Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 3
BADANIE OBWODÓW PRĄDU SINUSOIDALNEGO
Z ELEMENTAMI RLC
3.1. Cel ćwiczenia
Zapoznanie się z własnościami prostych obwodów prądu sinusoidalnego utworzonych
z elementów RLC. Poznanie zasad rysowania wykresów wskazowych na podstawie
pomierzonych wartości skutecznych prądów i napięć.
3.2. Podstawy teoretyczne
3.2.1. Dwójnik bezźródłowy w obwodzie prądu sinusoidalnego
W stanie ustalonym przebiegi prądu i napięcia na zaciskach dwójnika (rys. 3.1)
przedstawiają sobą fale sinusoidalne.
i = I m sin (ω t + ψ i )
(3.1)
(3.2)
u = U m sin (ω t + ψ u )
i
°
u
°
Rys. 3.1
Moduł impedancji dwójnika Z jest równy ilorazowi wartości skutecznych (lub
amplitud) napięcia i prądu na jego zaciskach.
U U
Z= = m
(3.3)
I
Im
Kąt fazowy dwójnika ϕ jest równy różnicy faz początkowych napięcia i prądu
ϕ =ψ u − ψ i
(3.4)
Dla dwójników zawierających elementy RLC: ϕ ≤
π
. Jeśli dwójnik ma charakter
2
pojemnościowy, to ϕ < 0, a jeśli charakter indukcyjny, to ϕ > 0.
Impedancja zespolona dwójnika Z jest równa ilorazowi wartości skutecznych w postaci zespolonej (lub amplitud zespolonych) napięcia i prądu
U Ue jψ u
Z = = jψ i = Ze jϕ
(3.5)
I
Ie
Dla dwójnika znajdującego się w obwodzie prądu sinusoidalnego można również
wyznaczyć moc pozorną
S=UI
(3.6)
moc czynną
oraz moc bierną
P = UI cos ϕ
(3.7)
Q = UI sin ϕ
(3.8)
Moc zespolona dwójnika
∗
(3.9)
S = U ⋅ I = Se jϕ = P + jQ
W obwodach zachowana jest równowaga mocy czynnej i biernej, a więc także mocy
zespolonej.
3.2.2. Impedancje elementów idealnych
Rezystor idealny opisuje w dziedzinie czasu równanie
uR = RiR
czyli jego impedancja Z = R.
(3.10)
Cewka idealna
uL = L
diL
dt
(3.11)
stąd jej impedancja
Z L = ω Le
π
j
2
(3.12)
= jω L = jX L
gdzie:
XL – reaktancja indukcyjna.
Kondensator idealny spełnia równanie
duC
dt
(3.13)
1 -jπ2
1
e = −j
= − jX C
ωC
ωC
(3.14)
iC = C
dlatego jego impedancja
ZC =
gdzie:
XC – reaktancja pojemnościowa.
3.2.3. Elementy rzeczywiste
a.
Cewka rzeczywista
W idealnym elemencie indukcyjnym energia nie jest rozpraszana (moc czynna jest
równa zeru). W rzeczywistych cewkach występują straty energii. Moc tych strat przy
niewielkich pulsacjach jest proporcjonalna do kwadratu wartości skutecznej prądu
(niezależnie od ω). Dlatego też odpowiednim modelem cewki ze stratami jest szeregowe
połączenie cewki idealnej L i rezystora RL. (rys. 3.2).
°
°
°
Rys. 3.2
W modelu takim
P = I 2 RL
L
RL
°
bez względu na częstotliwość prądu o wartości skutecznej I. Moduł impedancji cewki
rzeczywistej Z oraz jej argument φ są zależne od pulsacji. Natomiast w zakresie poprawności
modelu parametry L i RL są od częstotliwości niezależne.
Przy znanych Z, φ oraz ω można wyznaczyć L i RL z zależności
RL = Z cos ϕ
(3.15)
X
Z sin ϕ
L= L =
ω
b.
ω
Kondensator rzeczywisty
W zakresie małych częstotliwości moc strat kondensatora jest proporcjonalna do
kwadratu wartości skutecznej napięcia. Uzasadniony jest więc wybór modelu w postaci
równoległego połączenia idealnego kondensatora C i rezystora RC (rys. 3.3).
°
•
RC
C
°
°
•
°
Rys. 3.3
Tutaj
U2
(3.16)
RC
bez względu na częstotliwość napięcia na kondensatorze. Moce czynne P kondensatorów są
zwykle o kilka rzędów wielkości mniejsze niż moce pozorne S. Dlatego też w wielu
praktycznych przypadkach straty mocy czynnej można pominąć i stosować kondensator
idealny jako model kondensatora rzeczywistego.
P=
3.2.4. Połączenie szeregowe dwóch dwójników (rys. 3.4)
U
°
Z1
U1
I
Z2
°
U2
Rys. 3.4
Pomiary wartości skutecznych napięć U, U1, U2 i prądu I w obwodzie pozwalają na
wyznaczenie modułów impedancji dwójników
U
U
Z1 = 1
Z2 = 2
(3.17)
I
I
oraz modułu impedancji zastępczej połączenia
U
Z=
(3.18)
I
Nie można natomiast bezpośrednio określić kątów fazowych dwójników φ1, φ2 oraz ich
połączenia φ. Zadanie takie można rozwiązać pod warunkiem, że znany jest kąt fazowy
jednego z dwójników, np. φ2. Zakładając, że faza początkowa prądu ψ1 = 0 można na
podstawie II prawa Kirchhoffa zapisać
Ue jϕ = U1e jϕ1 + U 2 e jϕ 2
(3.19)
Po przyrównaniu części rzeczywistych i urojonych obu stron powyższego równania
oraz odpowiednich przekształceniach uzyskuje się zależności
cos(ϕ1 − ϕ 2 ) =
U 2 − U12 − U 22
2U1U 2
(3.20)
oraz
U 2 + U 22 − U12
(3.21)
2UU 2
stąd przy znanym φ2 można wyznaczyć kąty fazowe φ1 oraz φ2.
W szczególnym przypadku, gdy dwójnik oznaczony indeksem 2 jest kondensatorem,
to φ2 = - π/2, a odpowiednie zależności przybierają postać
U 2 + U 22 − U 2
sin ϕ1 = 1
(3.22)
2U1U 2
oraz
U12 − U 2 − U 22
sin ϕ =
(3.23)
2UU 2
Geometryczny obraz tych zależności przedstawia wykres wskazowy na rys. 3.5.
cos(ϕ − ϕ 2 ) =
Rys. 3.5
3.2.5. Połączenia równoległe dwójników (rys. 3.6)
°
I
•
U
°
I1
I2
Z1
Z2
•
Rys. 3.6
Na podstawie wartości skutecznych prądów I1, I2 oraz napięcia U można wyznaczyć
moduły impedancji dwójników
U
U
Z1 =
Z2 =
(3.24)
I1
I2
oraz ich połączenia równoległego
U
Z=
(3.25)
I
Na podstawie równania wynikającego z I prawa Kirchhoffa przy ψu = 0
Ie-jϕ = I1e-jϕ1 + I 2 e-jϕ 2
(3.26)
można uzyskać zależności pozwalające na wyznaczenie kątów fazowych φ1 oraz φ przy
znanym kącie fazowym φ2.
I 2 − I12 − I 22
cos(ϕ1 − ϕ 2 ) =
(3.27)
2 I1 I 2
cos(ϕ − ϕ 2 ) =
I 2 + I 22 − I12
2 II 2
(3.28)
3.2.6. Wykresy wskazowe
Wykresy wskazowe stanowią ilustrację geometryczną rozwiązania analitycznego (np.
rys. 3.5) lub służą jako środek analizy obwodu metodą geometryczną. Tym sposobem można
na przykład rozwiązać zadanie przedstawione w punkcie 3.2.4: w układzie dwójników
połączonych szeregowo (rys. 3.3) znane są napięcia U, U1, U2 oraz kąt fazowy φ2; należy
wyznaczyć φ1 oraz φ.
Po wyborze skali dla wskazów napięcia i prądu należy narysować wskaz prądu I, a pod
kątem φ2 względem niego wskaz napięcia U2. Następnie należy zbudować trójkąt, bokami
którego są wskazy napięć U, U1 i U2 (rys. 3.7a). na płaszczyźnie zespolonej istnieją dwa takie
trójkąty, różniące się nachyleniem wskazów U i U1 względem I. Po określeniu kątów φ oraz
φ1 pozostawia się rozwiązanie spełniające warunki │φ│≤ π/2 oraz │φ1│≤ π/2 (rys. 3.7b).
Rozwiązanie nie odpowiadające tym wymaganiom odrzuca się (rys. 3.7c)
Rys. 3.7
Analogicznie można wykonać wykres wskazowy obwodu przedstawionego w punkcie
3.2.5.
Przy posługiwaniu się wykresami wskazowymi należy we właściwy sposób określać
kąty fazowe dwójników. Kąt ϕ =ψ u −ψ i oznacza się na wykresie wskazowym za pomocą
strzałki, którą rysuje się od wskazu prądu do wskazu napięcia, przy czym bierze się pod
uwagę kąt mniejszy od π. Jeśli strzałka ta określa kierunek zgodny z kierunkiem ruchu
wskazówek zegara, wówczas kąt fazowy jest ujemny, a przy niezgodności kierunków kat
fazowy jest dodatni.
3.3. Pytania kontrolne
1. Jaki jest sens fizyczny mocy czynnej, biernej i pozornej? Jakiego znaku mogą być
wartości liczbowe tych mocy?
2. Jakie jest znaczenie sposobu strzałkowania dwójników przy wyznaczaniu ich kątów
fazowych?
3. Jak wyznaczyć analitycznie kąty φ oraz φ1 na podstawie wykresów wskazowych?
4. Jak nazywa się składowe (rzeczywistą i urojoną) impedancji oraz admitancji? Podać
wzajemne zależności.
Literatura:
•
•
•
•
•
Bober J., Kalata H., 1979, Teoria obwodów, cz. I, Wyd. Politechniki Warszawskiej.
Cholewicki T, 1973, Elektrotechnika teoretyczna, t. 1 i 2, WNT Warszawa.
Klonowicz Z., Zurzycki Z., 1983, Teoria obwodów, t. 1 i 2, PWN, Warszawa.
Krakowski M., 1995, Elektrotechnika teoretyczna, t.1 - Obwody liniowe i nieliniowe. PWN Warszawa.
Meller W., 2003, Metody analizy obwodów liniowych, Wyd. Uczelniane ATR