RWiT_zadania
Transkrypt
RWiT_zadania
Zestaw - rachunek wektorowy i tensorowy Zadanie 1. Wykonać odpowiednie działania na wektorach: a) x = (1, 0, −2), y = (−1, 1, 3), z = (−2, 0, 1) obliczyć: 2x + 3y + 4z; b) x = (1, 2, 3, 4, 5), y = (−5, −4, −3, −2, −1) obliczyć: −(−x − y); c) x1 = (a, b), x2 = (c, d), x3 = (e, f ), x4 = (g, h) obliczyć: 2a(x1 +x2 )−2b(x3 −x4 ). Zadanie 2. Udowodnić, że w przestrzeni wektorowej R4 dla dowolnych wektorów x, y ∈ R4 oraz skalara α ∈ R zachodzą własności: a) αx + αy = α(x + y); b) αx − αx = 0; c) x + y = −(−x − y). Zadanie 3. Wykazać, że dane układy wektorów są liniowo niezależne: a) {(5, 0, 0), (0, 5, 0), (0, 0, 5)}; b) {(1, 2), (0, −3)}; c) {(1, 2, 3), (0, 2, −1), (−1, −1, 0)}; d) {(0, 0, 0, 1), (0, 0, 2, 1), (0, 3, 2, 1), (1, 1, 1, 1)}. Zadanie 4. Wykazać, że dane układy wektorów są liniowo zależne: a) {(1, 2), (2, 4)}; b) {(1, 2, 3), (0, −1, −2), (1, 1, 1)}; c) {(−2, 1), (1, 3), (−1, 2)}. Zadanie 5. Sprawdzić, czy dany układ wektorów tworzy bazę w danej przestrzeni: a) {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} w R3 ; b) {(1, 1, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 1)} w R3 ; c) {(1, 2), (3, 4), (5, 6)} w R2 ; d) {(−1, 0, 0, 0), (0, −2, 0, 0), (0, 0, −3, 0), (1, 2, 3, 0)} w R4 . Zadanie 6. Wyznaczyć współrzędne wektora x w danej bazie: a) x = (1, 2) w bazie B = {(2, 3), (1, −2)}; b) x = (−1, 2, 0) w bazie B = {(1, 2, 3), (1, 2, 0), (1, 0, 0)}; c) x = (−2, 2, 2, 1) w bazie B = {(1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1)}; d) x = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) w bazie kanonicznej. Zadanie 7. Wykazać, że dane przekształcenie jest przekształceniem liniowym: a) T : R2 → R2 , T (x, y) = (x + y, x − y); b) T : R4 → R2 , T (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (2x1 + 3x4 , 4x3 ); c) T : R3 → R, T (a, b, c) = a + b + c. Zadanie 8. Znaleźć macierz przekształcenia liniowego T w bazach E i G: a) T : R2 → R3 , T (x, y) = (x, y, x + y), E = {(1, 2), (−1, 3)}, G = {(1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3)}; b) T : R3 → R2 , T (x, y, z) = (x + y, y + z), E = {(1, 2, 3), (0, 1, 0), (0, 0, −1)}, G = {(1, 2), (1, 0)}; c) T : R4 → R4 , T (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (2x4 , 3x3 , 4x2 , x1 + x2 + x3 + x4 ), E = G — baza kanoniczna. Zadanie 9. W pewnych ustalonych bazach przestrzeni R2 odwzorowania liniowe T1 : R2 → R2 i T2 : R2 → R2 mają macierze przekształceń równe odpowiednio [ ] [ 1 2 A1 = , −1 3 ] 0 1 A2 = . 1 2 Znaleźć macierz przekształcenia liniowego T : R2 → R2 w tych samych bazach, jeśli przekształcenie to jest zdefiniowane: a) T (x, y) = 2 T(1 (x, y) −)3 T2 (x, y); b) T (x, y) = T1 T2 (x, y) ; c) T (x, y) = T2−1 (x, y) (odwzorowanie odwrotne do T2 ). 1 Zadanie 10. Znaleźć macierz przejścia z bazy E do bazy G, jeśli: a) E = {(0, 2), (1, 1)}, G = {(−1, 0), (1, 2)}; b) E = {(0, 0, −1), (0, 1, 0), (−1, 0, 0)}, G = {(1, 2, 2), (1, 2, 0), (1, 0, 0)}; c) E — baza kanoniczna w R4 , G = {(1, 1, 1, 1), (0, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 0)}. Zadanie 11. Znaleźć macierz przejścia z bazy G do bazy E dla baz z poprzedniego zadania (bezpośrednio lub licząc odpowiednie macierze odwrotne). Zadanie 12. Mając współrzędne wektora XE w bazie E znaleźć jego współrzędne XG w bazie G: [ ] −1 a) E = {(0, 1), (2, 0)}, G = {(1, 0), (0, 2)}, XE = ; 3 [ ] b) E = {(1, 1), (−1, 0)}, G = {(0, 2), (2, 2)}, XE = 0 ; 1 1 c) E = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}, G = {(0, 2, 2), (2, 2, 2), (0, 0, 2)}, XE = 2; 3 Zadanie 13. Mając daną macierz AE przekształcenia liniowego T w bazie E (w bazach E i E) znaleźć [ ]macierz AG tego przekształcenia w bazie G (w bazach G i G): 0 1 a) AE = , E = {(1, 1), (2, 0)}, G = {(1, 0), (2, 2)}; 1 2 [ ] −1 −1 b) AE = , −2 −2 E = {(−1, 0), (1, 1)}, G = {(−1, −1), (0, −1)}; 1 2 3 c) AE = 3 2 1, 0 −1 0 E = {(1, 1, 1), (1, 0, 0), (0, 0, −1)}, G — baza kanoniczna. Zadanie 14. Znaleźć wektor formy liniowej T w bazie E: a) T : R2 → R, T (x, y) = 2x + 3y, E = {(−1, 2), (0, −1)}; b) T : R3 → R, T (x, y, z) = x + y + z, E = {(1, 2, 3), (0, −1, −1), (−2, 2, 0)}; c) T : R7 → R, T (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ) = x1 − x2 + x3 − x4 + x5 − x6 + x7 , E — baza kanoniczna w R7 . Zadanie 15. Mając dane współrzędne (wektor) AE formy liniowej T w bazie E znaleźć współrzędne AG tej formy w bazie G: a) AE = [2 3]; E = {(2, 0), (0, 2)}, G = {(−1, −1), (0, 2)}; b) AE = [−1 1 2]; E = {(0, 0, −1), (−1, 0, 0), (1, 1, 1)}, G = {(−1, −1, 0), (1, 2, 1), (0, 0, 1)}; c) AE = [1 2 3 4]; E — baza kanoniczna w R4 , G = {(1, 2, 3, 4), (1, 2, 3, 0), (1, 2, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}. Zadanie 16. Jaki jest typ i rząd danego tensora: a) skalar α ∈ R; b) wektor x ∈ R5 ; c) wektor x ∈ R7 ; d) forma liniowa T : R3 → R; e) forma liniowa T : R5 → R; 3 3 f) forma dwuliniowa T : R × R → R; g) forma dwuliniowa T : R2 × R2 → R; 3 3 h) przekształcenie liniowe T : R → R ; i) przekształcenie liniowe T : R100 → R100 . 2