Obliczenia więźby dachowej

2
I. OBLICZENIA WIĘŹBY DACHOWEJ wg PN-B-03150:2000
1. ZałoŜenia do obliczeń
1.1. Schemat geometryczny więźby dachowej
Więźba dachowa płatwiowo-kleszczowa.
1.2. Dane ogólne
Lokalizacja budynku - Biłgoraj
Strefa obciąŜenia śniegiem - II (wg PN-80/B-02010)
Strefa obciąŜenia wiatrem - I (wg PN-77/B-02011)
Rodzaj pokrycia - blacha trapezowa powlekana T-35 gr. 0,70 mm
Kąt pochylenia połaci dachowej - α = 14o → cos α = 0,9703; sin α = 0,2419; tg α = 0,2493
Klasa drewna - C-30
1.3. Dane materiałowe – wartości charakterystyczne (PN-B-03150:2000,
normatywny Z-2.2.3)
fm.k = 30 MPa
- wytrzymałość na zginanie
- wytrzymałość na ściskanie wzdłuŜ włókien
fc.0.k = 23 MPa
fc.90.k = 5,7 MPa
- wytrzymałość na ściskanie w poprzek włókien
E0.mean = 12 MPa
- średni moduł spręŜystości wzdłuŜ włókien
E0.05 = 8 MPa
- 5% kwantyl modułu spręŜystości wzdłuŜ włókien
Gmean = 0,75 MPa
- średni moduł odkształcenia postaciowego
Załącznik
1.4. Dane materiałowe – wartości obliczeniowe (PN-B-03150:2000, pkt 3.2.2)
Wartość obliczeniową Xd właściwości materiału określa się wg wzoru:
Xd =
gdzie:
γM = 1,30
k mod ⋅ X k
γM
- częściowy współczynnik bezpieczeństwa dla właściwości materiału
(Tablica 3.2.2. – drewno i materiały drewnopochodne)
kmod = 0,90 - częściowy współczynnik modyfikacyjny (Tablica 3.2.5. – obciąŜenie
krótkotrwałe)
0,90 ⋅ 30
fm.d =
= 20,77 MPa
- wytrzymałość na zginanie
1,30
0,90 ⋅ 23
= 15,92 MPa
- wytrzymałość na ściskanie wzdłuŜ włókien
fc.0.d =
1,30
0,90 ⋅ 5,7
fc.90.d =
= 3,94 MPa
- wytrzymałość na ściskanie w poprzek włókien
1,30
3
2. Zestawienie obciąŜeń
2.1. CięŜar pokrycia dachowego
• obciąŜenie charakterystyczne
gk = 0,35 kN/m2
• obciąŜenie obliczeniowe
γf = 1,20
go = gk · γf = 0,35 · 1,20 = 0,42 kN/m2
2.2. ObciąŜenie śniegiem – dla II strefy
 14 − 15 
Qk = 0,90 kN/m2,
C = 0,8+0,4 ⋅ 
 = 0,80,
 15 
• obciąŜenie charakterystyczne
Sk = Qk · C = 0,90 · 0,80 = 0,72 kN/m2
• obciąŜenie obliczeniowe
S = Sk · γf = 0,72 · 1,40 = 1,00 kN/m2
γf = 1,40
2.3. ObciąŜenie wiatrem - dla I strefy
qk = 0,25 kN/m2
- charakterystyczne ciśnienie prędkości wiatru
Ce = 0,80
- współczynnik ekspozycji (teren B, wysokość H < 20 m)
β = 1,80
- współczynnik działania porywów wiatru
C = 0,015 · α – 0,20 = 0,015 · 14 – 0,20 = 0,01
- współczynnik aerodynamiczny
γf = 1,30
• obciąŜenie charakterystyczne
Wk = qk · Ce · C · β = 0,25 · 0,80 · 0,01 · 1,80 = 0,001 kN/m2
• obciąŜenie obliczeniowe
W = Wk · γf = 0,001 · 1,30 = 0,001 kN/m2
Z uwagi na małą wartość obciąŜenia w dalszych obliczeniach pominięto wpływ wiatru.
3. Wymiarowanie statyczne krokwi
3.1. Dane geometryczne
Schemat statyczny krokwi – belka swobodnie podparta (na murłacie i płatwi)
α = 14o → cos α = 0,9703; sin α = 0,2419; tg α = 0,2493
Rozstaw krokwi - a = 1,00 m
Podział krokwi - ld = 5,66 m, lg = 3,55 m
→
lo = ld = 5,66 m
Długość rzeczywista krokwi (obliczanej) - ld + lg = 9,21 m
3.2. Podstawowe kombinacje obciąŜeń
3.2.1. ObciąŜenia obliczeniowe (na 1 mb krokwi)
• prostopadłe do połaci dachu
qy = (go·cosα + S· cos2α) · a = (0,42·0,9703 + 1,00·0,97032) · 1,00 = 1,35 kN/m
• równoległe do połaci dachu
qx = (go·sinα + S·sinα·cosα) · a = (0,42·0,2419 + 1,00·0,2419·0,9703) · 1,00 = 0,34 kN/m
3.2.2. ObciąŜenia charakterystyczne (na 1 mb krokwi)
• prostopadłe do połaci dachu
qyk = (gk·cosα + Sk· cos2α) · a = (0,35·0,9703 + 0,72·0,97032) · 1,00 = 1,02 kN/m
• równoległe do połaci dachu
qxk = (gk·sinα + Sk·sinα·cosα) · a = (0,35·0,2419 + 0,72·0,2419·0,9703) · 1,00 = 0,25 kN/m
3.3. Sprawdzenie stanu granicznego nośności
Wstępne określenie wymiarów przekroju (z uwzględnieniem tylko zginania):
b = 8 cm
- szerokość przekroju
h = 16 cm
- wysokość przekroju
4
h ≤ 4·b
→
16 cm < 32 cm - warunek spełniony
3.3.1. Siły wewnętrzne w krokwi
• moment maksymalny
q y ⋅ lo2 1,35 ⋅ 5,66 2
Mmax =
=
= 5,40 kNm = 540,60 kNcm
8
8
• siła podłuŜna
q ⋅l
0,34 ⋅ 5,66
N= x o =
= 0,99 kN
2
2
• napręŜenia w krokwi przy uwzględnieniu tylko zginania:
b ⋅ h 2 8 ⋅ 16 2
Wx =
=
= 341,33 cm3
6
6
M max 540,60
σm.x.d =
=
= 1,583 kN/cm2 = 15,83 MPa
341,33
Wx
σm.x.d ≤ fm.d → σ = 15,83 MPa < 20,77 MPa
3.3.2. Charakterystyki geometryczne przekroju
• pole przekroju poprzecznego
Ad = b · h = 0,08 · 0,16 = 0,0128 m2
• wskaźnik wytrzymałości przekroju względem osi X
b ⋅ h 2 0,08 ⋅ 0,16 2
=
= 3,413 · 10-4 m3
Wx =
6
6
• moment bezwładności przekroju względem osi X
b ⋅ h 3 0,08 ⋅ 0,16 3
Ix =
=
= 2,73 · 10-5 m4
12
12
• promień bezwładności przekroju względem osi X
IX
ix =
= 0,046 m
Ad
3.3.3. Sprawdzenie nośności krokwi z uwzględnieniem złoŜonego stanu napręŜeń
• współczynnik długości wyboczeniowej zaleŜny od sposobu zamocowania
• długość wyboczeniowa krokwi
lc = ld · µ = 5,66 · 1,0 = 5,66 m
• współczynnik smukłości krokwi
l
5,66
λx = c =
= 123,04
i X 0,046
• napręŜenia krytyczne przy ściskaniu
Π 2 ⋅ E0.05 Π 2 ⋅ 8000
σc.crit =
=
= 5,22 MPa
λ2
123,04 2
• smukłość sprowadzona przy ściskaniu
f c.0.k
23,00
λrel =
=
= 2,10
σ c.crit
5,22
• współczynnik dotyczący prostoliniowości elementów
βc = 0,20
k = 0,5 · [1 + βc · (λrel – 0,5) + ( λrel)2] = 0,5 · [1 + 0,20 · (2,10 – 0,5) + (2,10)2] = 2,87
• współczynnik wyboczeniowy
1
1
kc =
=
= 0,207
k + (k ) 2 − (λrel ) 2 2,87 + 2,87 2 − 2,10 2
µ = 1,0
5
•
napręŜenia ściskające
N
0,99
σc.0.d =
=
= 0,037 kN/cm2 = 0,37 MPa
kc ⋅ Ad 0,207 ⋅128
• napręŜenia zginające
M max 540,60
σm.x.d =
=
= 1,583 kN/cm2 = 15,83 MPa
341,33
Wx
Aby nośność elementu nie została przekroczona, powinien być spełniony warunek:
 σ c.0.d

 f c.0.d
2
  σ m. x . d
 + 
  f m . x .d
2

 ≤ 1

 σ c.0.d   σ m. x.d   0,37   15,83 

 + 
 = 
 +
 = 0,76 < 1
 f c.0.d   f m. x.d   15,92   20,77 
Warunek jest spełniony. Nośność elementów nie została przekroczona.
2
3.4. Sprawdzenie stanu granicznego uŜytkowania
• ugięcie rzeczywiste
q yk ⋅ l d4
5
5 0,0102 ⋅ 5664
u=
⋅
=
⋅
= 2,78 cm
384 E0.mean ⋅ I X
384 1200 ⋅ 2730,66
• ugięcie dopuszczalne
l
468
= 2,83 cm
unet,fin = d =
200 200
Aby stan graniczny uŜytkowania elementu nie został przekroczony, powinien być spełniony
warunek:
u ≤ unet,fin
→ 2,78 cm < 2,83 cm
Warunek jest spełniony. Stan graniczny uŜytkowania nie został przekroczony.
4. Wymiarowanie statyczne płatwi
4.1. Dane geometryczne
Jako schemat statyczny płatwi przyjęto belkę swobodnie podpartą (na słupkach).
ls - rozpiętość w osiach słupków podpierających płatew - ls = 4,00 m
lm - rozpiętość płatwi między mieczami
- lm = 4,00 – 0,12 – 2 · 0,80 = 2,28 m
Wstępne określenie wymiarów przekroju płatwi:
b = 12 cm
- szerokość przekroju
h = 18 cm
- wysokość przekroju
h ≤ 4·b
→
18 cm < 48 cm - warunek spełniony
4.1.1. Charakterystyki geometryczne przekroju
• pole przekroju poprzecznego płatwi
Ap = b · h = 0,12 · 0,18 = 0,0216 m2
• wskaźnik wytrzymałości przekroju względem osi X
b ⋅ h 2 0,12 ⋅ 0,18 2
Wx =
=
= 6,480 · 10-4 m3
6
6
• wskaźnik wytrzymałości przekroju względem osi Y
b 2 ⋅ h 0,12 2 ⋅ 0,18
Wy =
=
= 4,320 · 10-4 m3
6
6
• moment bezwładności przekroju względem osi X
b ⋅ h 3 0,12 ⋅ 0,18 3
Ix =
=
= 5,832 · 10-5 m4
12
12
6
•
moment bezwładności przekroju względem osi Y
b 3 ⋅ h 0,12 3 ⋅ 0,18
Iy =
=
= 2,592 · 10-5 m4
12
12
• cięŜar własny płatwi na 1 mb - Gpłatwi
Qd = 5,50 kN/m3
- cięŜar objętościowy drewna sosnowego
Gkp = Qd · Ap = 5,50 · 0,0216 = 0,119 kN/m
γf = 1,10
Gp = Gkp · γf = 0,119 · 1,10 = 0,131 kN/m
4.2. Podstawowe kombinacje obciąŜeń
4.2.1. ObciąŜenia obliczeniowe (na 1 mb płatwi)
• pionowe
qx = (lg + 0,5·ld)·(go + S·cosα) + Gp = (3,55 + 0,5·5,66)·(0,42 + 1,00·0,9703) + 0,131 = 9,00 kN/m
4.2.2. ObciąŜenia charakterystyczne (na 1 mb płatwi)
• pionowe
qxk = (lg + 0,5·ld)·(gk + Sk·cosα) + Gkp = (3,55 + 0,5·5,66)·(0,35 + 0,72·0,9703) + 0,119 = 6,81 kN/m
4.3. Sprawdzenie stanu granicznego nośności
4.3.1. Siły wewnętrzne w płatwi
• momenty maksymalne
q ⋅ l 2 9,00 ⋅ 2,282
Mx = x m =
= 5,84 kNm = 584,82 kNcm
8
8
4.3.2. Sprawdzenie nośności płatwi z uwzględnieniem złoŜonego stanu napręŜeń
• napręŜenia zginające
M x 584,82
σm.x.d =
=
= 0,903 kN/cm2 = 9,03 MPa
Wx
648
Aby nośność elementu nie została przekroczona, powinny być spełnione warunki:
σ
  σ m. y . d 
≤ 1
k m ⋅  m. x.d  + 
 f

f
 m . x . d   m . y .d 
σ

 σ m . x .d 

 + k m ⋅  m. y .d  ≤ 1
 f

 f m. x . d 
 m . y .d 
km = 0,70 - dla przekrojów prostokątnych (pkt. 4.1.5. normy PN-B-03150:2000)
σ

 9,03 
k m ⋅  m. x.d  = 0,70 ⋅ 
 = 0,30 < 1
 20,77 
 f m. x . d 
 σ m. x.d   9,03 

 = 
 = 0,43 < 1
 f m. x.d   20,77 
Warunki są spełnione. Nośność elementów nie została przekroczona.
4.4. Sprawdzenie stanu granicznego uŜytkowania
4.4.1. Ugięcia w kierunku poziomym
l
400
Stosunek s =
= 33,33 > 20, a zatem:
b 12
• ugięcie rzeczywiste
uy = uM = 0,00 cm
7
•
ugięcie dopuszczalne
l
400
unet,fin,y = s =
= 2,00 cm
200 200
4.4.2. Ugięcia w kierunku pionowym
l
228
Stosunek m =
= 12,66 < 20, a zatem:
h
18
• ugięcie rzeczywiste
2
2


q xk ⋅ l m4
5
h 
h 
⋅
ux = uM + uT = uM ⋅ 1 + 19,2 ⋅    =
⋅ 1 + 19,2 ⋅    =
l 

 m   384 E0.mean ⋅ I X 
 l m  
2
5 0,0681 ⋅ 2284 
 18   = 0,38 cm
=
⋅
⋅ 1 + 19,2 ⋅ 
 
384 1200 ⋅ 5832 
 228  

• ugięcie dopuszczalne
l
228
unet,fin,x = m =
= 1,14 cm
200 200
Aby stan graniczny uŜytkowania elementu nie został przekroczony, powinien być spełniony
warunek:
u
u
=
u y2 + u x2
=
u y2 + u x2
≤
=
unet,fin
=
2
2
u nrt
, fin , y + u net , fin , x
0,00 2 + 0,382 = 0,38 cm
2
2
u nrt
=
2,00 2 + 1,14 2 = 2,30 cm
, fin , y + u net , fin , x
u = 0,38 cm
unet,fin = 2,30 cm
<
Warunek jest spełniony. Stan graniczny uŜytkowania nie został przekroczony.
unet,fin
=
5. Wymiarowanie statyczne słupka
5.1. Schemat statyczny słupka
hs = 0,90 m - wysokość słupka
ls = 4,00 m
- odległość między słupkami
Wstępne określenie wymiarów przekroju słupka:
amin = 12 cm
as = 12 cm
5.1.1. Charakterystyki geometryczne przekroju
• pole przekroju poprzecznego słupka
Ad = a · a = 0,12 · 0,12 = 0,0144 m2
• moment bezwładności przekroju
a 4 0,12 4
Is =
=
= 1,728 · 10-5 m4
12
12
• promień bezwładności przekroju
Is
1728
is =
=
= 3,45 cm = 0,035 m
Ad
144
• cięŜar własny słupka wraz z mieczami - Gsłupka
Qd = 5,50 kN/m3
- cięŜar objętościowy drewna sosnowego
γf = 1,10
Gs = Qd · Ad · hs · γf = 5,50 · 0,0144 · 0,90 · 1,10 = 0,078 kN
8
5.2. Sprawdzenie stanu granicznego nośności
5.2.1. Siły wewnętrzne w słupku
N = qx · ls + Gs = 9,00 · 4,00 + 0,078 = 36,08 kN
gdzie qx - obciąŜenie pionowe na 1 mb płatwi
5.2.2. Sprawdzenie nośności słupka
• współczynnik długości wyboczeniowej zaleŜny od sposobu zamocowania
µ = 1,0
• długość wyboczeniowa słupka
lc = hs · µ = 0,90 · 1,0 = 0,90 m
• smukłość słupka
0,90
l
λc.x = c =
= 25,71 < 150
is 0,035
• napręŜenia krytyczne przy ściskaniu
Π 2 ⋅ E0.05 Π 2 ⋅ 8000
=
σc.crit.x =
= 119,45 MPa
λc2. x
25,712
• smukłość sprowadzona
f c.0.k
23,00
λrel.x =
=
= 0,438
σ c.crit . x
119,45
• współczynnik dotyczący prostoliniowości elementów
βc = 0,20 (drewno lite)
kx = 0,5 · [1 + βc · (λrel.x – 0,5) + ( λrel.x)2] = 0,5 · [1 + 0,20 · (0,438 – 0,5) + (0,438)2] = 0,589
• współczynnik wyboczeniowy
1
1
kc.x =
=
= 1,00
k x + (k x ) 2 − (λrel . x ) 2 0,589 + 0,589 2 − 0,4382
•
napręŜenia w słupku od ściskania (z uwzględnieniem wyboczenia)
N
36,08
σc.0.d =
=
= 0,251 kN/cm2 = 2,51 MPa
kc. x ⋅ Ad 1,00 ⋅144
Aby nośność elementu nie została przekroczona, powinien być spełniony warunek:
σc.0.d ≤ fc.0.d
σc.0.d = 2,51 MPa
<
fc.0.d = 15,92 MPa
Warunek jest spełniony. Nośność elementów nie została przekroczona.
5.3. Sprawdzenie docisku słupka do podwaliny
Adocisku = (120 mm – 30 mm) · 120 mm
Adocisku = 0,0108 m2
• napręŜenia docisku prostopadle do włókien
N
36,08
σc.90.d =
=
= 0,334 kN/cm2 = 3,34 MPa
Adocisku
108
Aby nośność elementu nie została przekroczona, powinien być spełniony warunek:
σc.90.d ≤ fc.90.d
σc.90.d = 3,34 MPa
<
fc.90.d = 3,94 MPa
Warunek jest spełniony.