Relacje - podstawowe definicje Relacje porz¡dku

1
Relacje - podstawowe denicje
A. Mróz
1. Dziedzina relacji R ⊆ X × Y to zbiór DR = {x ∈ X : ∃y∈Y x R y}.
2. Przeciwdziedzina relacji R ⊆ X × Y to zbiór D∗R = CDR = {y ∈ Y : ∃x∈X x R y}.
3. Wªasno±ci relacji R ⊆ X × X :
• zwrotna: ∀x∈X x R x ;
• przeciwzwrotna: ∀x∈X ∼ x R x ;
• symetryczna: ∀x,y∈X x R y ⇒ y R x ;
• antysymetryczna (silnie antysymetryczna, asymetryczna, przeciwsymetryczna):
∀x,y∈X x R y ⇒ ∼ y R x ;
• sªabo antysymetryczna: ∀x,y∈X (x R y ∧ y R x) ⇒ x = y ;
• przechodnia: ∀x,y,z∈X (x R y ∧ y R z) ⇒ x R z ;
• spójna: ∀x,y∈X x R y ∨ y R x ∨ x = y .
Relacje porz¡dku
4. Relacj¦ R ⊆ X ×X nazywamy relacj¡ porz¡dku (cz¦±ciowego porz¡dku), o ile R jest zwrotna, sªabo
antysymetryczna i przechodnia. Wówczas najcz¦±ciej R oznacza si¦ symbolem i par¦ (X, )
nazywamy zbiorem (cz¦±ciowo) uporz¡dkowanym. (Gdy x y oraz x 6= y , to piszemy x ≺ y ).
5. Relacj¦ ⊆ X × X nazywamy relacj¡ liniowego porz¡dku, o ile jest relacj¡ porz¡dku i jest spójna.
Wówczas par¦ (X, ) nazywamy zbiorem liniowo uporz¡dkowanym.
6. Podzbiór T ⊆ X zbioru uporz¡dkowanego (X, ) nazywamy ªa«cuchem, je»eli (T, T ) jest zbiorem
liniowo uporz¡dkowanym.
7. Niech (X, ) b¦dzie zbiorem cz¦±ciowo uporz¡dkowanym. Wówczas a ∈ X nazywamy elementem:
• najmniejszym, gdy ∀x∈X a x ;
• najwi¦kszym, gdy ∀x∈X x a ;
• minimalnym, gdy ∼ ∃x∈X x ≺ a ;
• maksymalnym, gdy ∼ ∃x∈X a ≺ x .
8. Niech (X, ) b¦dzie zbiorem cz¦±ciowo uporz¡dkowanym, A ⊆ X . Wówczas a ∈ X nazywamy:
• ograniczeniem górnym zbioru A, gdy ∀x∈A x a ;
• ograniczeniem dolnym zbioru A, gdy ∀x∈A a x ;
• kresem górnym (supremum) zbioru A (ozn. a = sup A), gdy a jest najmniejszym ograniczeniem
górnym zbioru A ;
• kresem dolnym (inmum) zbioru A (ozn. a = inf A), gdy a jest najwi¦kszym ograniczeniem
dolnym zbioru A .
9. Niech (X, ) b¦dzie zbiorem liniowo uporz¡dkowanym. Porz¡dek nazywamy dobrym, o ile ka»dy
niepusty podzbiór A ⊆ X zawiera element najmniejszy. Wówczas par¦ (X, ) nazywamy zbiorem
dobrze uporz¡dkowanym.
10. Niech (X, ) b¦dzie zbiorem liniowo uporz¡dkowanym. Porz¡dek nazywamy g¦stym, o ile
∀ x, y ∈ X; ∃z∈X x ≺ z ≺ y.
x≺y
2
11. Niech (X, ) b¦dzie zbiorem liniowo uporz¡dkowanym. Porz¡dek nazywamy ci¡gªym, o ile ka»dy
jego niepusty podzbiór ograniczony z góry ma kres górny i ka»dy niepusty podzbiór ograniczony
z doªu ma kres dolny. (Uwaga. Czasami zakªada si¦ równie», »e jest porz¡dkiem g¦stym!)
12. Niech (X, ) b¦dzie zbiorem dobrze uporz¡dkowanym. Wówczas nast¦pnikiem elementu a ∈ X
nazywamy najmniejszy element zbioru {x ∈ X : a ≺ x}.
Relacje równowa»no±ci
13. Relacj¦ R ⊆ X×X nazywamy relacj¡ równowa»no±ci na zbiorze X o ile R jest zwrotna, symetryczna
i przechodnia. Wówczas najcz¦±ciej R oznacza si¦ symbolami ∼ lub ≈.
14. Niech ∼ b¦dzie relacj¡ równowa»no±ci na niepustym zbiorze X . Wówczas klas¡ abstrakcji elementu
x wzgl¦dem relacji ∼ nazywamy zbiór
[x]∼ = {y ∈ X : y ∼ x}.
Zbiór wszystkich klas abstrakcji (wzgl¦dem) relacji ∼, czyli zbiór
X/ ∼ = {[x]∼ : x ∈ X}
nazywamy zbiorem ilorazowym relacji ∼.
15. Fakt. Relacja równowa»no±ci ∼ na zbiorze X 6= ∅ ma nast¦puj¡ce (oczywiste!) wªasno±ci:
• ∀x∈X [x]∼ 6= ∅ ;
• ∀x,y∈X x ∼ y ⇔ [x]∼ = [y]∼ ;
• ∀x,y∈X [x]∼ = [y]∼ ∨ [x]∼ ∩ [y]∼ = ∅ .
Moraª: Relacja równowa»no±ci zadaje rozbicie zbioru
X na rozª¡czne, niepuste podzbiory o tej
wªasno±ci, »e x ∼ y ⇔ elementy x i y deniuj¡ t¦ sam¡ klas¦ abstrakcji (tzw. zasada abstrakcji).