O górnym ograniczeniu zysku ze strategii handlowej opartej na

Rafał M. Łochowski
Szkoła Główna Handlowa w Warszawie
O górnym ograniczeniu zysku
ze strategii handlowej opartej
na kointegracji
XI Konferencja „Metody Ilościowe w
Badaniach Ekonomicznych”
Zależność kointegracyjna pomiędzy
cenami dwóch dóbr
Niech P n , n ≥ 1 oraz Qn , n ≥ 1 będą
szeregami cen dwóch dóbr
Zakładamy, że pomiędzy P n , n ≥ 1 oraz
Qn , n ≥ 1 istnieje zależność kointegracyjna, czyli że dla pewnych dodatnich
liczb α, β szereg
Rn = αP n − βQn
jest szeregiem stacjonarnym
Zależność kointegracyjna,
kointegracyjna, c. d.
Strategia handlowa
Co więcej, będziemy zakładać, że szereg
Rn = αP n − βQn
jest szeregiem autoregresyjnym rzędu 1
Rn+1 = γRn + Z n , #
Stacjonarność implikuje, że γ ∈ (−1;1)
Szereg (Zn , n ≥ 1) jest szeregiem niezależnych zmiennych losowych, o identycznym
rozkładzie, zakładamy, że jest to r. N(0, σ 2 )
Strategia handlowa
W długookresowej strategii handlowej
można wykorzystać tę zależność: ze
względu na stacjonarność (Rn ) warto
„kupować” szereg gdy przyjmuje on
mniejsze niż zwykle wartości oraz
sprzedawać, gdy przyjmuje on większe
niż zwykle wartości
W rzeczywistości oznacza to zajmowanie
długich i krótkich pozycji w kontraktach
terminowych na dobra P i Q
Symetryczna strategia handlowa
Najprostsza, symetryczna strategia
handlowa jest oparta na wyborze pewnej
wartości progowej a i kupowaniu
„szeregu”, gdy Rn < − a a następnie
sprzedawaniu „szeregu”, gdy Rn > a
Zysk z takiej strategii na przedziale
czasowym [0, T ] zależy od liczby takich
„podwójnych” transakcji N ( a, T ) i
wynosi co najmniej
2a ⋅ N ( a, T )
Strategia symetryczna - symulacja
Przybliżony zysk ze strategii
handlowej
Przy założeniu, że
◦ wahania szeregu (Rn )w jednostkowych
odstępach czasu są znacznie mniejsze niż a
◦ długość przedziału czasowego [0, T ] jest
odpowiednio duża
liczbę transakcji można przybliżyć przez
liczbę analogicznych transakcji w modelu
ciągłym
Ciągły odpowiednik procesu AR(1)
Ciągłym odpowiednikiem procesu
autoregresyjnego AR(1) jest proces
Ornsteina-Uhlenbeck, opisany
stochastycznym równaniem
różniczkowym
2ln(1 / γ )
dVt = − ln(1 / γ )Vt dt + σ
dWt
2
1−γ
◦ gdzie Wt jest procesem Wienera i dodatkowo
zakładamy, że γ ∈ (0;1)
Liczba transakcji w modelu ciągłym
Oznaczmy
Tb, c := inf{t ≥ 0 : Vt = c | V0 = b}
Na podstawie wyników Thomasa [T
1975] oraz Riccardi i Sato [R, S 1988]
można obliczyć, że
E(Ta, 0 ) =
E(T0, a ) =
π
ln(1 / γ ) ∫
π
ln(1 / γ ) ∫
|a| 1 − γ 2 / 2σ 2
0
|a| 1 − γ 2 / 2σ 2
0
(1 − erf (t ) ) e
(1 + erf (t ) ) e
t2
t2
dt
dt
Liczba transakcji w modelu ciągłym,
c. d.
Z teorii procesów odnowy wnosimy, że
dla dużych T, z dużym prawdopodobieństwem (zbieżność prawie na pewno)
NOU ( a, T )
≈
ET− a,0
T
+ ET0, a + ETa,0 + ET0, − a
◦ gdzie NOU ( a, T ) oznacza odpowiednią liczbę
transakcji dla procesu Ornsteina-Uhlenbeck
Zysk ze strategii
Oznaczmy
T ( a) = ET− a,0 + ET0, a
1
= {ET− a,0 + ET0, a + ETa,0 + ET0, − a }
2
Zatem zysk z symetrycznej strategii
handlowej na długim przedziale czasowym
można przybliżać przez
T
2aiN ( a, T ) ≈ a
T ( a)
Zysk ze strategii – optymalizacja
parametru a
Mamy
a
2 π
T (a) =
ln(1 / γ ) ∫ 0
1 − γ 2 / 2σ 2
t2
e dt.
Stąd „łatwo” można obliczyć, że
T
a
supa > 0 a
= T ⋅ lima 0
T ( a)
T ( a)
=T
1 σ ln (1 / γ )
2π
1 − γ2
Zależność zysku od parametrów
gamma
Literatura
[EG 1987] Engle, R. F. and Granger, C. W. J.
Cointegration and Error-Correction
Representation, Estimation and Testing.
Econometrica 55 251--276.
[RS 1988] Ricciardi, L. M. and Sato, S. Firstpassage time density and moments of the
Ornstein-Uhlenbeck process J. Appl. Probab.
25 43--57.
[T 1975] Thomas, M. U. Some mean firstpassage time approximations for the
Ornstein-Uhlenbeck process J. Appl. Probab.
12 600--604.
Pytania, komentarze?
DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ!