Równania różniczkowe

ECTS – Arkusz przedmiotu
Nazwa
przedmiotu
Kod
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
Prowadzący przedmiot dr hab. Vsievolod Vladimirov
Osoby prowadzące
zajęcia
Klasa przedmiotu
Rodzaj
przedmiotu
P
C
Wydział Matematyki Stosowanej
Kierunek Matematyka
Rodzaj studiów
Rodzaje zajęć *
Liczba godzin
stacjonarne
Suma
Wykłady
60
30
Stopień
studiów
pierwszy
Ćwiczenia Laboratoria Seminaria
Semestr
Projekty
III
ECTS
30
7
WWW
Uwagi
Cel przedmiotu - zdobyte umiejętności
Wprowadzenie podstawowych idei i pojęć z zakresu równań różniczkowych
zwyczajnych. Opanowanie technik rozwiązywania pewnych typów równań
różniczkowych zwyczajnych.
Streszczenie przedmiotu
Na wykładzie dowodzone są twierdzenia o istnieniu, jednoznaczności, kształcie,
stabilności rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych oraz omówione są techniki
rozwiązywania wielu typów równań. Wprowadzone jest pojęcie transformaty Laplace’a i
jej zastosowanie w poszukiwaniu rozwiązań równań różniczkowych. Wykład ilustrowany
jest przykładami równań opisującymi zagadnienia fizyczne, chemiczne, techniczne i
geometryczne.
Warunki uczestnictwa Podstawowy kurs analizy matematycznej i algebry liniowej.
w przedmiocie
Forma zaliczenia Zaliczenie ćwiczeń oraz egzamin pisemny.
przedmiotu
Zasada wystawiania Pozytywna ocena z ćwiczeń z wagą 0,4 i pozytywna ocena z
oceny końcowej egzaminu z wagą 0,6.
Program wykładów
1.Przykłady zagadnień prowadzących do równań różniczkowych zwyczajnych. Formalna
definicja równania różniczkowego i jego rozwiązania, postać ogólna i normalna.
Interpretacja geometryczna.
2.Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania różniczkowego rzędu
pierwszego. Dowód. Różne warianty twierdzenia.
3.Sprowadzanie równania różniczkowego rzędu n-tego do układu równań
różniczkowych rzędu pierwszego. Proste typy równań różniczkowych - o zmiennych
rozdzielonych, jednorodne.
4. Równanie różniczkowe zupełne. Czynnik całkujący i jego wyznaczanie.
5. Równania Clairauta, Lagrange'a i inne szczególne typy równań.
6. Równania i układy równań różniczkowych liniowych - istnienie i postać rozwiązania.
Skalarne równanie różniczkowe rzędu pierwszego. Równanie Bernoulliego. Równanie
Riccatiego.
7. Skalarne równanie różniczkowe n-tego rzędu. Wrońskian. Fundamentalny układ
rozwiązań. Metoda uzmienniania stałych. Obniżanie rzędu równania różniczkowego.
Zasada superpozycji.
Równania różniczkowe n-tego rzędu o współczynnikach stałych. Metoda przewidywań.
8. Układ skalarnych równań różniczkowych rzędu pierwszego. Układ fundamentalny
rozwiązań. Metoda uzmienniania stałych. Układy równań różniczkowych liniowych o
stałych współczynnikach. Metoda wektorów i wartości własnych. Sprowadzanie
macierzy do postaci Jordana. Rowiązywanie układu x'=Ax przez sprowadzenie macierzy
układu do postaci Jordana.
9. Poszukiwanie rozwiązań równań różniczkowych w postaci szeregów potęgowych twierdzenie Cauchy-Kowalewskiej. Dowód dla przypadku skalarnego. Osobliwe punkty
regularne równań rzędu drugiego. Równanie indeksowe. Szeregi Frobeniusa.
10. Twierdzenie o ciągłej zależności rozwiązania od warunków początkowych.
Stabilność, lokalna asymptotyczna stabilność i globalna asymptotyczna stabilność
rozwiązania równania różniczkowego
- definicje. Twierdzenie Lapunowa. Zastosowanie do układu x'=Ax i do równania
skalarnego x'=f(x). Problem Routha-Hurwitza.
11. Punkty osobliwe równań różniczkowych i ich klasyfikacja. Portrety fazowe. Zbiory
graniczne i ich własności, cykl graniczny.
12. Zagadnienia brzegowe dla równań drugiego rzędu, operator Sturma--Liouville'a.
13. Transformata Laplace'a. Niektóre własności transformaty. Wyznaczanie
transformaty na podstawie
równania różniczkowego. Wyznaczanie funkcji na podstawie jej transformaty.
Twierdzenia o rozkładzie, przesunięciu rzeczywistym, przesunięciu zespolonym,
splocie.
14. Zastosowania transformaty Laplace’a do rozwiązywania równań różniczkowych.
Informacja o klasycznych równaniach cząstkowych fizyki matematycznej.
Program pozostałych zajęć (ćwiczenia, laboratoria, projekty, seminaria)
Opanowanie techniki układania równań opisujących konkretne problemy fizyczne,
chemiczne, techniczne i geometryczne. Rozwiązywanie wielu zadań rachunkowych ściśle
powiązanych z wykładem.
Bibliografia
1. B.P. Conrad, Differential Equations, A Systems Approach, Pearson Education, Inc.,
Upper Saddle River, New Jersey, 2003.
2. A.F. Filippow, Zbiór zada« z równa« ró»niczkowych, Izd. Nauka, Moskwa 1973.
3. A. Palczewski, Równania ró»niczkowe zwyczajne (teoria i metody numeryczne z
wykorzystaniem komputerowego systemu oblicze« symbolicznych), WNT, Warszawa
1999.
4. D.L.Powers, Boundary Value Problems and Partial Differential Equations, sixth
edition, Academic Press is an imprint of Elsevier, 2010.
5. D.G. Zill, Differential Equations with Boundary-Value Problems, PWS-KENT
Publishing Company, Boston 1986.
* Rodzaje zajęć: ćwiczenia – ćwiczenia audytoryjne, lektoraty, zajęcia wf,
laboratoria – ćwiczenia laboratoryjne, zajęcia praktyczne, zajęcia terenowe, seminaria –
seminaria, konwersatoria, projekty – ćwiczenia projektowe, prace kontrolne i przejściowe