Wyprowadzanie funkcji popytu i model Arrowa-Hurwicza
Transkrypt
Wyprowadzanie funkcji popytu i model Arrowa-Hurwicza
Relacja preferencji Niech x = ( x1 , x2 ,..., xn ) Relacja silnej preferencji - x f y Koszyk x jest silnie preferowany nad koszyk y. Koszyk x jest zdaniem konsumenta lepszy od koszyka y. Relacja słabej preferencji - x ≥ y (dolna linia jest falą, tylko w Wordzie nie ma takiego oznaczenia). Koszyk x jest nie gorszy od koszyka y. Relacja indyferencji - x ~ y Koszyki są indyferentne. Koszyki są jednakowo dobre. Funkcja użyteczności – to określona na przestrzeni towarów funkcja u : R n → R spełniająca dla dowolnej pary koszyków x, y ∈ R n warunek: u( x) ≥ u( y) ⇔ x ≥ y (w drugiej nierówności dolna linia jest falą) Funkcja użyteczności wyraża subiektywny stosunek konsumenta do oferowanych na rynku koszyków towarów (zdefiniowana na podstawie relacji preferencji, jest to kwantyfikacja preferencji). Przykłady funkcji użyteczności: 1. Multiplikatywna - u ( x ) = α 0 x1α1 x2α 2 ...xnα n , n α i > 0, xi ≥ 0,α 0 > 0, ∑ α i < 1 (i = 1,2,..., n) i =1 2. Logarytmiczna - u ( x ) = α1 ln x1 + α 2 ln x2 + ... + α n ln xn , β1 βn β2 3. Addytywna - u ( x ) = α1 x1 + α 2 x2 + ... + α n xn , n n i =1 i , j =1 α i > 0, xi > 0 α i > 0,0 < β i < 1, xi ≥ 0 4. Kwadratowa - u ( x ) = ∑ α i xi + 1 / 2 ∑ βij xi x j , n warunki: α j + ∑ βij xi > 0 , B = ( β ij ) - ujemnie określona forma kwadratowa. i =1 Krańcowa użyteczność i-tego towaru – pochodna cząstkowa ∂u ( x ) / ∂xi informuje o ile (w przybliżeniu) zmienia się użyteczność koszyka x, jeżeli ilość i-tego towaru wzrośnie (zmaleje) o jednostkę (a ilości pozostałych towarów nie ulegną zmianie). Jeżeli funkcja użyteczności jest rosnąca i silnie wklęsła (dla dwukrotnie różniczkowalnej hesjan ujemnie określony), to ∂u ( x ) / ∂xi > 0 dla i = 1,2,..., n , tzn. wzrost ilości jakiegokolwiek towaru w koszyku przy niezmienionych ilościach pozostałych towarów zwiększa użyteczność koszyka. Jeżeli hesjan ( H ( x ) = ∂ 2u ( x ) / ∂x 2 ) jest ujemnie określony ( ∂ 2u ( x ) / ∂xi2 < 0 , i = 1,2,..., n ), to krańcowa użyteczność każdego towaru maleje w miarę jak wzrasta jego spożycie (Prawo Gossena). Krańcowa stopa substytucji i-tego towaru przez j-ty towar: ∂u ( x ) ∂u ( x ) sij ( x ) = / ∂xi ∂x j informuje o ile powinna zwiększyć się ilość j-tego towaru przy zmniejszeniu o jednostkę ilości i-tego towaru, aby użyteczność koszyka nie zmieniła się. 1 Elastyczność substytucji i-tego towaru przez j-ty towar: ∂u ( x ) ∂u ( x ) xi ε ij ( x ) = / ∂ x ∂ x i j xj informuje o ile procent powinna zwiększyć się ilość j-tego towaru przy zmniejszeniu o 1% ilości i-tego towaru, aby użyteczność koszyka nie zmieniła się. Funkcja popytu – to odwzorowanie ϕ , które każdej parze ( p , I ) > 0 przyporządkowuje odpowiadające jej rozwiązanie x = ϕ ( p , I ) > 0 zadania maksymalizacji użyteczności konsumpcji (I – dochód konsumenta, p wektor cen p = ( p1 , p2 ,..., pn ) ). Zadanie maksymalizacji użyteczności konsumpcji: max u(x) przy ograniczeniach budżetowych (występuje iloczyn skalarny) xp ≤ I x ≥0 Funkcja popytu ϕ to funkcja uzależniająca popyt konsumenta na towary od cen towarów i dochodu konsumenta. Przykład Wyznaczyć funkcję popytu, jeżeli funkcja użyteczności ma postać: u ( x1 , x2 ) = α ln x1 + (1 − α ) ln x2 . Równowaga rynkowa. Statyczny model rynku Arrowa-Hurwicza Załóżmy, że istnieje m-handlowców i n-towarów. Niech k-ty handlowiec dostarcza na rynek koszyk towarów y k = ( y1k , y2k ,..., ynk ) i jest gotów nabyć koszyk x k = ( x1k , x2k ,..., xnk ) . Wektor cen towarów równy jest p = ( p1 , p2 ,..., pn ) . Model jest statyczny, bo ceny są stałe w czasie. Czy istnieją takie ceny, przy których kupcy maksymalizują swoje indywidualne korzyści i popyt na towary jest równy ich podaży? Każdy uczestnik rynku wybiera koszyk rozwiązując zadanie: max u k (x) k k I k = yk p x p≤I x ≥0 Dla każdego możemy wyznaczyć funkcję popytu: f k ( p ) = ϕ k ( p, I k ) . Wektor nadmiernego popytu na towary dany jest formułą: m m m m k =1 k =1 k =1 k =1 z ( p ) = ∑ x k − ∑ y k =∑ f k ( p ) − ∑ y k . Rynek jest w równowadze, jeżeli ustaliły się ceny p , przy których z ( p ) = 0 . Jeżeli funkcje użyteczności są rosnące, ciągłe i silnie wklęsłe, to istnieje przynajmniej jeden wektor cen równowagi (określony z dokładnością do mnożenia przez dodatnią stałą). Przy spełnieniu pewnych dodatkowych założeń istnieje dokładnie jeden dodatni wektor cen równowagi rynkowej określony z dokładnością do mnożenia przez dodatnią stałą. 2 Model równowagi rynku Arrowa-Hurwicza. Wersja dynamiczna W jaki sposób rynek dochodzi do równowagi? Uwzględniamy czynnik czasu. Rozpatrujemy tylko model z czasem dyskretnym. Oznaczenia zmiennych: x (t ) , p (t ) , I k (t ) , z ( p (t )) , Wektor y jest stały w czasie i nie zmienia się do momentu zawarcia transakcji. Model opisuje proces negocjacji cenowych odbywających się na rynku według następującej procedury: 1. Ustalana jest cena wyjściowa każdego towaru. 2. Każdy handlowiec oblicza wartość swoich towarów przyniesionych na rynek i decyduje, jaki koszyk towarów chciałby nabyć za sprzedane towary. 3. Jeżeli łączny popyt na towary jest równy podaży (sumie towarów przyniesionych na rynek), to dochodzi do zawarcia transakcji. Jeżeli globalny popyt jest większy od globalnej podaży, to ceny tych towarów, na które popyt jest większy od podaży zostają podniesione. W odwrotnej sytuacji ceny ulegają obniżeniu. Następny krok to powrót do punktu drugiego. Proces trwa tak długo, aż dojdzie do ustalenia równowagi. Jaki jest mechanizm zmiany cen? Mogą być różne. Najczęściej przyjmuje się, że ceny zmieniają się proporcjonalnie do nadmiernego popytu: ∆p (t ) = p (t + 1) − p (t ) = σ z ( p (t )) , σ > 0. Przykład. Model rynku Arrowa-Hurwicza a) Model statyczny. Dane są dwa towary i dwóch handlowców przynoszących odpowiednio koszyki towarów y1 = (20,10) , y 2 = (30,15) . Funkcje użyteczności mają postać u1 ( x ) = x11 / 4 x12 / 4 , u 2 ( x ) = x11 / 3 x12 / 3 . Jakie ceny ustalą się stanie równowagi? b) Model dynamiczny. Zakładając te same warunki oraz cenę początkową p (0) = ( 2,8) określ w jakim kierunku muszą zmienić się ceny, aby rynek znalazł się w równowadze? Zalecana literatura: Panek E., Ekonomia matematyczna. Panek E., (redaktor) Podstawy ekonomii matematycznej. Materiały do ćwiczeń. 3