MODELOWANIE MATEMATYCZNE AUTOMATYCZNIE

M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
1 STOSOWANA
3- 4, 23 (1985)
1
MODELOWANIE MATEMATYCZNE AUTOMATYCZNIE STEROWANEGO
Ś MIGŁOWC
A W RUCHU PRZESTRZENNYM
KRZYSZTOF JAN KOWSKI (WARSZ AWA)
JERZY MARYN IAK
Politechnika Wavsza wska
1. Wstę p
Przedmiotem prezentowanej pracy jest zbudowanie modelu fizycznego i matematycznego ś migł owca wraz z umieszczonym na nim ukł adem sterowania automatycznego,
przy moż liwie mał ej liczbie zał oż eń upraszczają cych. Celowość zbudowania takiego
modelu wynika z potrzeby bardziej dokł adnego zbadania szeregu zagadnień dynamiki
ruchu przestrzennego ś migł owca z uwzglę dnieniem wszystkich gł ównych stopni swobody,
wpływu ruchu wirnika noś nego, ś migła ogonowego, statecznika poziomego oraz turbin silników. W dotychczas opublikowanych pracach z tej tematyki [6, 8, 10] zagadnienia
te nie są cał oś ciowo rozpatrywane.
Czę sto stawiane jest zadanie uwzglę dnienia w opisie matematycznym ś migł owca
peł niejszych charakterystyk masowych ł opat wirnika noś nego i ś migła ogonowego oraz
statecznika: momentów bezwł adnoś ci wzglę dem ich osi podł uż nej, momentów dewiacyjnych oraz statycznych (wyważ enia ł opat) [1, 6, 9, 10]. W takim przypadku, jeś i l uwzglę dnia
się jednocześ nie wię zy nakł adane przez ukł ad sterowania automatycznego, rozpatrywany
ukł ad mechaniczny jest ukł adem nieholonomicznym (najczę ś ciej są to wię zy kinematyczne,
niecał kowalne i nie sprowadzają ce się do wię zów geometrycznych). Dzieje się tak dlatego,
że ką ty ustawienia ł opat są obecnie współ rzę dnymi uogólnionymi, opisują cymi poł oż enie
ukł adu mechanicznego. Ponieważ ś migł owce nie mają dobrych wł asnoś ci dynamicznych
i charakterystyk statecznoś ci [V, 8, 9], na wię kszoś ci etapów lotu korzystają z ukł adów
podwyż szania statecznoś ci. W zwią zku z tym uwzglę dnianie wię zów nieholonomicznycb
przy budowaniu peł nych modeli dynamicznych ś migł owców jest niezbę dne.
2. M odel fizyczny obiektu oraz współ rzę dne opisują ce poł oż enie jego elementów
Przyjmuje się , że rozpatrywany jednowirnikowy ś migł owiec jest ukł adem mechanicznym, którego gł ówną czę ś cią jest sztywny kadł ub oraz nastę pują ce sztywne elementy,
mogą ce zmieniać swe poł oż enie wzglę dem kadł uba:
428
K. JANKOWSKI, J. MARYNIAK
— czę śi c obrotowe silników turbinowych ze swobodną turbiną,
— piasta wirnika noś nego z wał em i ukł adem przenoszenia mocy,
— ł ą czniki ł ą cząe c za pomocą przegubów poziomych i pionowych piastę z ł opatami,
— ł opaty wirnika noś nego,
— piasta ś migła ogonowego,
— ł opaty ś migła ogonowego, przegubowo mocowane do piasty,
— statecznik poziomy.
D la opisu ruchu kadł uba w przestrzeni wykorzystuje się nastę pują e c ukł ady odniesienia
[4] (rys. 1):
1*9
Rys. 1. Transformacja quasi- eulerowska
— nieruchomy ukł ad grawitacyjny O0xgygzg zwią zany z Ziemią,
— ukł ad grawitacyjny Oxgygzg zwią zany ze ś rodkiem masy kadł uba,
— ukł ad Oxyz, sztywno zwią zany z kadł ubem, którego oś Oz jest równoległ a do osi wał u
wirnika noś nego (rys. 2).
Chwilowe poł oż enie kadł uba wyznaczone jest przez współ rzę dne xg , yg, zg jego ś rodka
masy w nieruchomym ukł adzie współ rzę dnych oraz przez quasi- eulerowskie ką y t obrotu
(samolotowe) (f>, 0, W (rys. 1).
D la opisu ruchu pozostał ych elementów ś migł owca wprowadzono odpowiednie ukł ady
współ rzę dnych, sztywno zwią zane z kadł ubem, równoległ e do Oxyz (rys. 2, rys. 3). Poł oż enie danego elementu bę dzie wyznaczone, jeż eli poda się jego poł oż enie ką towe wzglę dem
wł aś ciwego ukł adu współ rzę dnych.
Poł oż enie turbiny napę dowej i turbiny sprę ż ark
i silnika lewego opisują ką y t y>, t i fu
ich obrotu dookoł a osi Oslxsl (rys. 3), a dla silnika prawego odpowiednio ką y t f, p i fkp.
Chwilowe poł oż enie /- tej ł opaty wirnika noś nego wyznaczają współ rzę dne punktu O3
w ukł adzie O2x2y2z2 oraz ką ty: ft — azymutu, & — wahań, £, — odchylenia oraz
M OD U LOWAN IE AU TOM ATYCZN IE STEROWAN EG O... 429
f, — ustawienia ł opaty (rys. 4). Kąt ipt zwią zany jest z ką tem obrotu piasty wirnika noś nego
nastę pują ą c zależ noś cią
:
V
, „ V + _ £ L , ( i = 0 , 1 , . . . , «- ! ) , (1)
gdzie: n — liczba ł opat.
Poł oż enie ./- tej ł opaty ś migła ogonowego opisuje się podając poł oż enie począ tku ukł adu
O5xsy5zs w ukł adzie O4.X4.y4z4 oraz ką tami: yjsj — azymutu, C —wah ań i c ^ —u st at obrotu piasty ś migł a:
wienia ł opaty (rys. 5). Kąt yjsJ w nastę pują y c sposób zależy od ką a Vi - Vi+- ^- . U = 0 , 1 , . . . , m - 1 ) , (2)
gdzie m — liczba ł opat ś migła ogonowego.
Poł oż enie statecznika poziomego wyznacza kąt <psl jego obrotu dookoł a osi O6yCl.
3. Wię zy geometryczne i kinematyczne nał oż one na ukł ad
N a współ rzę dne, opisują ce poł oż enie punktów rozpatrywanego ukł adu mechanicznego,
nał oż one są nastę pują e c ograniczenia, wynikają ce ze struktury kinematycznej ś migł owca:
— sprzę ż eni
e ką a obrotu piasty t
wirnika noś nego z ką tami obrotów turbin napę dowych
silników:
Wtp = fti = hf, (3)
— sprzę ż eni
e ką a t obrotu ś migła ogonowego z ką tem obrotu wirnika noś nego:
— zwią zek ką a t ustawienia i- tej ł opaty wirnika noś nego z ką tami okreś lanymi przez
ukł ad sterowania i kompensator wzniosu ł opaty:
gdzie:
ęg — kąt skoku ogólnego,
Aę — kąt skrę cenia ł opaty wzglę dem przekroju począ tkowego,
k — współ czynnik kompensatora wzniosu ł opaty,
0 i , 0 2 ' —k ą yt pochylenia tarczy sterują cej na azymutach 90° i 0°;
—• zależ nośi cką tów pochylenia tarczy sterują cej od ką tów sterowania w ruchu podł użnym H i ruchu bocznym ij:
0! = x sin ^o + ?? cos y>0, (6)
O)
gdzie y>0 — kąt wyprzedzenia sterowania;
— zależ ność ką a t ustawienia y- tej ł opaty ś migła ogonowego od ką a t sterowania <ps:
430 K . JAN KOWSKI , J . M AU YN I AK
— zależ ność ką at ustawienia statecznika poziomego od ką a t skoku ogólnego ł opat
wirnika noś nego:
<pst = Ao + Arfg + Aitf, (9)
gdzie A0,At,A2 — stał e współ czynniki.
z geometryczne nał oż one n a ukł ad. Obecność ukł adu automatycznego
Są to wię y
z kinematyczne,
sterowania lotem nakł ada n a rozpatrywany obiekt nastę pują e c wię y
liniowe wzglę dem prę dkośi c [7, 9]:
— prawo sterowania w kanale pochylania:
7i k+% = k o(8 - O,) + k qQ + k x{xa - xgz) + kj. {xg - °xBZ) + »0 ,
— prawo sterowania w kanale przechylania:
— prawo sterowania w kanale wysokoś ci:
T iV, + %=' fc«(*«- 2H ) + fc*A/ + 9to>i (12)
— prawo sterowania w kanale odchylania:
r *# , + 9 , - hfCF- Wj+ KR+ iprt. (13)
W równaniach tych T 1 ~ T A oznaczają stał e czasowe czł onów inercyjnych, opisują cych
charakterystyki dynamiczne elementów wykonawczych autopilota [7, 8, 9], wielkoś ci
z indeksem „ z" oznaczają zadane wartoś ci parametrów lotu, a indeks „ o " przy symbolu
ką a t sterowania oznacza jego wartość w stanie ustalonym (począ tkowym). Wybrany stan
pracy ukł adu automatycznego sterowania lotem otrzymuje się przez nadanie odpowiednich
wartoś ci (w tym zerowych) współ czynnikom wzmocnienia k a.
Ponieważ zwią zki opisują ce wię y
z kinematyczne są niecał kowalne, rozpatrywany ukł ad
mechaniczny jest ukł adem nieholonomicznym.
4. Współ rzę dn
e uogólnione i quasi — prę dkoś i c
Obecnie moż na opisać zbiór współ rzę dnych, wyznaczają cych w sposób zupeł ny poł oż enie rozpatrywanego ukł adu. Są t o : .
— współ rzę dne ś rodka masy kadł uba ś migł owca w ukł adzie O0xgygzg: q± - x,,
Iz = ya, li = zt;
— ką y t quasi — eulerowskie: qA = 0, qs = d, q6 = W (rys. 1);- •
— kąt obrotu piasty wirnika noś nego: q1 — y> (rys. 4a);
— ką y t wahań ł opat wirnika: g 8 + 1 - £,,. (i = 0, 1, . . . , n - l ) , (rys. 4a);
— ką y t obrotów ł opat wirnika wokół przegubów pionowych:
2.1+8+1 = £u (i = 0, 1, . . . , n- 1), — ką y t wahań ł opat ś migła ogonowego: «2n+ s+ j= Cj, (rys. 4a);
;.
( / = 0, l , . . . , m - l ) , (rys. 5a);
— ką y t obrotów turbin sprę ż are
k silników: • -•
92n+ m+ 8 = V«» - «2n + m+ 9 = Wkp ( r yS - 3b)j
431
MODELOWANIE AUTOMATYCZNIE STEROWANEGO...
— ką ty sterowan ia: qi + l = H, qt+2 - v\ , qi+3 = <pg, qi+4 = %, gdzie / = 2n+m + 9.
Liczba współ rzę dnych uogólnionych jest wię c równa k = 2«+ m + 13.
Jako quasi — prę dkoś ci wygodnie jest przyją ć nastę pują ce parametry kinematyczne:
— rzuty wektora prę dkoś ci ś rodka masy kadł uba ś migł owca Vc na osie ukł adu Oxyz:
U
V
W
CO 2
- j.1 a22 a31 a32 a23
a33]
(14)
°yfl
gdzie współ czynniki au są równe:
fln = cos0cosĄ y , a12 = cos0sin l l y , a13
(15)
a23 =
a22 =
7
a32 = cos 0 sin 6 sin!/ , a33 = co s$co ś 0.
rzuty wektora prę dkośi c ką towej kadł uba £2 na osie ukł adu Oxyz:
<o6
p
1
0
—sinfl
Q
0
c o s*
cos0sin0
R
0 - s i n * COS0COS0
(16)
0
w
— czę ćś quasi — prę dkoś i c przyję o t jako równe pochodnym współ rzę dnych uogólnionych:
gdzie: i = 0, 1, ..., « — \ ; j = 0, 1, ...,m— 1.
— ostatn ie quasi — prę dkoś i c zostan ą t ak wprowadzon e [5], aby n a mocy równ ań
wię zów kin em atyczn ych ( 1 0 ) H - ( 1 3 ) był y równ e zeru :
(18)
al+i =
v, (19)
(20)
(21)
Ilość stopni swobody / przyję tego modelu ś migł owca równa jest róż nicy liczby współ rzę dnych uogólnionych k i liczby wię zów nieholonomicznych: l — k—4 = 2n+tn+9.
5. Energia kinetyczna ukł adu
Energia kinetyczna ukł adu jest sumą energii kinetycznych kadł uba i pozostał ych
elementów. Po wyznaczeniu prę dkoś i c absolutnych Ve (wzglę dem nieruchomego ukł adu
ziemskiego) punktów należ ą cyc
h do danego elementu e jego energia kinetyczna jest równa:
Y.- YJm.
(22):
I Z
Rys. 2. Położ enie ukł adów sztywno zwią zanych z kadł ubem
a)
Rys. 3. Układy okreś lają ce ruch silników; a) położ enie ukł adów zwią zanych z kadł ubem ś migłowca, b
schemat rozmieszczenia turbin silnika lewego i kierunki ich obrotów
[432|
M OD ELOWAN I E AU TOMATYCZN IE STEROWAN EG O...
X
433
3
Rys. 4. Poł oż enie ukł adów zwią zanych z ;'- tą łopatą wirnika noś nego
Przy cał kowaniu uwzglę dnia się peł ne charakterystyki masowe poszczególnych elementów. Wektory prę dkoś ci punktów należ ą cych do poszczególnych elementów moż na
zdefiniować w nastę pują cy sposób:
a) wektor prę dkoś ci dowolnego punktu kadł uba:
Vpk = Vc+Slxrk , (23)
gdzie rk — wektor ł ą czą cy ś rodek masy kadł uba z bież ą cym punktem kadł uba;
b) wektor prę dkoś ci punktu turbiny napę dowej (dla pozostał ych turbin wektory
prę dkoś ci definiowane są analogicznie):
V„ - V.+ OxOfc+ fciHfoiXr,!, (24)
gdzie h s( — wektor ł ą czą cy punkt O z punktem Osl (rys. 3), r, ( — wektor łą czą cy punkt
Osl z punktem turbiny;
c) wektor prę dkoś ci punktu piasty wirnika noś nego:
V, = V a + a x( h < > a + r , ) + ^ xr , , (25)
gdzie h 0 2 — wektor łą czą cy punkty O i O2 (rys. 2),
rP — wektor ł ą czą cy punkt O2 z punktem piasty;
V r = V«, + fl x( h o 4 + l j+ i v) + $ x( l i + r r ) + & xr „ 6 M ech. Teoret. i Stos. 3- 4/85
(26)
434
K . jAN KOWSKr, J . MARYNIAK
d) wektor prę dkoś ci punktu i- tego ł ą cznika piasty:
gdzie li — wektor ł ą czą cy punkt O2 z przegubem poziomym (rys. 4), r r — wektor łą czą cy
przegub poziomy z punktem na osi / - tego ł ą cznika;
e) wektor prę dkoś ci punktu /- tej ł opaty:
5
V, = V e + i3ix( h O 3 + l 1 + l 2 + r , ) + wx0 1 + ł 2 + ^ + j3j> < ( l 3 - ' + r O + ^ xr i + 4ijXr,, (27)
gdzie 12 — wektor ł ą czą cy ś rodki przegubów poziomego i pionowego (rys. 4), r ; — wektor
ł ą czą cy punkt O3 z dowolnym punktem ł opaty;
f) wektor prę dkoś ci punktu piasty ś migła ogonowego:
x ( h 0 4 + r p
(28)
Rys. 5. Poł oż enie ukł adów zwią zanych z / - tą ł opatą ś migła ogonowego
gdzie h 0 4 — wektor ł ą czą cy punkty O i 0A (rys. 2), rps — wektor ł ą czą cy pun kt< 3 4 z.punktem piasty;
, g) wektor prę dkoś ci punktu należ ą cego do > tej ł opaty ś migła ogonowego:
Vf - V. + ftx( ho4+ l3 . + 0 . + ^, x( l, tx^)+ fexr, + . ^xr, ; (29)
gdzie J 3 — wektor ł ą czą cy punkty 04 i 03 (rys. 5), r, — wektor ł ą czą cy punkt 03 z dowolnym punktem ł opaty ś migł a;
MOD EtXWAN IE AUTOMATYCZNIE STEROWANEGO... 435
h) wektor prę dkośi c punktu należ ą ceg
o do statecznika poziomego:
V.„ = Vc + SŁ x ( h 0 + r .„) + <ps, x r .„, (30)
gdzie h 0 6 — wektor ł ą czą y punkty c
O i O6 (rys. 2), r„ — wektor ł ą cząy punkt O
c
6 z dowolnym punktem statecznika.
6. Sił y uogólnione
Dział ają ce na ukł ad sił y uogólnione skł adają się z sił i momentów aerodynamicznych,
cię ż arowych
, napę dowych, sprę ż ystyc
h i tł umią cych.
Poniż ej podane zostaną skł adowe w ukł adzie Oxyz sił i momentów aerodynamicznych
i napę dowych dział ają cych n a kadł ub wraz ze skrzydł em, statecznikiem poziomym i pionowym. Współ czynniki sił aerodynamicznych mierzone są w ukł adzie pół zwią zanym z przepł ywem wokół poszczególnych elementów, a współ czynniki momentów aerodynamicznych — wokół osi ukł adu zwią zanego z kadł ubem Oxyz.
%% = - y QVI S sk (Cxk cos ak - Csk sin a^ ~ y QV2k S sk (Cx, k cos a s k - Czsk sin ask) +
—o- C ^»Ą (C
w cosa B - C
2
n - - YQVlS sk Cyk - jQVlS sk Cysk - ~ 2~QV vS 0(CxvsinKv+ ^
+ C,„cos «„) + Y rR + Y„P+ Y",
k= —j QVl S sk (Cxk sm ak +Czk cos xk) - ~- e V% S sk (Cxsk sin ask + C„tcos ask )+
y
wt $m(Cxst sin o>st + Cm cos «st ) + Z qQ + Z",
U = y &VI SJa Clk + y QV£SJ, Clsk ~Y QVl S^iC^sin a„+
+ Cyvcos<xD)+L pP+L rR, VlSJC '(32)
+ V l S l C V
2
S [ { C
+ C 5 s ( cos <xst)h7 + ( C I S «sin a s t - Cxstcosa.st)h8]+M qQ- Ni - - jQVlS sk laCnh 2
+ ~QV skSJaC„sk + X"hlQ,
2
^- QV vS vxll(Cxl>smav+
+ Cyvcosav)+N pP+N rR.
W równaniach tych 2f" oznacza skł adową wzdł uż osi Ox sił y odrzutu gazów z dysz
wylotowych silników turbinowych. Pozostał e symbole są zwykle stosowane przy opisach
sił i momentów aerodynamicznych, czę ćś z nich uwidoczniono na rys. 6.
Opisu aerodynamiki ł opat wirnika noś nego i ś migła ogonowego dokonano przy przyję ciu hipotezy opł ywu quasi- ustalonego [10]. Rozpatrywany schemat sił i momentów
6*
436
K. JANKOWSKI, J. MARVNIAK
b)
Rys. 6. Widoki ś migł owca z boku (a) i z góry (b) z zaznaczonymi parametrami wystę pują cym
i w opisie
aerodynamiki kadł uba
pozwala znacznie rozszerzyć model opł ywu ł opaty, przyję y t w teorii G lauerta- Locka
[8,10].
Obcią ż eni
e przekroju z- tej ł opaty wirnika poł oż onego w odległ oś ci /• od przegubu
pionowego skł ada się z sil elementarnych - —£- , —vf- oraz momentu —3— (rys. 4, rys. 7).
Po zrzutowaniu na osie otrzymujemy:
1x3 —- COSIX,*-
dr
sin «• - - y ą bV,(C, Vzi + Cx Vxi),
(33)
dr
+ Cz(Vxl cos 99, + F r ( sin 9?,)].
Kąt natarcia przekroju ł opaty:
a, = (pt - a* - <pt - arctg ~^~,
"xi
\ ...;'.
M OD E LOWAN I E AU TOM ATYCZN IE STEROWAN EG O...
437
Rys. 7. Obcią ż enie przekroju ł opaty wirnika noś nego
gdzie skł adowe wzdł uż osi O3x3 i O3z3 prę dkoś ci przekroju ł opaty wzglę dem opływają cego
czynnika są równe:
Vxi = ( Vzi = ( -
(35)
+ 1 2 + r) + pt(l2 + r)+vt cos Pt,
a vt oznacza aktualną dla danego azymutu ipi i promienia r skł adową prę dkoś ci indukowanej.
Rzuty sił aerodynamicznych, dział ają cych na wirnik noś ny, na osie ukł adu Oxyz mają
nastę pują cą postać:
n- l R,
1 = 0 O
H - l Rt
(36)
j 0 0
n - l X
i- O 0
Momenty aerodynamiczne wirnika wokół osi ukł adu Oxyz:
n- l X,
(= 0 0
n- t X,
M« - y f
f = o o
A
n - l Rt
" = 2 J
(37)
438 K. JAN KOWSKI , J. M AKVN IAK
W równaniach tych R lx, i?,, Ri są rzutami wektora ł ą czą ceg
o począ tek ukł adu Qxy:
z punktem na osi i- tej ł opaty. Współ czynniki b\ x (elementy macierzy przejś cia od ukiadu
są równe:
03X3^323 do ukł adu O2x2y2z2) Sial(, b\ 2 - sin ft sin & + cos ^j cos/ ?, cos £,- ,
i bii = - sin(3,sin I ;, sin^fsin/ 5,, ' >
H 2 = - sin/ ?iCos£;, fo 33 = - COS/ Jj.
Moment aerodynamiczny wirnika wokół jego osi obrotu jest równy:
r.o o (39)
Moment aerodynamiczny ('- tej ł opaty wzglę dem osi przegubu poziomego moż n. wyrazić
w nastę pująy c sposób:
Mfa - / taisCIj+ J- ooś W- ^asinija- ;
•• • natomiast moment wzglę dem przegubu pionowego jest równy: (40)
,
M"; - / ( - gi, r ) d p . . (41)
o
W podobny sposób oblicza się sił y i momenty aerodynamiczne ś migła ogonowego.
e
Ponieważ począ tek ukł adu Oxyz jest ś rodkiem masy kadł uba, jego momenty cię ż arow
są równe zeru. Uwzglę dnić natomiast należy w zależ noś ciac
h na sił y uogólnione momenty
grawitacyjne poszczególnych zespoł ów ś migł owca wokół osi ukł adu Oxyz i na pozostał ych
przesunię ciach przygotowanych. Poza tym, w prawych stronach równań ruchu umieszczone
zostaną momenty napę dowe oraz momenty dział ają ce na ł opaty wirnika noś nego wokół
przegubów poziomych i pionowych od sprę żn y i tł umików.
7. Równania ruchu ś migł owca
Równania ruchu ś migł owca wyprowadzono wykorzystując równania BoltzmannaH amela dla ukł adów nieholonomicznych w quasi- współ rzę dnych [2,5]:
k d dT* dT* I
\~1 VI ST*
'U^+ §*& **' ^ i
2 / ) (42)
Wystę pująe c w równaniach współ czynniki Boltzmanna y^ obliczono, wykorzystując
tzw. zwią zki przestawialnoś ci [2,5]:
k k dÓ7ir- dd7tr m E • £ YUdn^itu l l
- , ;
(r = 1 , 2 , ..., fc). (43)
M OD E LOWAN I E AU TOMATYCZN IE STEROWAN EG O... 439
P o wykonaniu odpowiednich operacji równania ruchu obiektu ś migł owiec ukł ad
sterowania sformuł owano w nastę pują ce
j postaci:
d ST* 18T* 8T* k't a r * BT* R
\ r
3T* I Ic d 3T* ' +8T* „ Q
\ 18T* 8T* 8T* ki BT* + I k£ k 8T* II' 8T* 8T* h,
(44)
, \
\
3T* 8T* lą 8T* k:,
8T* k:
( 4 5 )
ST* d 8T* (8T*
~df 8W ~ \ a~X~
ST* ki \ 8T* 8T* k± BT*
8T* „ . 8T* „ . 8T*
dT* 80
8T
* d 8T* dt 8Q
Rk+ I8T* 8T* * k„ \
k„ \ 3T* 3T* 8Vr) TT2J2j 3V " • 8W
bW T+
8T
{k >~k\ +3T * * h
.„ 8T* 8T* 8T*
3Q 8Q " ' d BR *
Ok- L'+I'+L'+ .• 3T* sin $ 8T* k ą
8T*
8co1+2
d 3T* it 8R 1ST* \ 80 ' ' " a 3T* / • - a r * c o s ^ a r *
a<ps
86 8W cos0 ( 4 ? )
440 K. JAN KOWSKI, J. M ARYN IAK
• , • c o s< P \ Ę _
at dm i
=
8T* ( k r. c o s0 \ N^+Mi+hMU+hMU+hMU+^l, (50)
dtp
i
£
L
X 1), ar* dt 8S; (49)
(51)
»
dt;.
± El _ i l l = MJj + M%!- c, 7Cj- k.tj, (/ - 0, 1,"..., w - 1), d ar* ar* .. T
7
- r r - 5- 5 (53)
,.,.
- K — - M u, (54
s (55)
== M k p , W równaniach tych T* oznacza energię kinetyczną ukł adu wyznaczoną w quasiprę dkoś ciach
.
Do tej pory nie opisywane oznaczenia t o : me — masa cał kowita ś migł owca; momenty
dział ają ce n a: N 02 — wirnik noś ny wokół osi O2z2, Af04. — ś migło ogonowe wokół osi
O4J4, M hi, M vi — z- tą ł opatą wirnika wokół osi przegubu poziomego oraz pionowego,
M pj—/ - ta ł opata ś migła ogonowego wokół osi przegubu wahań, M kt, M kp — turbiny
sprę ż are
k silnika lewego oraz prawego; ch,c„,cp — stał e sprę ż n y w przegubach: poziomych
i pionowych ł opat wirnika oraz wahań ś migła ogonowego; k h, k e, k p — współ czynniki
tł umienia w tych przegubach. Indeksy dolne oznaczają: k — kadł uba, iv — wirnika,
s — ś migła ogonowego, sil — silników, st — statecznika poziomego. Indeksy górne:
a — aerodynamiczny, g — grawitacyjny, n — napę dowy.
i
Równania (44) + (55) wraz z czterema równaniami wię zów (10) + (13) oraz zależ noś ciam
okreś lają cym
i ą uasi- prę dkośi cw funkcji prę dkośi cuogólnionych (14), (16), (17) tworzą
ukł ad k+l » 42+2n+22 równań ruchu. Mając dane wartoś ci począ tkowe moż na wyznaczyć z niego 42+2n+22 nieznanych funkcji czasu: ą uasi- prę dkośi ci współ rzę dnych
uogólnionych. W pracy [3] przedstawiono wszystkie skł adniki równań (44)- r (55).
8. Wnioski
Korzystając z metod mechaniki analitycznej ukł adów nieholonomicznych zbudowano
model matematyczny ś migł owca wyposaż onego w ukł ad sterowania automatycznego.
U wzglę dniono przy tym praktycznie wszystkie gł ówne stopnie swobody ś migł owca jako
ukł adu mechanicznego oraz peł ne charakterystyki masowe jego elementów. Analizując
otrzymane ogólne równania ruchu przestrzennego stwierdzono wystę powanie silnego
sprzę ż eni
a ruchów podł uż nych i bocznych kadł uba ś migł owca w przestrzeni, a także
M OD ELOWAN IE AU TOMATYCZN IE STEROWAN EG O... 441
sprzę ż eń ruchów poszczególnych zespoł ów ś migł owca. Z tych powodów oddzielne analizowanie ruchów podł uż nych i poprzecznych ś migł owca jest duż ym uproszczeniem i przy
poważ niejszych rozważ aniach nie może być stosowane, co się jednak czę sto zdarza. Oceniają c wyniki badań wł asnoś ci dynamicznych izolowanej ł opaty należy zwracać uwagę
na to, że w rzeczywistoś ci umocowana jest ona do piasty, wykonują cej wraz z kadł ubem
zł oż one ruchy przestrzenne.
Otrzymany model matematyczny może być wykorzystany przy rozpatrywaniu wielu
zagadnień dynamiki ś migł owców bą dź ich zespoł ów. W przygotowywanych do publikacji
pracach przedstawione zostaną :
— metodyka okreś lania parametrów ruchu ustalonego na przykł adzie lotu poziomego
i zawisu ś migł owca, wraz z przykł adem obliczeniowym;
— badanie statecznoś ci ustalonych stanów lotu i iloś ciowa analiza sprzę ż ńe ruchów
poszczególnych elementów ś migł owca.
Literatura cytowana w tekś cie
1. R. W. BALKE, R. L. BEN N ETT, T . M . G AF F EY, R. R . LYN N , Tail Rotor Design, Part / / : Structural Dynamics, Journ al of the Am erican H elicopter Society, October 1970.
2. R . G U TOWSK I , Mechanika analityczna, P WN , Warszawa 1971.
3. K. JAN KOWSKI, Modelowanie fizyczne i matematyczne wł asnoś ci dynamicznych sterowanego ś migł owca
w ruchu przestrzennym, R ozprawa doktorska, P olitechnika Warszawska, Warszawa 1982.
4. J. M AR YN I AK, Dynamiczna teoria obiektów ruchomych, P race naukowe — M echanika N r 32, Politechnika Warszawska, Warszawa 1975.
5. J. I . N EJM ARK, N . A. F U F AJEW, Dynamika ukł adów nieholonomicznych, P WN , Warszawa 1971.
6. H . L. P R I C E , Rotor Dynamics and Helicopter Stability, Part I- i- V, Aircraft Engineering, N o . 3,1963 4- N o.
11, 1965.
7. D . SWEETI N G , Some Design Aspects of the Stability Augmentation System for the WG- 13 Rigid Rotor
Helicopter, AG AR D C onference P roceedings, N o . 86, 1971.
8. C . K>. EcAyjioB, O . I I . BAXOB, I I . C . JXxniriiCB, Bepmo/ iem KOK oiwrnnynpaeneHun, M aiinuiocrpoeH H e, MocKBa 1977.
9. B. A. KoMceBHHKOB, AgmoMamunecKan cmaduAmatfUH eepmojiemoe, MauiiiHOCTpoenne, MocKBa
1977.
10. M . SI. M H J I Ł H ap. —BepmoAemu. Panem u npoeKtnupotaime, K H . 1, K H . 2", M aniH iiocipoenne,
MocKBa 1967.
P e 3 IO M e
iMATEMATH^IECKOE MOflEJIH POBAH H E ABTOM ATIM ECKH yilPABJIflEM OrO
BEPTOJIETA B U POCTPAH CTBEH H OM flBH H CEH MH
HacTonmeft pa6oTw HBJIHCTCSI n ocrpoem ie noJinoii .iiaTeMaHwecKoii MOACJIH BepTOJie- ra.
B CBH3H c 3THIVI y^HTMnaeTca npaKTiMecKii Bee rnaBH bie CTeneHH CBOGOAM BepToJi&ra KaK MexatmCHereMbi. Kpoiwe flBroKemifl (biO3ejimi<a B npocTpaHCTEe u n ecym ero BHHTa paccMaTpmaeTCH
flBH H teH H e pyjieBoro BHHTa, CTa6nnH3aTopa K TypBHH flBH raTeneM. MiiTerpajiwioft H aertio MOBepToJieia aBiraeTCJi CHCTeaia aBTO«aTHicci<oro ynpaBJieHHH HaiuiaflfaiBaiomaH n a paccMaTpiiBaeMyio MexaniMecKyro cucieM y HenHTerpiipyeMMe KnHeiwaTHHeci<ne CBH3H (HeronoHoiHiiaJi
442 K. JANKOWSKI, J. MARYNIAK
. S u m m a r y
MATHEMATICAL MODELLIN G OF TH E CON TROLLED HELICOPTER
IN . TH E THREE- DIMEN SION AL MOTION
The purpose of the work is to develop a unified mathematical model of a helicopter. All main degrees
of freedom of a helicopter as a mechanical system are actually taken into account. The motion of fuselage
in space and the motion of main rotor, tail rotor, tail plane, turbines is considered. An integral part of the
mathematical model of a helicopter is the flight control system which imposes the constraints, specified
by nonintegrable expressions involving the velocities (non — holonomic system), on considered meshanioal
system.
Praca został a zł oż ona w Redakcji dnia 7 czerwca 1984 roku