Transformata Z
Transkrypt
Transformata Z
Transformata Z 1 Poni»ej podane s¡ tylko podstawowe wªasno±ci transformaty Z , potrzebne w dalszej cz¦±ci kursu. Transformata Z Niech (y(n))∞ n=0 b¦dzie ci¡giem o wyrazach zespolonych. Denicja. Transformat¡ Z nej zespolonej z (y(n)) nazywamy funkcj¦ Z{y(n)} zmien- ci¡gu okre±lon¡ wzorem Z{y(n)}(z) = Y (z) := ∞ X y(n)z −n , n=0 z ∈ C \ {0} jest takie, »e szereg po prawej stronie jest 1 Transformat¦ Z nazywamy te» transformat¡ Laurenta . gdzie Przykªad 0. Dla ustalonego δk (n) = k ∈ N ∪ {0} 1 dla 0 dla rozwa»my ci¡g n = k, n ∈ N ∪ {0}, n 6= k 2 (ci¡g taki zwany jest, niezbyt ±ci±le, delt¡ Kroneckera 3 na wyrost, delt¡ Diraca ) skupion¡ w Zachodzi Y (z) = ∞ X y(n) = an , δk (n)z −n = gdzie (niekiedy, zupeªnie k ). n=0 Przykªad 1. Niech zbie»ny. a ∈ C 1 . zk (zakªadamy tutaj, »e 00 = 1). Mamy Y (z) = ∞ X n=0 n −n a z = ∞ n X a n=0 z , co jest szeregiem geometrycznym o pierwszym wyrazie 1 i ilorazie a/z . Podobnie jak dla szeregów geometrycznych o wyrazach rzeczywistych dowodzi si¦, »e w przypadku zespolonym szereg geometryczny (o niezerowym pierwszym wyrazie) jest zbie»ny wtedy i tylko wtedy, gdy moduª jego ilorazu jest mniejszy ni» jeden. 1 Pierre Alphonse Laurent (1813 1854), matematyk francuski Kronecker (1823 1891), matematyk niemiecki 3 Paul Adrien Maurice Dirac (1902 1984), angielski matematyk i zyk-teoretyk 2 Leopold Skompilowaª Janusz Mierczy«ski 2 W naszym przypadku oznacza to, »e szereg deniuj¡cy transformat¦ Laurenta n ∞ ci¡gu (a )n=0 jest zbie»ny wtedy i tylko wtedy, gdy |z| > |a|. Suma takiego szeregu jest równa 1 1− Ostatecznie Z{an }(z) = z . z−a = a z z z−a dla |z| > |a|. W szczególno±ci, pami¦taj¡c o naszej konwencji, »e formata Z 1 ci¡gu przyjmuj¡cego warto±¢ 1. zera, to funkcja stale równa 00 = 1, widzimy, »e trans- na miejscu zerowym, a poza tym Odtworzyli±my zatem otrzymany wcze±niej wzór na transformat¦ Laurenta delty Kroneckera skupionej w Przykªad 2. Niech y(n) = nn (gdzie ∞ X Y (z) = 00 = 1). n −n n z = Mamy ∞ n X n z n=0 n=0 0. . Podobnie jak dla szeregów o wyrazach rzeczywistych, warunkiem koniecznym zbie»no±ci szeregu o wyrazach zespolonych jest, by wyraz ogólny takiego szeregu d¡»yª do zera. Do±¢ ªatwo jest wykaza¢, »e warunek ten nie jest speªniony n dla »adnego z ∈ C \ {0}. Zatem transformata Z ci¡gu (n ) . nie istnieje U»yteczny warunek dostateczny na to, by istniaªa transformata Z danego ci¡gu, podaje poni»sze twierdzenie. Twierdzenie 1. n = 0, 1, 2, 3 . . . Zaªó»my, »e istniej¡ zachodzi |y(n)| ¬ Ae takie, »e szereg Y (z) = A0 δn ∞ X δ >0 i takie, »e dla ka»dego . Wówczas istnieje R, 0 ¬ R ¬ δ , y(n)z −n n=0 • jest zbie»ny dla ka»dego • jest rozbie»ny dla ka»dego Liczb¦ nieujemn¡ R z∈C takiego, »e z∈C |z| > R; takiego, »e wyst¦puj¡c¡ w powy»szym twierdzeniu nazywamy pro- mieniem zbie»no±ci transformaty Z ci¡gu (yn ). nazywamy pier±cieniem zbie»no±ci transformaty Fakt 1. |z| < R. Zbiór Z (i) lim R = n→∞ q n |y(n)|. { z ∈ C : |z| > R } (yn ). ci¡gu Transformata Z 3 (ii) R = lim n→∞ q n |y(n + 1)| , n→∞ |y(n)| |y(n)|, R = lim o ile granice po prawych stronach istniej¡. W Przykªadzie 1, promie« zbie»no±ci jest równy Operacj¦ przyporz¡dkowuj¡c¡ ci¡gowi przeksztaªceniem (lub transformacj¡ ) |a|. (y(n)) jego transformat¦ Z Z (lub Laurenta). nazywamy Wªasno±ci przeksztaªcenia Z Liniowo±¢ Fakt 2. Niech (y1 (n)), (y2 (n)) Z b¦d¡ ci¡gami takimi, »e ich transformaty R1 , R2 . Wówczas dla liczb zespoloα1 , α2 , transformata Z ci¡gu (α1 y1 (n)+α2 y2 (n)) jest równa α1 Z{y1 (n)}+ α2 Z{y2 (n)}, i ma promie« zbie»no±ci nie wi¦kszy ni» max{R1 , R2 }. maj¡ promienie zbie»no±ci odpowiednio nych Powy»sz¡ wªasno±¢ nazywamy liniowo±ci¡ przeksztaªcenia Przykªad 3. Znajd¹my transformat¦ Z ci¡gów (cos(nϕ)) Z. i (sin(nϕ)), gdzie ϕ ∈ R. Jako »e cos(nϕ) = einϕ + e−inϕ , 2 sin(nϕ) = einϕ − e−inϕ , 2i otrzymujemy Z{cos(nϕ)}(z) = 1 1 z z + = Z{einϕ }(z)+Z{e−inϕ }(z) = 2 2 z − eiϕ z − e−iϕ z(z − cos ϕ) = ··· = 2 z − 2z cos ϕ + 1 oraz Z{sin(nϕ)}(z) = 1 1 z z Z{einϕ }(z)−Z{e−inϕ }(z) = − = iϕ 2i 2i z − e z − e−iϕ z sin ϕ = ··· = 2 . z − 2z cos ϕ + 1 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski 4 Transformata Z ci¡gu (an y(n)) (skalowanie) Fakt 3. no±ci R. Z ci¡gu (y(n)), Wówczas dla ka»dego niezerowego a∈C zachodzi Niech Y (z) b¦dzie transformat¡ Z{an y(n)}(z) = Y i promie« zbie»no±ci transformaty gdzie z , a Z{an y(n)} Przykªad 4. Znajd¹my transformat¦ Z o promieniu zbie»- jest równy ci¡gów R/|a|. (an cos(nϕ)) i (an sin(nϕ)), a ∈ R, a 6= 0, i ϕ ∈ R: z(z − a cos ϕ) − 2az cos ϕ + a2 az sin ϕ Z{an sin(nϕ)}(z) = 2 . z − 2az cos ϕ + a2 Z{an cos(nϕ)}(z) = (1) z2 Transformata Z ci¡gu (ny(n)) Zró»niczkujmy formalnie Z po z: d d Z{y(n)}(z) = y(0) + y(1)z −1 + y(2)z −2 + . . . dz dz = (−1)y(1)z −2 + (−2)y(2)z −3 + . . . ∞ 1X 1 =− ny(n)z −n = − Z{ny(n)}(z), z n=0 z czyli Z{ny(n)}(z) = −z d Z{y(n)}(z). dz Okazuje si¦, »e powy»sze rozwa»ania s¡ uprawnione. Zachodzi nast¦puj¡cy wynik: Fakt 4. no±ci R. Niech Y (z) b¦dzie transformat¡ Z ci¡gu (y(n)), o promieniu zbie»- Wówczas Z{ny(n)}(z) = −zY 0 (z), i promie« zbie»no±ci transformaty Ogólniej, dla k∈N Z{ny(n)} jest równy zachodzi Z{nk y(n)}(z) = −z d k Y (z), dz R. Transformata Z gdzie symbol przez −z 5 d k (−z dz ) oznacza, »e operacj¦ ró»niczkowania po nale»y powtórzy¢ k z i mno»enia razy. Przykªad 5. Z{nan }(z) = −z · d z −a az = −z = , 2 dz z − a (z − a) (z − a)2 i dalej Z{n2 an }(z) = −z · az a(−z − a) az(z + a) d = −z = . dz (z − a)2 (z − a)3 (z − a)3 Transformata Z ci¡gu przesuni¦tego w lewo (y(n + k)) Zakªadaj¡c, »e znamy transformat¦ na transformat¦ Z Z ci¡gu (y(n)), znajdziemy (y(n + 1)). teraz wzór ci¡gu przesuni¦tego w lewo ∞ X ∞ ∞ X X y(n + 1) y(n + 1) y(n) Z{y(n + 1)}(z) = =z =z n n+1 n z z n=0 n=1 z n=0 = z Z{y(n)}(z) − y(0) . Za pomoc¡ prostej indukcji mo»na wykaza¢ poni»szy wynik: Fakt 5. no±ci R. Niech Y (z) b¦dzie transformat¡ Z ci¡gu Wówczas dla ka»dej liczby naturalnej k (y(n)), o promieniu zbie»- zachodzi Z{y(n + k)}(z) = z k Y (z) − z k y(0) − z k−1 y(1) − · · · − zy(k − 1). Ponadto, promie« zbie»no±ci transformaty Z{y(n + k)} jest równy R. Transformata Z ci¡gu przesuni¦tego w prawo (y(n − k)) Zakªadaj¡c, »e znamy transformat¦ na transformat¦ Z Z (y(n)), znajdziemy teraz wzór prawo (y(n − 1)), gdzie y(0 − 1) ci¡gu ci¡gu przesuni¦tego w rozumiemy jako zero. Z{y(n − 1)}(z) = = ∞ ∞ y(n − 1) 1X y(n − 1) 1X y(n) = = n n−1 z z n=1 z z n=0 z n n=1 ∞ X Z{y(n)}(z) . z Za pomoc¡ prostej indukcji mo»na wykaza¢ poni»szy wynik: Skompilowaª Janusz Mierczy«ski 6 Fakt 6. no±ci R. Niech Y (z) b¦dzie transformat¡ Z (y(n)), ci¡gu Wówczas dla ka»dej liczby naturalnej Z{y(n − k)}(z) = k Y (z) , zk y(0 − 1) = . . . = y(0 − k) = 0. transformaty Z{y(n + k)} jest równy R. gdzie zakªadamy, »e zbie»no±ci o promieniu zbie»- zachodzi Ponadto, promie« Zastosowania transformaty Z do rozwi¡zywania równa« ró»nicowych Rozwa»my zagadnienie pocz¡tkowe y(n + k) + p1 y(n + k y(0) = y0 , (ZP) gdzie − 1) + · · · + pk y(n) = g(n), . . . y(k pk 6= 0, − 1) = yk−1 za± g(n) jest ci¡giem takim jak w Twierdzeniu 1. Nakªadaj¡c na obie strony równania transformacj¦ Laurenta i wykorzystuj¡c Fakt 5 otrzymujemy wzór na transformat¦ Z nieznanego rozwi¡zania. Ostrze»enie Przy rozwi¡zywaniu równa« ró»niczkowych liniowych o staªych wspóªczyn- nikach metod¡ przeksztaªcenia Laplace'a otrzyman¡ funkcj¦ wymiern¡ (b¦d¡c¡ transformat¡ Laplace'a nieznanego rozwi¡zania na uªamki proste. Natomiast w przypadku rozwi¡zywania równa« nie Y (z) F (z)/z . otrzyman¡ funkcj¦ wymiern¡ nieznanego rozwi¡zania y(n)), lecz iloraz Z (b¦d¡c¡ transformat¡ Przykªad 6. Znale¹¢ rozwi¡zanie zagadnienia pocz¡tkowego (3) y(0) = 2, y(1) = 0. liniowych o na uªamki proste roz- Przykªad y(n + 2) + 2y(n + 1) + 2y(n) Y (s) rozkªadali±my ró»nicowych staªych wspóªczynnikach metod¡ przeksztaªcenia kªadamy y(t)) = (−1)n , Z Transformata Z 7 Nakªadamy na obie strony równania transformacj¦ Laurenta Z{y(n + 2) + 2y(n + 1) + 2y(n)} = Z{(−1)n }, i przeksztaªcamy (z 2 Y (z) − z 2 · 2 − z · 0) + 2(zY (z) − z · 2) + 2Y (z) = czyli (z 2 + 2z + 2)Y (z) − 2z 2 − 4z = z , z+1 z , z+1 co daje Y (z) = Rozkªadamy Y (z)/z 2z 3 + 6z 2 + 5z . (z + 1)(z 2 + 2z + 2) na uªamki proste 1 z+3 Y (z) = + 2 , z z + 1 z + 2z + 2 zatem Y (z) = z 2 + 3z z + 2 . z + 1 z + 2z + 2 Je±li chodzi o pierwszy skªadnik po prawej stronie, jest to transformata Z n ci¡gu (−1) . eby zbada¢ drugi skªadnik, rozpocznijmy od zapisania mia2 2 nownika w postaci z − 2az cos ϕ + a , gdzie (dla ustalenia uwagi) a > 0. √ a to 2. ϕ = 3π/4. Oczywi±cie, jedyna mo»liwo±¢ na √ −2 2 cos ϕ = 2, na przykªad, Teraz, za ϕ bierzemy k¡t taki, »e Zapisujemy drugi skªadnik jako kombinacj¦ liniow¡ transformat √ n √ 3nπ ( 2)n cos( 3nπ ) i ( 2) sin( ), czyli funkcji 4 4 z(z + 1) , + 2z + 2 z2 z2 z . + 2z + 2 Jedyna mo»liwo±¢ to z 2 + 3z z(z + 1) z = 2 +2 2 . 2 z + 2z + 2 z + 2z + 2 z + 2z + 2 Ostatecznie, rozwi¡zaniem jest √ √ y(n) = (−1)n + ( 2)n cos( 3nπ ) + 2( 2)n sin( 3nπ ). 4 4 Z ci¡gów Skompilowaª Janusz Mierczy«ski 8 Uwagi terminologiczne Z Niekiedy wprowadzone powy»ej przeksztaªcenie nym przeksztaªceniem Z, za± nazw¦ przeksztaªcenie obustronnego przeksztaªcenia Z: dla z Z Z rezerwuje si¦ dla ∞ ci¡gu (y(n))n=−∞ liczb nazywamy funkcj¦ Z{y(n)} obustronnego zespolonych jego obustronn¡ transformat¡ zmiennej zespolonej nazywane jest jednostron- okre±lon¡ wzorem Z{y(n)}(z) = Y (z) := ∞ X n=−∞ y(n)z −n .