryzyka (którego cena zmienia się w sposób
deterministyczny) np. obligacje lub wkład na rachunek bankowy.
Bt – oznacza cenę papieru bez ryzyka (za jedną jednostkę)
w okresie czasu [t, t + 1).
St – oznacza cenę papieru ryzykownego (za jedną jednostkę)
w okresie czasu [t, t + 1).
Bartosz Ziemkiewicz
17/40
Model dwumianowy
Będziemy zakładać, że w okresie [0, T ] stopa procentowa wolna
od ryzyka jest stała i równa r > 0 oraz, że
B0 = 1,
Bt = Bt−1 (1 + r )
dla t = 1, 2, . . . , T .
W każdym momencie t = 1, 2, . . . , T może zajść jeden z dwóch
scenariuszy: „1” (korzystny) i „-1”, (niekorzystny).
To, który ze scenariuszy zajdzie, nie zależy od tego, które
scenariusze zachodziły w poprzednich momentach. Cenę akcji
opisuje zatem wzór
(
St−1 (1 + b), gdy ω = 1
S0 = s > 0,
St (ω) =
St−1 (1 + a), gdy ω = −1,
gdzie −1 < a < b.
Bartosz Ziemkiewicz
18/40
Model dwumianowy
W języku teorii prawdopodobieństwa możemy napisać, że
St = St−1 Ut dla t = 1, 2, . . . , T , gdzie Ut są niezależnymi
zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie P(Ut = 1 + b) = p,
P(Ut = 1 + a) = 1 − p, p ∈ (0, 1).
Można pokazać, że na rynku nie ma możliwości arbitrażu wtedy i
tylko wtedy, gdy a < r < b.
Wówczas oczywiście 1 + a < 1 + r < 1 + b i w scenariuszu
korzystnym akcja przynosi większy zysk niż lokata bankowa, a w
scenariuszu niekorzystnym mniejszy.
Bartosz Ziemkiewicz
19/40
Model dwumianowy
βt — stan lokaty bankowej w okresie czasu (t − 1, t],
t = 1, . . . , T .
γt — liczba posiadanych akcji w okresie czasu (t − 1, t],
t = 1, . . . , T ,
Jeżeli βt < 0 to interpretujemy to jako zaciągnięcie kredytu w
banku. Jeżeli γt < 0 to mówimy, że inwestor dokonał tzw.
„krótkiej sprzedaży”, tzn. sprzedał pożyczone akcje,
π = {πt = (βt , γt ) ; t = 1, . . . , T } – strategia inwestycyjna
(portfel inwestora),
βt , γt nie muszą być takie same dla każdego scenariusza. Inwestor
podejmuje decyzje o tym, ile jednostek danego instrumentu chce
posiadać w chwili t, na podstawie dostępnej mu informacji o
zmianach cen instrumentów w okresie 0 do t − 1.
Inwestor nie potrafi natomiast przewidywać przyszłości, dlatego
jego decyzje nie mogą zależeć od cen instrumentów w chwilach
t, t + 1, . . . , T .
Bartosz Ziemkiewicz
20/40
Model dwumianowy
X0π = x0 — kapitał początkowy.
X π = {Xtπ = βt Bt + γt St ; t = 1, . . . , T } — kapitał inwestora
przy strategii inwestycyjnej π, (wartość portfela).
Mówimy, że strategia π jest samofinansująca się jeżeli
π
= βt Bt−1 + γt St−1 ,
Xt−1
t = 1, . . . , T .
Powyższy warunek oznacza, że nie ma dopływu kapitału z
zewnątrz, ani wypływu na zewnątrz. Cały kapitał jaki inwestor
posiada w chwili t − 1 przeznacza on zakup portfela πt .
Bartosz Ziemkiewicz
21/40
Model dwumianowy
Mówimy, że π jest strategią o wartości początkowej x0
zabezpieczającą (replikującą) kontrakt fT , jeżeli
X0π = x0 ,
π — samofinansująca się,
Xtπ > 0, t = 0, . . . , T ,
XTπ = fT .
ceną sprawiedliwą (racjonalną) kontraktu fT nazywamy liczbę
C0 = inf{x > 0 ; takie, że istnieje strategia π o wartości
początkowej x zabezpieczająca kontrakt fT }
Bartosz Ziemkiewicz
22/40
Zadanie
Podać cenę sprawiedliwą oraz skonstruować strategie zabezpieczającą
europejską opcję kupna, jeżeli T = 3, K = 100, B0 = 1, r = 0, a ceny
akcji S = {S0 , S1 , S2 , S3 } opisuje następujące „drzewko”
0.25
0.25
0.75
0.25
0.75
t=0
t=1
Bartosz Ziemkiewicz
0.75
0.25
120
0.75
0.25
80
0.75
40
100
80
0.75
160
140
120
100
0.25
60
t=2
t=3
23/40
Rozwiązanie
Zbiór możliwych scenariuszy to {(ω1 , ω2 , ω3 ) ; ωi ∈ {−1, 1}}.
Ponieważ r = 0, więc
Bi (ω1 , ω2 , ω3 ) = 1
dla i = 0, 1, 2, 3,
ω1 , ω2 , ω3 ∈ {−1, 1}.
Proces cen akcji wygląda następująco
S0 (ω1 , ω2 , ω3 ) = 100
S1 (1, ω2 , ω3 ) = 120
S1 (−1, ω2 , ω3 ) = 80
S2 (1, 1, ω3 ) = 140
dla ω1 , ω2 , ω3 ∈ {−1, 1},
dla ω2 , ω3 ∈ {−1, 1},
dla ω2 , ω3 ∈ {−1, 1},
dla ω3 ∈ {−1, 1},
S2 (1, 1, ω3 ) = . . .
Bartosz Ziemkiewicz
24/40
Rozwiązanie
Rozważamy opcję o funkcji wypłaty
f (ω1 , ω2 , ω3 ) = (S3 (ω1 , ω2 , ω3 ) − 100)+ .
Stąd
f (1, 1, 1) = (S3 (1, 1, 1) − 100)+ = (160 − 100)+ = 60
f (1, 1, −1) = (S3 (1, 1, −1) − 100)+ = (120 − 100)+ = 20
f (1, −1, 1) = (S3 (1, −1, 1) − 100)+ = (120 − 100)+ = 20
f (−1, 1, 1) = (S3 (−1, 1, 1) − 100)+ = (120 − 100)+ = 20
f (1, −1, −1) = (S3 (1, −1, −1) − 100)+ = (80 − 100)+ = 0
f (−1, 1, −1) = (S3 (−1, 1, −1) − 100)+ = (80 − 100)+ = 0
f (−1, −1, 1) = (S3 (−1, −1, 1) − 100)+ = (80 − 100)+ = 0
f (−1, −1, −1) = (S3 (−1, −1, −1) − 100)+ = (40 − 100)+ = 0.
Bartosz Ziemkiewicz
25/40
Rozwiązanie
Zatem wartość opcji w chwili t = 3 wynosi:
60
20
0
0
t=0
t=1
Bartosz Ziemkiewicz
t=2
t=3
26/40
Rozwiązanie
Skonstruujemy strategię π zabezpieczającą f , tzn. taką, że
X3π (ω1 , ω2 , ω3 ) = f (ω1 , ω2 , ω3 )
dla dowolnych ω1 , ω2 , ω3 ∈ {−1, 1}. Zrobimy w kilku krokach.
Bartosz Ziemkiewicz
27/40
Rozwiązanie
Możemy potraktować fragment „drzewka” jako model jednookresowy i
skorzystać z uzyskanych wcześniej wzorów.
Wartość portfela Xtπ
Cena akcji
160
140
60
?
120
t=2
β3 (1, 1, ω3 ) =
t=3
20
t=2
t=3
20 · 160 − 60 · 120
60 − 20
= −100, γ3 (1, 1, ω3 ) =
=1
160 − 120
160 − 120
X2π (1, 1, ω3 ) = −100 + 140 = 40
Bartosz Ziemkiewicz
28/40
Rozwiązanie
Podobnie pokazujemy, że
Cena akcji
120
100
20
?
80
t=2
β3 (1, −1, ω3 )=
t=3
0
t=2
t=3
0 · 120 − 20 · 80
20 − 0
= −40, γ3 (1, −1, ω3 ) =
= 0.5
120 − 80
120 − 80
X2π (1, −1, ω3 ) = −40 + 0.5 · 100 = 10
Bartosz Ziemkiewicz
29/40
Rozwiązanie
Analogicznie
Cena akcji
80
60
0
?
40
t=2
β3 (−1, −1, ω3 ) =
t=3
0
t=2
t=3
0 · 80 − 0 · 40
0−0
= 0, γ3 (−1, −1, ω3 ) =
=0
80 − 40
80 − 40
X2π (−1, −1, ω3 ) = 0
Bartosz Ziemkiewicz
30/40
Rozwiązanie
Wyznaczyliśmy zatem minimalne wartości portfela π w chwili t = 2
60
40
20
10
0
0
0
t=0
t=1
Bartosz Ziemkiewicz
t=2
t=3
31/40
Rozwiązanie
Krok 2. Wyznaczamy minimalne wartości portfela w chwili t = 1
Cena akcji
140
120
40
?
100
t=1
β2 (1, ω2 , ω3 ) =
t=2
10
t=1
t=2
10·140−40·100
40−10
= −65, γ2 (1, ω2 , ω3 ) =
= 0.75
140 − 100
140−100
X1π (1, ω2 , ω3 ) = −65 + 0.75 · 120 = 25
Bartosz Ziemkiewicz
32/40
Rozwiązanie
Dalej mamy
Cena akcji
100
80
10
?
60
t=1
t=2
0
t=1
t=2
0·100−10·60
10−0
= −15, γ2 (−1, ω2 , ω3 ) =
= 0.25
100 − 60
100−60
X1π (−1, ω2 , ω3 ) = −15 + 0.25 · 80 = 5
β2 (−1, ω2 , ω3 ) =
Bartosz Ziemkiewicz
33/40
Rozwiązanie
Wyznaczyliśmy zatem minimalne wartości portfela π w chwili t = 1
60
40
25
20
10
5
0
0
0
t=0
t=1
Bartosz Ziemkiewicz
t=2
t=3
34/40
Rozwiązanie
Pozostaje wyznaczyć minimalną początkową wartość portfela
Cena akcji
120
100
25
?
80
t=0
t=1
5
t=0
t=1
5·120−25·80
25−5
= −35, γ1 (ω1 , ω2 , ω3 ) =
= 0.5
120 − 80
120−80
X0π (ω1 , ω2 , ω3 ) = −35 + 0.5 · 100 = 15
β1 (ω1 , ω2 , ω3 ) =
Bartosz Ziemkiewicz
35/40
Rozwiązanie
Oto kompletne „drzewko” wartości portfela π.
60
40
25
15
20
10
5
0
0
0
t=0
t=1
Bartosz Ziemkiewicz
t=2
t=3
36/40
Rozwiązanie
Zatem minimalna wartość początkowa strategii zabezpieczającej opcję f
wynosi X0π = 15. Ostatecznie więc cena sprawiedliwa opcji wynosi
C0 = 15.
Poniższa tabelka przedstawia strategię inwestora wystawiającego opcję
w przypadku zajścia scenariusza (1, 1, −1).
Czas
n
0
1
2
3
Zmiana
–
1
1
-1
Cena akcji
Sn
100
120
140
120
Bartosz Ziemkiewicz
Strategia
βn+1 γn+1
−35
0.5
−65 0.75
−100
1
–
–
Kapitał
Xn
15
25
40
20
37/40
Rozwiązanie
Innymi słowy:
1
Pożyczamy z banku 35 zł dokładamy do tego 15 zł uzyskane ze
sprzedaży opcji i wydajemy 50 zł na zakup 0.5 akcji.
2
Pożyczamy jeszcze 30 zł (razem 65) i dokupujemy za to 0.25 akcji
(po cenie 120 zł za akcję).
3
Pożyczamy jeszcze 35 zł (razem 100) i dokupujemy za to 0.25
akcji (po cenie 140 zł za akcję). W tej chwili mamy 1 akcje i 100
zł długu.
4
Sprzedajemy 1 akcję za 120 zł, wypłacamy posiadaczowi opcji 20
zł i oddajemy 100 zł długu do banku.
Podobnie możemy rozpisać pozostałe scenariusze.
Bartosz Ziemkiewicz
38/40
Parytet kupna sprzedaży
W podobny sposób możemy wycenić europejską opcję sprzedaży.
Jedyna różnica polega na tym, że przy wypełnianiu ostatniego
poziomu drzewka (t = 3) używamy innej funkcji wypłaty:
(K − ST )+ zamiast (ST − K )+ .
Okazuje się jednak, że jeżeli mamy wyznaczoną cenę C0
europejskiej opcji kupna, to wyznacza nam już ona cenę P0
europejskiej opcji sprzedaży (z tą samą ceną wykonania K
i terminem wykonania T ).
C0 − P0 = S0 − K (1 + r )−T
(1)
Wzór ten nazywamy parytetem kupna-sprzedaży (ang. put-call
parity).
W przypadku, gdy stosujemy ciągły model kapitalizacji, czynnik
dyskontujący (1 + r )−T zastępujemy przez e −rT .
Dla danych z naszego przykładu (K = 100, S0 = 100, r = 0,
T = 3, C0 = 15) cena europejskiej opcji sprzedaży wynosi
P0 = C0 − S0 + K = 15.
Bartosz Ziemkiewicz
39/40
Model Coxa-Rossa-Rubinsteina (CRR)
Dotychczas zakładaliśmy że w każdym z momentów
t = 0, 1, . . . , T cena akcji może się zmienić na dwa sposoby, tzn.
St = St−1 (1 + a) lub St = St−1 (1 + b), gdzie −1 < a < b.
Powstaje problem jak dobierać parametry a i b, tak aby model
dwumianowy jak najlepiej przybliżał prawdziwy proces cen akcji.
Zazwyczaj wykorzystuje się współczynnik σ określający zmienność
ceny akcji (ang. volatility). Jest to pewnego rodzaju miara
niepewności co do przyszłych zmian tej ceny. Możemy ją
wyznaczyć empirycznie jako odchylenie standardowe stopy zwrotu
tego instrumentu.
Przyjmujemy, że
1 + a = e −σ
√
δt
,
1 + b = eσ
√
δt
,
gdzie δt jest krokiem czasowym, tzn. odstępem między kolejnymi
momentami, w których można dokonywać transakcji.
Bartosz Ziemkiewicz
40/40

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Transkrypt

Podobne dokumenty

1 690 000 337.24 m2 - Bartosz Piwowarski Inwestycje w

Pobierz - ePrasa.pl

1. Przyjęcie protokołu z poprzedniego posiedzenia. 2. Przyjęcie

Spis-książek

Do Rzeczy nr 35

Załącznik do konkursu POLOWANIE NA MOTYLE Lista aktorów 1

Przygotowanie środowiska Matlab/Simulink do pracy w czasie

Ochrona przed złośliwym oprogramowaniem