Matematyka dyskretna Zestaw 6 – 14/15.04.2016
Transkrypt
Matematyka dyskretna Zestaw 6 – 14/15.04.2016
Matematyka dyskretna Zestaw 6 – 14/15.04.2016 1. Dla pary liczb 2613 i 2171 proszę znaleźć ich największy wspólny dzielnik za pomocą algorytmu Euklidesa oraz liczby całkowite a, b takie, że 2613a + 2171b = NWD(2613, 2171). Wskazówka: zastosować rozszerzony algorytm Euklidesa. 2. Proszę znaleźć odwrotność liczby 160 modulo 841 (tzn. taką liczbę a aby 160a ≡ 1 (mod 841)). 3. Liczba naturalna zapisana w systemie dziesiętnym jest podzielna przez 3 wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3. Udowodnij i uogólnij tę powszechnie znaną regułę. 4. Niech d = N W D(m, n). Proszę pokazać, że ciąg liczb: 0 mod m, n mod m, 2n mod m, ..., (m − 1)n mod m składa się z d kopii ciągu m/d liczb, będącego pewną permutacją ciągu 0, d, 2d, ..., m − d. 5. Wykorzystując wynik poprzedniego zadania proszę udowodnić (małe :)) twierdzenie Fermata: n⊥p np−1 ≡ 1 (mod p), =⇒ gdzie p jest liczbą pierwszą. 5 6. W jaki sposób, korzystając z małego twierdzenia Fermata, można pokazać, że liczba 22 + 1 jest złożona? 7. Jak za pomocą dwóch naczyń o pojemnościach 7 i 17 litrów nalać do basenu 19 litrów wody. Zakładamy, że basen ma nieoganiczoną pojemność oraz, że wodę można nalewać i wylewać z basenu tylko pełnymi naczyniami. Jaka jest minimalna pojemność basenu przy, której można wykonać to zadanie? Czy da się wykonać to zadanie za pomocą naczyń pojemnościach 6 i 15 litrów? (Proszę uzasadnić odpowiedź.) 8. Proszę pokazać, że istnieje stała b (b ≈ 1.25) taka, że wszystkie liczby b 2b b2b c, b22 c, b22 c, . . . są pierwsze. Wskazówka: skorzystać z tw. Bertranda-Czebyszewa. Michał Piróg e-mail: [email protected] telefon: +48 12 664 4805 pokój: D-2-19 konsultacje: środa, 08:00 - 09:30