RWiT_zadania

Zestaw - rachunek wektorowy i tensorowy
Zadanie 1. Wykonać odpowiednie działania na wektorach:
a) x = (1, 0, −2), y = (−1, 1, 3), z = (−2, 0, 1) obliczyć: 2x + 3y + 4z;
b) x = (1, 2, 3, 4, 5), y = (−5, −4, −3, −2, −1) obliczyć: −(−x − y);
c) x1 = (a, b), x2 = (c, d), x3 = (e, f ), x4 = (g, h) obliczyć: 2a(x1 +x2 )−2b(x3 −x4 ).
Zadanie 2. Udowodnić, że w przestrzeni wektorowej R4 dla dowolnych wektorów x, y ∈ R4
oraz skalara α ∈ R zachodzą własności:
a) αx + αy = α(x + y);
b) αx − αx = 0;
c) x + y = −(−x − y).
Zadanie 3. Wykazać, że dane układy wektorów są liniowo niezależne:
a) {(5, 0, 0), (0, 5, 0), (0, 0, 5)};
b) {(1, 2), (0, −3)};
c) {(1, 2, 3), (0, 2, −1), (−1, −1, 0)};
d) {(0, 0, 0, 1), (0, 0, 2, 1), (0, 3, 2, 1), (1, 1, 1, 1)}.
Zadanie 4. Wykazać, że dane układy wektorów są liniowo zależne:
a) {(1, 2), (2, 4)};
b) {(1, 2, 3), (0, −1, −2), (1, 1, 1)};
c) {(−2, 1), (1, 3), (−1, 2)}.
Zadanie 5. Sprawdzić, czy dany układ wektorów tworzy bazę w danej przestrzeni:
a) {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} w R3 ;
b) {(1, 1, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 1)} w R3 ;
c) {(1, 2), (3, 4), (5, 6)} w R2 ; d) {(−1, 0, 0, 0), (0, −2, 0, 0), (0, 0, −3, 0), (1, 2, 3, 0)} w R4 .
Zadanie 6. Wyznaczyć współrzędne wektora x w danej bazie:
a) x = (1, 2) w bazie B = {(2, 3), (1, −2)};
b) x = (−1, 2, 0) w bazie B = {(1, 2, 3), (1, 2, 0), (1, 0, 0)};
c) x = (−2, 2, 2, 1) w bazie B = {(1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1)};
d) x = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) w bazie kanonicznej.
Zadanie 7. Wykazać, że dane przekształcenie jest przekształceniem liniowym:
a) T : R2 → R2 , T (x, y) = (x + y, x − y);
b) T : R4 → R2 , T (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (2x1 + 3x4 , 4x3 );
c) T : R3 → R, T (a, b, c) = a + b + c.
Zadanie 8. Znaleźć macierz przekształcenia liniowego T w bazach E i G:
a) T : R2 → R3 , T (x, y) = (x, y, x + y),
E = {(1, 2), (−1, 3)}, G = {(1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3)};
b) T : R3 → R2 , T (x, y, z) = (x + y, y + z),
E = {(1, 2, 3), (0, 1, 0), (0, 0, −1)}, G = {(1, 2), (1, 0)};
c) T : R4 → R4 , T (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (2x4 , 3x3 , 4x2 , x1 + x2 + x3 + x4 ),
E = G — baza kanoniczna.
Zadanie 9. W pewnych ustalonych bazach przestrzeni R2 odwzorowania liniowe T1 : R2 →
R2 i T2 : R2 → R2 mają macierze przekształceń równe odpowiednio
[
]
[
1 2
A1 =
,
−1 3
]
0 1
A2 =
.
1 2
Znaleźć macierz przekształcenia liniowego T : R2 → R2 w tych samych bazach, jeśli przekształcenie to jest zdefiniowane:
a) T (x, y) = 2 T(1 (x, y) −)3 T2 (x, y);
b) T (x, y) = T1 T2 (x, y) ;
c) T (x, y) = T2−1 (x, y) (odwzorowanie odwrotne do T2 ).
1
Zadanie 10. Znaleźć macierz przejścia z bazy E do bazy G, jeśli:
a) E = {(0, 2), (1, 1)}, G = {(−1, 0), (1, 2)};
b) E = {(0, 0, −1), (0, 1, 0), (−1, 0, 0)}, G = {(1, 2, 2), (1, 2, 0), (1, 0, 0)};
c) E — baza kanoniczna w R4 , G = {(1, 1, 1, 1), (0, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 0)}.
Zadanie 11. Znaleźć macierz przejścia z bazy G do bazy E dla baz z poprzedniego zadania
(bezpośrednio lub licząc odpowiednie macierze odwrotne).
Zadanie 12. Mając współrzędne wektora XE w bazie E znaleźć jego współrzędne XG
w bazie G:
[ ]
−1
a) E = {(0, 1), (2, 0)}, G = {(1, 0), (0, 2)}, XE =
;
3
[ ]
b) E = {(1, 1), (−1, 0)},
G = {(0, 2), (2, 2)},
XE =
0
;
1
 
1
c) E = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)},
G = {(0, 2, 2), (2, 2, 2), (0, 0, 2)},
XE
 
= 2;
3
Zadanie 13. Mając daną macierz AE przekształcenia liniowego T w bazie E (w bazach
E i E) znaleźć
[
]macierz AG tego przekształcenia w bazie G (w bazach G i G):
0 1
a) AE =
, E = {(1, 1), (2, 0)}, G = {(1, 0), (2, 2)};
1 2
[
]
−1 −1
b) AE =
,
−2 −2

E = {(−1, 0), (1, 1)},
G = {(−1, −1), (0, −1)};

1 2 3


c) AE = 3 2 1,
0 −1 0
E = {(1, 1, 1), (1, 0, 0), (0, 0, −1)},
G — baza kanoniczna.
Zadanie 14. Znaleźć wektor formy liniowej T w bazie E:
a) T : R2 → R, T (x, y) = 2x + 3y, E = {(−1, 2), (0, −1)};
b) T : R3 → R, T (x, y, z) = x + y + z, E = {(1, 2, 3), (0, −1, −1), (−2, 2, 0)};
c) T : R7 → R, T (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ) = x1 − x2 + x3 − x4 + x5 − x6 + x7 ,
E — baza kanoniczna w R7 .
Zadanie 15. Mając dane współrzędne (wektor) AE formy liniowej T w bazie E znaleźć
współrzędne AG tej formy w bazie G:
a) AE = [2 3]; E = {(2, 0), (0, 2)}, G = {(−1, −1), (0, 2)};
b) AE = [−1 1 2]; E = {(0, 0, −1), (−1, 0, 0), (1, 1, 1)},
G = {(−1, −1, 0), (1, 2, 1), (0, 0, 1)};
c) AE = [1 2 3 4]; E — baza kanoniczna w R4 ,
G = {(1, 2, 3, 4), (1, 2, 3, 0), (1, 2, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.
Zadanie 16. Jaki jest typ i rząd danego tensora:
a) skalar α ∈ R;
b) wektor x ∈ R5 ;
c) wektor x ∈ R7 ;
d) forma liniowa T : R3 → R;
e) forma liniowa T : R5 → R;
3
3
f) forma dwuliniowa T : R × R → R;
g) forma dwuliniowa T : R2 × R2 → R;
3
3
h) przekształcenie liniowe T : R → R ;
i) przekształcenie liniowe T : R100 → R100 .
2